Почему в теории поля работают с лагранжевой плотностью?

Помните, что главное — это действие $S = \int dt L(q, \dot{q}, t)$. О лагранжиане всегда следует думать как об ингредиенте для определения действий.

Лагранжева плотность — наиболее естественный способ описания поля, т. е. того, что меняется в пространстве. Способ мотивировать это исходным лагранжевым формализмом состоит в том, чтобы думать о поле на решетке :$\phi( a n_i \mathbf{e}_i, t) \sim \phi_{n}(t)$, где$a$- шаг решетки и$n\in\mathbb{Z}^3$, и вы должны учитывать$\phi_n$как обычные динамические переменные. Если поля проходят через куб 3x3 со стороной$d$, то есть$N = (d/a)^3$переменные. Лагранжиан теперь является гладкой функцией$\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$. Это немного громоздко, однако мы ожидаем,$L$принять несколько особую форму на основе трансляционной симметрии Вселенной:

$L(\{\phi_n(t), \dot{\phi}_n(t)\}) = \sum_n \left[\mathcal{L}_0(\phi_n, \dot{\phi}_n) + \mathcal{L}_1(\phi_n, \phi_{n+a\mathbf{e}_i}, \dot{\phi}_{n}, \dot{\phi_{n+a\mathbf{e}_i}}) + \ldots \right]$где$\mathcal{L}_1$зависит от ближайших соседей,$\mathcal{L}_2$зависит от вторых ближайших соседей и так далее. Важно отметить, что ни один из$\mathcal{L}$зависит от того, где они оцениваются - нет$n$индексировать их - они заботятся только о значении поля в этой точке. Основное предположение теории поля состоит в том, что поля локальны - энергия данной конфигурации поля должна зависеть только от того, что это поле делает в точке.$\mathbf{x}$, т.е. энергия в точке должна зависеть только от значения$\phi$и его деформации.

Теперь обратите внимание, что эти зависимости от ближайших соседей можно рассматривать как дискретные производные:

$$a \mathbf{e}_i \cdot \nabla \phi_n = \phi_{n+a\mathbf{e}_i} - \phi_n$$ Это можно показать с небольшой работой, которую вам нужно учитывать$n$ближайших соседей, чтобы получить полный$n$производная го порядка. (Кроме того: это дает некоторое представление о том, почему работают ряды Тейлора - если вы знаете все [дискретные] производные аналитической функции в точке, вы можете определить значение функции в любой точке и наоборот).

В континууме$a \to 0$ограничение, это должно проявляться как$\mathcal{L}(\phi, \nabla \phi, \dot{\phi}, \nabla \nabla \phi, \nabla \nabla \dot{\phi},...)$. В принципе, нет никаких оснований априори обрезать ряд, указывая на зависимость от всех производных от$\phi$. Точно так же сумма становится интегралом:$\sum_n \mapsto \int d^3 \mathbf{x}$, и мы получаем

$$L(\phi \text{ at all points in space}) = \int d^3 \mathbf{x} \mathcal{L}(\phi(\mathbf(x)), \partial^\mu \phi(\mathbf{x}), \partial^\mu \partial^\nu \phi(\mathbf{x}), ...)$$

и, в конечном счете, более дружественный к относительности объект

$$S[\phi] = \int d^4\mathbf{x} \mathcal{L}(\phi(\mathbf(x)), \partial^\mu \phi(\mathbf{x}), \partial^\mu \partial^\nu \phi(\mathbf{x}), ...)$$

На практике лагранжианы в физике элементарных частиц не зависят от производных более высокого порядка, чем$\dot{\phi}, \nabla \phi$, по различным теоретическим причинам. Однако некоторые классические лагранжианы в конденсированных средах это делают!

Короче говоря, лагранжева плотность используется для формализации представления о том, что энергия зависит только от полей, т. е. что законы физики везде одинаковы.

Я думаю, вопрос в том, почему в теории поля плотность Лагранжа предпочтительнее функции Лагранжа, используемой в классической механике.

Так что если это так, то причина проста. Действие как интеграл по лагранжиану должно быть лоренц-инвариантным, используя плотность Лагранжа, этого можно добиться, тогда как с помощью функции Лагранжа классической механики этого достичь нельзя.

Цель состоит в том, чтобы сделать интеграл от лагранжиана (который определяет действие) лоренц-инвариантным:

$$S=\int dt\, d^3x\, \mathcal{L}.$$ 4-томный$dt\,d^3 x$является лоренц-инвариантным (но простым$dt$не является лоренц-инвариантным), и если$\mathcal{L}$(и его легко можно построить) как скаляр, построенный из полей, весь интеграл и, следовательно, действие являются лоренц-инвариантными.

4-томный$dt\,d^{3}x$можно записать лоренц-ковариантным образом с использованием полностью антисимметричного тензора Леви-Чивиты$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$:

$$dt\,d^{3}x = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\,dx^{\mu}\,dx^{\nu}\,dx^{\rho}\,dx^{\sigma}.$$ Этот формализм основан на пространстве-времени Минковского. Так что искривленное пространство-время сюда не входит.