Базисные функции в теории групп и волновые функции

Базовые функции — это то, что вы хотите. Для них нет никаких ограничений, кроме того, что они фактически образуют основу для представления (линейно независимый набор векторов, который охватывает все векторы, которые преобразуются в соответствии с представлением). Если у вас две базы$|\Gamma_nj\rangle,|\Gamma_n'j\rangle$для одного и того же представления, то вы можете записать каждый вектор в одном как линейную комбинацию векторов в другом и расположить коэффициенты в матрице$B$который помогает трансформироваться между двумя:

$$|\Gamma_n'\alpha\rangle=\sum_jB_{j\alpha}|\Gamma_nj\rangle.$$

Уравнение, данное в вашей книге, определяет матрицу$D^{(\Gamma_n)}(R)$который представляет оператор$\hat P_R,$не основа:$\alpha$'й столбец матричного представления формирует коэффициенты на$\Gamma_n$базисных векторов, когда вы применяете оператор симметрии к$\alpha$'й элемент в этом базисе. Если у вас есть эта матрица$D^{(\Gamma_n)}(R)$для$|\Gamma_nj\rangle$основе, вы можете преобразовать ее в любую другую основу, как только у вас будет матрица$B$преобразованием подобия

$$D^{(\Gamma_n')}(R)=BD^{(\Gamma_n)}(R)B^{-1}.$$

Читать$B^{-1}$как переход с новой базы обратно на старую,$D^{(\Gamma_n)}(R)$как выполнение операции в старой базе, так и$B$как конвертировать обратно на новую основу.$D^{(\Gamma_n')}(R)$удовлетворяет приведенному вами уравнению, но для нового базиса:

$$\hat P_R|\Gamma_n'\alpha\rangle=\sum_jD^{(\Gamma_n')}(R)_{j\alpha}|\Gamma_n'j\rangle.$$

Это также говорит вам, как найти приводимые представления: подумайте, что произойдет, если вы сможете найти одно преобразование подобия, например$B$что делает$D^{(\Gamma_n)}(R)$(правильный) блочный треугольный (с одинаковыми размерами блоков) для всех$R$:

$$D^{(\Gamma_n')}(R)=BD^{(\Gamma_n)}(R)B^{-1}=\begin{bmatrix}D^{(\Gamma_n',11)}(R)&D^{(\Gamma_n',12)}(R)\\\mathbf{0}&D^{(\Gamma_n',22)}(R)\end{bmatrix}$$

где$D^{(\Gamma_n,11)}(R)$представляет собой квадратную матрицу уменьшенной (но ненулевой) размерности по сравнению с$D^{(\Gamma_n)}(R).$Скажи, что это$m\times m$матрица. Это означает, что первый$m$столбцы$B$превращаются только в линейные комбинации друг друга при$D^{(\Gamma_n)}(R)$для всех элементов симметрии$R$. Эквивалентно, векторы, образованные путем взятия каждого из первых$m$столбцы$B$и использовать их в качестве коэффициентов для$|\Gamma_nj\rangle$превращаются только в линейные комбинации друг друга при$\hat P_R$. Размах этих векторов вместе с этим действием группы на них образует подпредставление$\Gamma_n$(и вы можете использовать эти векторы в качестве основы для этого представления).$\Gamma_n$является неприводимым тогда и только тогда, когда не существует преобразования подобия (т. е. изменения базиса), которое одновременно блокирует триангуляцию матричных представлений всех операторов симметрии.

Вот пример , где мы находим представление всех$C_\mathrm{3v}$на валентных s-орбиталях$N\!H_3$. Из-за выбранного базиса матричное представление всех операторов симметрии сразу видно как блочно-треугольное, что указывает на приводимость. Если бы была выбрана другая основа, вы могли бы этого не получить. Математически важная часть заключается в том, существует ли базис , в котором матричные представления всех операторов симметрии являются блочно-треугольными.

К вашей проблеме (3): внутренние продукты? Где? Ничего вообще ни в вашем вопросе, ни в моем ответе не требует внутренних продуктов. Вам нужно разложить векторы как линейные комбинации базовых элементов. Вот и все.

Что касается вашего вопроса о «волновых функциях»: волновые функции появляются как базисные векторы представления, когда вы изучаете именно волновые функции. Опять же, это действительно так. Вы начинаете с некоторого гильбертова пространства волновых функций$\mathcal{H}$и гамильтониан$H$. Вы ищете группу$G$и унитарное представительство$\hat U\!_{R\in G}:\mathcal{H}\to\mathcal{H}.$«Физически релевантные» представления — это те, которые коммутируют с гамильтонианом. Вы также можете найти подпредставления этого. Для любого представления вы можете выбрать для него несколько базисных векторов.

TL;DR: Базисные векторы не важны! Физически релевантными вещами являются представления, состоящие из подпространства некоторого векторного пространства и действия группы на этом подпространстве. Базисные векторы просто делают возможными вычисления на этих объектах (подпространство является для него промежутком любого базиса, и групповое действие, определенное на базисе, распространяется на все (под)пространство). Вы выбираете основу, однако хотите упростить вычисления/интерпретацию.