Амплитуда ⟨0|e−iHT|0⟩⟨0|e−iHT|0⟩\langle0|e^{-iHT}|0\rangle в КТП А. Зи. В двух словах

Question

Амплитуда ⟨0|e−iHT|0⟩⟨0|e−iHT|0⟩\langle0|e^{-iHT}|0\rangle в КТП А. Зи. В двух словах

Физика
интеграл по путям
вращение фитиля
квантовая механика

Саян Мандал

В своей книге «Кратко о квантовой теории поля» на стр. 12 (второе изд.) А. Зи говорит, что обычно амплитуда $\langle0|e^{-iHT}|0\rangle$ обозначается $Z$ . В следующем абзаце он рассматривает амплитуду в уравнении. (6) и выполняет поворот Вика к евклидову времени, $t\rightarrow -it$ , и пишет,

Z "=" \int Д д (т) е^{- \int_{0}^{Т} г т [\frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} + В (д)]}

$Z=\int Dq(t)e^{-\int_0^Tdt[\frac{1}{2}m\dot{q}^2+V(q)]}$ который является евклидовым интегралом пути. Я сбит с толку, потому что он обозначает это количество через

Z

$Z$ . Это то же самое

Z

$Z$ как

⟨ 0 | e^{- i H T} | 0 ⟩

$\langle0|e^{-iHT}|0\rangle$ ? Если да, то я не вижу как. Кто-нибудь может мне помочь?

Я это понимаю

Z "=" ⟨ 0 | е^{- я ЧАС Т} | 0 ⟩ "=" \int г д_{Ф} \int г д_{я} ⟨ Ф | д_{Ф} ⟩ ⟨ д_{Ф} | е^{- я ЧАС Т} | д_{я} ⟩ ⟨ д_{я} | я ⟩

$Z=\langle0|e^{-iHT}|0\rangle=\int dq_F\int dq_I\langle F|q_F\rangle\langle q_F|e^{-iHT}|q_I\rangle\langle q_I|I\rangle$ с

| F ⟩ = | I ⟩ = | 0 ⟩

$|F\rangle=|I\rangle=|0\rangle$ . Чем это похоже на предыдущий интеграл?

Любопытный Разум

Почему амплитуда перехода является интегралом по путям, описано в каждом основном выводе интеграла по путям, например, здесь .

Саян Мандал

@ACuriousMind - мне это ясно.

Любопытный Разум

Тогда я не понимаю, о чем вы спрашиваете.

Саян Мандал

Я спрашиваю, одинаковы ли два интеграла, которые я написал, потому что автор использует один и тот же символ

Z

$Z$ для их обозначения. В первом интеграле

q_{I}

$q_I$ и

q_{F}

$q_F$ фиксируются, в то время как они интегрируются во втором. Вся моя путаница проистекает именно из того, что автор использует

Z

$Z$ для любого.

gj255

Кажется, я понимаю, о чем вы спрашиваете. Проблема заключается в том, что интеграл по путям обычно определяется как оператор эволюции во времени

e^{- i H T}

$e^{-iHT}$ зажатый между собственными состояниями положения . Однако здесь в

Z

$Z$ он зажат между двумя вакуумными состояниями. Похоже, что они довольно разные, причем последнее можно выразить через первое, только если мы введем два разрешения тождества в виде интегралов по начальному и конечному положению. Мне тоже непонятно, почему это одно и то же. Возможно, попробуйте Srednicki, стр. 47.

innisfree

Я не понимаю этот вопрос? Если вы перечитаете Zee, я уверен, что вы ответите на свой вопрос подробно и подробно.

Саян Мандал

@ gj255: Да, это именно то, о чем мой вопрос. Спасибо за ссылку.

Саян Мандал

@innisfree: Не могли бы вы указать мне конкретный раздел Zee , где могут быть разрешены мои сомнения?

Фредерик Томас

Думаю, Зи переходит к обобщению. Он больше не считает

| q_{I} > & | q_{F} >

$|q_I> \& |q_F>$ но

| I >

$|I>$ и

| F >

$|F>$ . Так что, строго говоря,

Z

$Z$ уже не то же самое, но концептуально все еще то же самое. Такой же как

ψ

$\psi$ может быть частным решением или общим решением, например, уравнения Шредингера.

Вероника Нордзее

Это просто показывает, что академики - плохие учителя! Им повезло, что у них есть умные ученики ;-)

Ответы (1)

Амплитуда ⟨0|e−iHT|0⟩⟨0|e−iHT|0⟩\langle0|e^{-iHT}|0\rangle в КТП А. Зи. В двух словах

