Что понимается под локальной лагранжевой плотностью?

Что такое локальная лагранжева плотность?

Классическая теория поля в пространстве Минковского$\mathbb R^{d,1}$указывается пробелом$\mathcal C$полевых конфигураций$\phi:\mathbb R^{d,1}\to T$, и функционал действия$S:\mathcal C\to\mathbb R$. Набор$T$называется целевым пространством теории и часто является векторным пространством. Если существует функция$L:\mathcal C\times\mathbb R\to \mathbb R$для которого

$$\begin{align} S[\phi] = \int_{\mathbb R} dt\, L[\phi](t), \end{align}$$ тогда мы звоним $L$лагранжиан для теории. Если, далее, существует функция $\tilde L$такой, что $$\begin{align} L[\phi](t) = \int_{\mathbb R^d} d^d\mathbf x \,\tilde L[\phi](t, \mathbf x) \end{align}$$ тогда мы звоним $\tilde L$лангранжева плотность для теории. Наконец, если существует натуральное число $n$и функция $\mathscr L$такой, что $$\begin{align} \tilde L[\phi](t, \mathbf x) = \mathscr L(t,\mathbf x,\phi(t, \mathbf x), \partial\phi(t,\mathbf x), \dots, \partial^n\phi(t,\mathbf x)) \end{align}$$ тогда говорят, что плотность лагранжиана локальна . Другими словами, лагранжева плотность локальна при условии, что ее значение в данной точке пространства-времени зависит только от этой точки, значения поля в этой точке и конечного числа его производных в этой же точке.

Пример нелокальной лагранжевой плотности.

Учитывать$T = \mathbb R$, а именно теория одного вещественного скалярного поля. Позволять$\mathbf a\in\mathbb R^d$быть задано, и определить лагранжевую плотность как

$$\begin{align} \tilde L[\phi](t,\mathbf x) = \phi(t,\mathbf x) + \phi(t, \mathbf x+\mathbf a). \end{align}$$ Эта плотность лагранжиана не является локальной, поскольку значение лагранжиана в данной точке $(t,\mathbf x)$зависит от значения поля в этой точке и от значения поля в точке $(t,\mathbf x+\mathbf a)$. Если бы мы Тейлор расширили второй член $\phi(t,\mathbf a)$о $\mathbf x$, то мы увидели бы, что плотность лагранжиана зависит от бесконечного числа производных поля, что нарушает определение локальной плотности лагранжа.

Что не так с теориями с нелокальными лагранжевыми плотностями?

Я не эксперт в этом, поэтому я переадресую другому пользователю. Однако я скажу, что теории с нелокальными лагранжевыми плотностями изучают на практике, так что априори в них нет ничего «неправильного», но в целом они могут демонстрировать некоторую патологию, которой вы предпочли бы не иметь.

Возможно, наиболее важным, однако, если вы берете КТП от теоретика высоких энергий, например, является то, что лагранжева плотность Стандартной модели является локальной, поэтому нет необходимости рассматривать нелокальных зверей, если кто-то изучает Стандартную модель. .