Бесконечные производные, локальность и лагранжиан

Для аналитических функций существует определенная область (окрестность) в пространстве-времени вокруг данной точки.$x$в котором функция задается сходящимся разложением Тейлора, включающим все эти производные в точке$x$. Так что да, лагранжиан задействовал бы поле в других точках от$x$и является нелокальным. Это проблематично для многих физиков, поскольку поля в определенной точке пространства-времени будут взаимодействовать с тем же полем в других точках пространства-времени. Тем не менее, люди работали с нелокальными лагранжианами, например, для эффективных теорий поля, в которых эти нелокальные члены могут представлять более глубокую теорию, которая все еще является локальной.

Обратите внимание, что даже в 0+1D пути, проинтегрированные в интеграле по путям, далеки от аналитических. На самом деле почти все они даже не дифференцируемы. Смотрите этот ответ . Требуется много внимания, чтобы понять производные для большинства этих путей. Один из способов, которым люди пытаются это сделать, состоит в том, чтобы позволить самим путям иметь некоторый распределительный характер. Найдите уравнение Фоккера-Планка и прочтите эту статью. До сих пор стохастические производные должны определяться в каждом конкретном случае.

Одна из причин, по которой мы не включаем производные сколь угодно высокого порядка в лагранжиан, заключается в том, что они имеют тенденцию быть неперенормируемыми. Это означает, что в УФ локальность нарушается (таким образом, что теория вообще не допускает принципа действия), как вы и спрашивали. Я думаю, что это, вероятно, связано с трудностью определения высших производных распределений, но я не эксперт.

Я студент, а не профессор, но я думаю, что это совершенно правильно: мы всегда можем расширить поле вокруг любой его точки (при необходимых условиях), если мы располагаем бесконечными производными этого поля, поэтому локальность нашей теории подразумевает, что лагранжиан может зависеть только от конечного числа производных поля, потому что он должен зависеть от окрестности одной точки. Это означает, что лагранжиан (а значит, и уравнения движения !) не может зависеть от сколь угодно далекой точки.