Как симметрия связана с вырождением?

Прежде чем вдаваться в подробности, позвольте мне наглядно описать, как выглядят гамильтониан, группа симметрии и динамическая группа в базисе, в котором гамильтониан является диагональным.

гамильтониан

$$H = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \mathbf{1} \end{bmatrix} & & & \\ & \begin{bmatrix} \lambda_2 \mathbf{1} \end{bmatrix} & & \\ & &\begin{bmatrix} \lambda_2 \mathbf{1} \end{bmatrix} & \\ & & &\begin{bmatrix} \lambda_3 \mathbf{1} \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix}$$

Группа симметрии

$$g = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix}& & & \\ & \begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix}& & \\ & & \begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix} & \\ & & &\begin{bmatrix} \blacksquare \end{bmatrix} \\ \end{bmatrix}$$

Динамическая группа

$$g = \begin{bmatrix} & \blacksquare & & \\ & & \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare\\ \blacksquare & \blacksquare \\ \end{bmatrix} & \\ & & &\blacksquare \\ \end{bmatrix}$$

Полная динамическая группа

$$g= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \blacksquare & \blacksquare &\blacksquare & \blacksquare \\ \end{bmatrix} \end{bmatrix}$$ Где черные квадраты означают полные подматрицы, а квадратные скобки означают неприводимые представления.

Конечно, полное гильбертово пространство может быть бесконечномерным; рисунки охватывают только концептуальную основу.

Группа симметрии определяется как группа, порожденная всеми наблюдаемыми (по существу самосопряженными операторами), коммутирующими с гамильтонианом. Образующие группы симметрии являются константами движения. Группа симметрии не может смешивать пространства с разными собственными значениями гамильтониана. Таким образом, он должен быть блочно-диагональным по отношению к собственным гамильтоновым пространствам.

Обратите внимание, что в проиллюстрированном примере есть два подпространства собственного значения$\lambda_2$, такое, что на каждом подпространстве группа симметрии действует неприводимо. Это случай случайного вырождения. Таким образом, ответ на первый вопрос положительный в случае отсутствия случайного вырождения и отрицательный при наличии случайного вырождения.

Ответ на второй вопрос положительный в случае конечной или компактной группы$G$действующий в гильбертовом пространстве. В этих случаях в силу существования меры Хаара$d\mu(g) ($, мы можем взять любой внутренний продукт$(.,.)_0$в гильбертовом пространстве и усреднить его, чтобы получить инвариантный скалярный продукт$(.,.)$. Это называется приемом унитарности Вейля. Явно:

$$(u,v)^G = \int_G d\mu(g) (g \small{\circ} u,g \small{\circ} v)$$

из-за трансляционной инвариантности меры Хаара. Таким образом

$$(g_1 \small{\circ} u,g_1 \small{\circ} v)^G = (u,v)^G, \; g_1 \in G$$

Как следствие$G$действие может быть как унитарным, так и антиунитарным. Когда$G$является связной непрерывной группой, то существует путь, соединяющий каждый элемент с единицей (которая должна быть представлена ​​унитарным оператором), а дискретное свойство не может меняться непрерывно, то элемент группы должен действовать унитарным оператором.

Динамическая группа — это группа, порожденная наблюдаемыми системой и имеющая весь гамильтонов спектр в одном унитарном неприводимом представлении. В частности, динамическая группа разрешает случайные вырождения.

Динамическая группа, как показано на третьем рисунке. Он имеет ненулевые матричные элементы между двумя вырожденными представлениями группы симметрии. Таким образом, мы сможем классифицировать вырожденные векторы гамильтониана по квантовым числам одного неприводимого представления динамической группы. Таким образом, динамическая группа, действующая, как на третьем рисунке, может использоваться для обозначения вырожденных подпространств случайного вырождения. Конечно, в других секторах гильбертова пространства может быть больше случайных вырождений, поэтому полная динамическая группа определяется так, как показано на рисунке (4).

На самом деле более точное определение динамической группы требует рассмотрения системы на классическом уровне. Подробности см. в следующем тезисе С.Г. Бартлетта. Алгебра, порождающая спектр, — это алгебра, порожденная функциями, разделяющими точки на классическом фазовом пространстве. Динамическая группа является соответствующей группой Ли. Классическое фазовое пространство становится коприсоединенной орбитой динамической группы. Примером является 2-сфера