Почему производная бесконечного порядка в лагранжевой плотности подразумевает нелокальность?

Есть домашнее задание по теории поля. В нем говорится, что отрицательный порядок производной (например,$\frac{1}{\nabla^2}$), дробный порядок производной (например,$\nabla^{2/3}$) и производная бесконечного порядка вообще не может встречаться в локальной теории поля.

Это легко доказать:

$$\frac{1}{\nabla^2} \phi(x)= -\int d^3k \frac{1}{k^2} \tilde\phi(k) e^{ikx} \propto \int d^3y \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}\phi(y)$$ Так что это нелокально.

Точно так же

$$\nabla^{2/3} \phi(x)\propto \int d^3k k^{2/3}\tilde{\phi}(k )\propto \int d^3y \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{8/3}}\phi(y)$$ Тоже нелокальный.

Но я не могу доказать, почему производная бесконечного порядка будет означать нелокальность? Например$e^{\nabla^2}\phi(x)$должно зависеть только от количества в точке$x$. Я тоже пытаюсь спорить

$$\sum_{n=0}^{\infty} (\nabla^2)^{n}=\frac{1}{1-\nabla^2}$$ Но я думаю, что это неправда, так как $$\sum_{n=0}^{\infty} (\nabla^2)^{n} \phi(x)=\int d^3k \sum_{n=0}^\infty k^{2n} \tilde{\phi}(k)$$ только когда $k<1$, вышеуказанные величины могут быть равны $\int d^3k \frac{1}{1-k^2} \tilde{\phi}(k)$.

Итак, является ли всякая теория производных бесконечного порядка нелокальной или существует теория производных бесконечного порядка, которая не является локальной?

Приведите мне конкретный пример нелокальной теории производных бесконечного порядка.