Баэз и Банн: значение уравнения (поля) Эйнштейна

В этом онлайн-руководстве , предназначенном для таких умников, как я, авторы повторяют уравнение Эйнштейна.

$$\mathbf{G}_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \mathbf{T}_{\mu\nu}$$

в словах:

Для небольшого шарика из свободно падающих пробных частиц, первоначально покоящихся друг относительно друга, скорость, с которой он начинает сжиматься, пропорциональна его объему, умноженному на: плотность энергии в центре шарика плюс давление в$x$направление в этой точке, плюс давление в$y$направлении плюс давление в$z$направление.

и определение единиц так, чтобы$8 \pi G=1$и$c=1$( «приведенные» планковские единицы), они формулируют это как

$$\frac{\ddot{V}}{V} \Bigg|_{t=0} = -\tfrac12 (\rho + P_x + P_y + P_z)$$

Теперь я хотел бы выразить эту версию Баеза/Банна уравнения Эйнштейна без системы натуральных единиц, используя константы$G$и$c$.

Я думаю, что это:

$$\begin{align} \frac{\ddot{V}}{V} \Bigg|_{t=0} &= -\tfrac12 \frac{8 \pi G}{c^2} \big(\rho_\text{g} c^2 + P_x + P_y + P_z \big) \\ &= \frac{8 \pi G}{c^4} \big(-\tfrac12 \rho_\text{g} c^4 - \tfrac12 c^2(P_x + P_y + P_z) \big) \\ \end{align}$$

где$\rho_\text{g} c^2$плотность энергии и$\rho_\text{g}$это массовая плотность. Теперь я сделал это, только повозившись с измерениями и пытаясь сделать уравнение размерно согласованным.

Чтобы получить константу масштабирования$\frac{8 \pi G}{c^4}$, означает ли это, что размерность левой и правой частей уравнения совпадает с размерностью элементов тензора Эйнштейна$\mathbf{G}_{\mu\nu}$? Это сделало бы$\rho_\text{g} c^4$иметь ту же размерность, что и тензор энергии-импульса. Или нам нужно умножить$\frac{\ddot{V}}{V}$чем-то большим, чтобы сделать его размерно совместимым с$\mathbf{G}_{\mu\nu}$?

Наконец, если я правильно отмасштабировал приведенное выше, то

$$\frac{\ddot{V}}{V} \Bigg|_{t=0} = -\frac{4 \pi G}{c^2} \big(\rho_\text{g} c^2 + P_x + P_y + P_z \big)$$

и кажется, что наиболее естественными рационализированными (в духе Лоренца-Хевисайда ) планковскими единицами были бы те, которые задают

$$\begin{align} c &= 1 \\ \hbar &= 1 \\ 4 \pi G &= 1 \\ \epsilon_0 &= 1 \\ \end{align}$$

Это обезразмерило бы уравнения GEM

$$\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E}_\text{g} &= -\rho_\text{g} \\ \nabla \cdot \mathbf{B}_\text{g} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E}_\text{g} &= -\frac{\partial \mathbf{B}_\text{g} } {\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B}_\text{g} &= -\mathbf{J}_\text{g} + \frac{\partial \mathbf{E}_\text{g}} {\partial t} \\ \end{align}$$

а также аналоги EM :

$$\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \rho \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \\ \end{align}$$

В обоих случаях GEM-излучения и электромагнитного излучения использование этих рационализированных планковских единиц LH нормализовало бы скорость распространения в свободном пространстве до 1, а характеристический импеданс в свободном пространстве до 1.

Мое понимание, что$2$что умножает$4 \pi G$что заставляет нас$8 \pi G$происходит от квадратного корня, входящего в формулу собственного времени:

$$\mathrm{d} t = \sqrt{ g_{\mu \nu} \ \mathrm{d} x^\mu \ \mathrm{d} x^\nu }$$

или

$$(\mathrm{d} t)^2 = g_{\mu \nu} \ \mathrm{d} x^\mu \ \mathrm{d} x^\nu$$

где в слабых, не зависящих от времени гравитационных полях

$$g_{\mu \nu}=\begin{cases} 1+h \qquad & \text{if } \mu=\nu=0 \\ -1 \qquad & \text{if } 1 \le \mu=\nu \le 3 \\ 0 \qquad & \text{if } \mu\ne\nu \\ \end{cases}$$

не знаю что$h$является. Я получаю это из этой очень старой ветки sci.physics.research , в которой также участвовали Баэз и Банн. Но я думаю, что Дэрил Маккалоу соединил последние точки в объяснении того, где дополнительные$2$происходит из$8\pi G$.

Во всяком случае, мне кажется, что нормализация$4 \pi G = 1$и$c=1$изменило бы утверждение Баэза/Банна со слова «пропорциональный» на «равный» и могло бы заставить утверждение выглядеть как

Для небольшого шарика из свободно падающих пробных частиц, первоначально покоящихся друг относительно друга, скорость, с которой он начинает сжиматься, равна его объему, умноженному на: плотность энергии в центре шарика плюс давление в$x$направление в этой точке, плюс давление в$y$направлении плюс давление в$z$направление.

или

$$-\frac{\ddot{V}}{V} \Bigg|_{t=0} = \rho_\text{g} + P_x + P_y + P_z$$

Разве это не самый простой способ выразить это?