Почему амплитуда перехода является интегралом по путям, описано в каждом основном выводе интеграла по путям, например, здесь .
Тогда я не понимаю, о чем вы спрашиваете.
Я спрашиваю, одинаковы ли два интеграла, которые я написал, потому что автор использует один и тот же символ $Z$ для их обозначения. В первом интеграле $q_I$ и $q_F$ фиксируются, в то время как они интегрируются во втором. Вся моя путаница проистекает именно из того, что автор использует $Z$ для любого.
Кажется, я понимаю, о чем вы спрашиваете. Проблема заключается в том, что интеграл по путям обычно определяется как оператор эволюции во времени $e^{-iHT}$ зажатый между собственными состояниями положения . Однако здесь в $Z$ он зажат между двумя вакуумными состояниями. Похоже, что они довольно разные, причем последнее можно выразить через первое, только если мы введем два разрешения тождества в виде интегралов по начальному и конечному положению. Мне тоже непонятно, почему это одно и то же. Возможно, попробуйте Srednicki, стр. 47.
Я не понимаю этот вопрос? Если вы перечитаете Zee, я уверен, что вы ответите на свой вопрос подробно и подробно.
@ gj255: Да, это именно то, о чем мой вопрос. Спасибо за ссылку.
@innisfree: Не могли бы вы указать мне конкретный раздел Zee , где могут быть разрешены мои сомнения?
Думаю, Зи переходит к обобщению. Он больше не считает $|q_I> \& |q_F>$ но $|I>$ и $|F>$ . Так что, строго говоря, $Z$ уже не то же самое, но концептуально все еще то же самое. Такой же как $\psi$ может быть частным решением или общим решением, например, уравнения Шредингера.
Это просто показывает, что академики - плохие учителя! Им повезло, что у них есть умные ученики ;-)

физик · Answer 1

Шаг оценки вашего второго выражения для $Z$ и получение формы интеграла по путям, которое является первым выражением, которое вы упомянули, является нетривиальным, но стандартным выводом в формулировке интеграла по путям КТП. Он довольно длинный, но его можно найти в большинстве книг, посвященных формулировке интеграла по путям. Общая идея состоит в том, чтобы разделить временной интервал $T$ в $N$ интервалы (с $N$ большой) и вставлять полный набор собственных состояний в каждый промежуточный момент времени, так что

⟨ д_{Ф} | е^{- я ЧАС Т} | д_{я} ⟩ "=" ⟨ д_{Ф} | {(е^{- я ЧАС Т / Н})}^{Н} | д_{я} ⟩ "=" \int г д_{1} \dots г д_{Н - 1} ⟨ д_{Ф} | е^{- я ЧАС Т / Н} | д_{Н - 1} ⟩ ⟨ д_{Н - 1} | е^{- я ЧАС Т / Н} | д_{Н - 2} ⟩ ⟨ д_{Н - 2} | \dots | д_{1} ⟩ ⟨ д_{1} | е^{- я ЧАС Т / Н} | д_{я} ⟩

$\langle q_F|e^{-iHT}|q_I\rangle= \langle q_F|\left(e^{-iHT/N}\right)^N|q_I\rangle\\ =\int dq_1\ldots dq_{N-1}\langle q_F|e^{-iHT/N}|q_{N-1}\rangle\langle q_{N-1}|e^{-iHT/N}|q_{N-2}\rangle\langle q_{N-2}|\ldots|q_1\rangle\langle q_{1}|e^{-iHT/N}|q_I\rangle$ Это можно решить следующим образом. Поскольку гамильтониан также содержит операторы импульса, вам дополнительно необходимо вставлять полный набор собственных состояний сопряженного импульса в каждый промежуточный момент времени. Затем все операторы в гамильтониане могут быть вычислены в этих вставленных состояниях, и у вас останутся только функции C-числа. Поскольку гамильтониан квадратичен по оператору импульса, интегралы импульса являются гауссовыми и могут быть выполнены явно.

N

$N$ интеграл по промежуточным конфигурациям полей входит в определение интеграла по траекториям (в сущности, интеграл по траекториям просто определяется как такой интеграл по

n

$n$ конфигурации поля промежуточного времени в пределе, где

N \to \infty

$N\to\infty$ ).

Подробнее см., например, в конспектах лекций Хью Осборна Advanced QFT, которые можно найти здесь . Вывод, который вы ищете, находится в самом начале сценария.

Спасибо за помощь. Одно сомнение состоит в том, что первый интеграл находится между фиксированными конечными точками в пространстве, $q_I$ и $q_F$ , а во втором интеграле мы интегрируем по конечным точкам. Нет противоречия?
Второй интеграл оставляет qI и qF фиксированными.
Существуют интегралы по $q_F$ и $q_I$ .
физика.stackexchange.com/ questions/529330/… , у меня тоже есть такие же сомнения, я разместил это как отдельный вопрос, можете ли вы мне помочь @Sayan Mandal
Спасибо за ссылку на Х. Осборна! Здесь нужно больше источников и меньше личных мнений!!!!!!!! Мы говорим о науке или нет??????

Амплитуда ⟨0|e−iHT|0⟩⟨0|e−iHT|0⟩\langle0|e^{-iHT}|0\rangle в КТП А. Зи. В двух словах

Саян Мандал

Любопытный Разум

Саян Мандал

Любопытный Разум

Саян Мандал

gj255

innisfree

Саян Мандал

Саян Мандал

Фредерик Томас

Вероника Нордзее

Ответы (1)

физик

Саян Мандал

Гарри Уилсон

Саян Мандал

РОБИН РАЙ

Вероника Нордзее

Принцип наименьшего действия за мнимое время

Эволюция гармонического осциллятора в формулировке интеграла по путям

Связь между моделью Блэка-Шоулза и интегралами по траекториям

Интеграл по траекториям и мнимое время в квантовой и статистической механике

Хорошие ресурсы для изучения/обзора сложного формализма распространения времени

Подробнее об интегральной формуле пути Фейнмана в лекции Брайана Кокса и ее последствиях

Каковы минимальные постулаты для выполнения квантовой механики в формулировке интеграла по путям, не зная операторной формулировки?

Смысл воображаемого времени

Гамильтониан с двумя состояниями в континуальном интеграле Фейнмана

Амплитуды переходов функциональными методами в КТП