Локальные и нелокальные функционалы

Да, существуют строгие способы определения локальности в таких контекстах, но точная используемая терминология, к сожалению, зависит как от контекста, так и от того, кто дает определение.

Позвольте мне привести пример контекста и определения.

Пример контекста/определения.

Для концептуальной простоты пусть$\mathcal F$обозначают набор гладких, быстро затухающих функций$f:\mathbb R\to \mathbb R$. Функциональный _ $\Phi$на$\mathcal F$это функция$\Phi:\mathcal F\to \mathbb R$.

Функция (еще не функционал на$\mathcal F$)$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$называется локальным , если существует натуральное число$n$, и функция$\bar\phi:\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R$для которого

$$\begin{align} \phi[f](x) = \bar\phi\big(x, f(x), f'(x), f''(x), \dots, f^{(n)}(x)\big) \tag{1} \end{align}$$ для всех $f\in \mathcal F$и для всех $x\in\mathbb R$. Другими словами, такая функция локальна, если она зависит только от $x$, значение функции $f$в $x$, и значение любого конечного числа производных от $f$в $x$.

Функциональный$\Phi$называется интегральным функционалом , если существует функция$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$такой, что

$$\begin{align} \Phi[f] = \int_{\mathbb R} dx \, \phi[f](x). \tag{2} \end{align}$$ Интегральный функционал $\Phi$называется локальной , если существует некоторая локальная функция $\phi:\mathcal F\to\mathcal F$для которого $(2)$держит.

Что мы могли определить по-другому?

Некоторые авторы могут не допускать производных в определении$(1)$, или может называть что-то с производными полулокальными . Это имеет интуитивно понятный смысл, потому что если вы думаете о Тейлоре, расширяющем функцию, скажем, в исчислении с одной переменной, вы получаете

$$\begin{align} f(x+a) = f(x) + f'(x)a + f''(x)\frac{a^2}{2} + \cdots, \end{align}$$ и если ты хочешь $a$быть большим, а именно, если вы хотите получить информацию о том, что делает функция далеко от $x$(нелокальное поведение), тогда вам нужны более производные термины, чтобы это почувствовать. Чем больше производных вы рассматриваете, тем больше ощущаете «нелокальное» поведение функции.

Можно также обобщить ситуации, в которых задействованные функции находятся на многообразиях или не являются гладкими, а, возможно, дифференцируемыми только конечное число раз и т. д., но это всего лишь детали, и я не думаю, что они освещают концепцию.

Пример 1 - локальный функционал.

Предположим, что мы определяем функцию$\phi_0:\mathcal F\to \mathcal F$следующее:

$$\begin{align} \phi_0[f](x) = f(x), \end{align}$$ затем $\phi_0$является локальной функцией $\mathcal F\to\mathcal F$, и это дает локальный интегральный функционал $\Phi_0$данный $$\begin{align} \Phi_0[f] = \int_{\mathbb R} dx\, \phi_0[f](x) = \int_{\mathbb R} dx\, f(x), \end{align}$$ который просто интегрирует функцию по реальной линии.

Пример 2 - еще один локальный функционал.

Рассмотрим функцию$\phi_a:\mathcal F\to\mathcal F$определяется следующим образом:

$$\begin{align} \phi_a[f](x) = f(x+a). \end{align}$$ Это $\phi_a$местный? Ну, для $a=0$это, конечно, так как это согласуется с $\phi_0$. Как насчет $a\neq 0$? ну для такого случая $\phi_a$конечно не потому $f(x+a)$зависит как от $f(x)$и на бесконечном числе производных от $f$в $x$. Что с функционалом $\Phi_a$полученный путем интегрирования $\phi_a$? Заметить, что $$\begin{align} \Phi_a[f] &= \int_{\mathbb R} dx\,\phi_a[f](x) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, f(x+a) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, f(x) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, \phi_0[f](x)\\ &= \Phi_0[f]. \end{align}$$ Так $\Phi_a[f]$хоть и местный $\phi_a$не для $a\neq 0$.

Урок этого примера таков: вы можете столкнуться с интегральным функционалом$\Phi:\mathcal F\to\mathbb R$который определяется интегрированием по нелокальной функции$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$. Тем не менее, может быть еще способ написать функционал$\Phi$как интеграл по другой функции, скажем$\phi'$, то есть локально, и в этом случае мы можем утверждать, что$\Phi$также является локальным, потому что для проверки локальности функционала вам просто нужно найти один способ записать его в виде интеграла от локальной функции.