Атом водорода в двух пространственных измерениях с логарифмическим потенциалом

Я согласен, что это уравнение , вероятно , не допускает решения в терминах элементарных функций. Однако, немного покопавшись, я нашел эту статью: Atabek et. др. физ. Rev. A 1974 , отвечая на ваши вопросы (в них используется логарифмический двумерный потенциал и обсуждается спектр собственных значений энергии).

Одна полезная вещь, которую они делают, это замена$R_m = r^{-½}f_m$исключить член, пропорциональный$R^\prime$в уравнении и сгенерировать уравнение вида:$f^{\prime \prime}_m = g(r,m) f_m$с которым приятнее работать.

Что касается численного решения:

Здесь у вас есть «2-точечная краевая задача (BVP)» (поскольку вы указываете значение$R_m$или эквивалентно$f_m$, в$r = 0$и вы хотите, чтобы он исчез как$r \rightarrow \infty$), которые часто обрабатываются так называемыми «кодами стрельбы».

Если вы знакомы с более простыми (одношаговыми, явными) численными методами, такими как RK4, вам достаточно просто перебрать значения$E$с догадкой для$R^\prime(0)$и проверить значение решения ($R$) при некотором большом конечном значении$r$. В зависимости от ваших единиц, даже что-то вроде$r_f = 10$вроде хватает. Затем вы можете вручную настроить сетку поиска$E$до этого конечного значения,$R(r_f)$, примерно равна нулю.

Я закодировал эту итеративную схему RK4 только для того, чтобы проверить качественную форму радиальных волновых функций (с$m = 0$) сообщается в связанной статье 1974 года, и они, кажется, согласуются (см. рис. 4 статьи).

Одно предостережение : не обращайте внимания на числовые значения$E$или$R_{m=0}$на следующем рисунке единицы измерения, вероятно, немного перепутаны. Кроме того, я нормализовал пики$R_m$до 1 для сравнения по$m$с.

Тем не менее, для качественной проверки, вот три собственные функции уравнения, одна для$m = 0$, и два для$m = 1$. Они были найдены с использованием итеративного метода RK4.

Сомневаюсь, что это уравнение разрешимо, хотя было бы разумно проверить в книге по специальным функциям, например Абрамовица и Стегуна или Градштейна и Рыжика.

Ваше уравнение кажется правильным для равнины . Однако многие проблемы связаны с реальным трехмерным миром, где движение ограничено двумя или даже одним измерением. В этом случае потенциал остается трехмерным:$1/r$. Примечателен одномерный случай, поскольку энергии связи расходятся, что долгое время создавало проблему для анализа экситонов в углеродных нанотрубках.