Собственное пространство является иррепом группы симметрии

Одна из проблем неформального повседневного стиля Ref. 1 заключается в том, что трудно извлечь точные утверждения. Ссылка 1 делает несколько неточных или даже неверных утверждений, потому что контекст и предположения отсутствуют в соответствующем абзаце.

1. Предположим для простоты, что гильбертово пространство$V$системы конечномерна, и предоставим читателю возможность обобщить ее на бесконечномерные гильбертовы пространства.

2. Позволять$H\in{\rm End}(V)$— линейный диагонализируемый оператор на$V$.

3. Позволять

   $$V_{\lambda}~:=~{\rm ker} (H-\lambda {\bf 1}_V)~\subseteq~V$$ быть собственным пространством для$H$; где$\lambda\in \mathbb{C}$.

4. Позволять

   $$G~:=~GL(V)\cap \underbrace{{\rm span}(H)^{\prime}}_{\text{commutant}} ~\subseteq~ {\rm End}(V)$$ — множество обратимых операторов, коммутирующих с$H$.

5. Тогда легко проверить, что$G$это группа и что$V_{\lambda}$представляет собой представление$G$(или любой из его подгрупп). ОП прав в этом$V_{\lambda}$не обязательно должно быть неприводимым представлением .

Использованная литература:

1. А. Зи, Теория групп в двух словах для физиков, 2016, с. 163-164.

Собственное пространство гамильтониана - это не только представление группы симметрии G, но и общее собственное пространство для полного набора наблюдаемых / генераторов симметрии.$\Omega$.

Предположим, что некоторое собственное пространство гамильтониана не является единым представлением$G$, а прямая сумма двух различных невозвратов$A$и$B$. Если$\Pi_A$и$\Pi_B$являются соответствующими проекторами подпространств, всегда можно определить наблюдаемую$O = \lambda_A \Pi_A + \lambda_B \Pi_B$чьи собственные значения различают$A$и$B$, и который обязательно коммутирует с гамильтонианом, с полным набором$\Omega$, и со всеми преобразованиями в$G$. Но потом$\Omega$сама по себе больше не является полным набором генераторов наблюдаемых/симметрии. Полный комплект теперь должен включать$O$и исходное собственное пространство разбивается на отдельные собственные пространства A и B, каждое из которых является иррепрезентацией расширенной группы симметрии, и т. д.