Представление, при котором матрицы Паули преобразуются

Матрицы Паули — это инвариантные тензоры, связывающие левый и правый спиноры. Эти спиноры преобразуются в разные представления группы Лоренца (как вы упомянули) и, следовательно, обычно обозначаются разными индексами. Это легко увидеть в двухкомпонентной нотации, однако, если вы не знакомы с этой нотацией, это также можно увидеть в четырехкомпонентном лагранжиане:

$$\bar{\psi} \gamma _\mu \psi = \psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\psi=\left( \begin{array}{cc}\psi_R^* & \psi_L^* \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & \sigma ^\mu \\ \bar{\sigma} ^\mu & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \psi _L \\ \psi _R \end{array} \right) = \psi_R^*\sigma^\mu\psi_R +\psi_L^* \bar{\sigma} ^\mu \psi _L.$$ Затем можно показать, что$\psi_L^*$($\psi_R^*$) превращается в правый (левый) спинор. Ясно$\sigma ^\mu$поле затем соединяет$\psi _R$поле с$\psi _L$поле. Мы можем записать эти сокращения более явно, обозначив индексы левостороннего представления греческими индексами и индексы правостороннего представления греческими индексами с точками: $$\psi^*_{L \, \dot{\alpha}} \left(\sigma^\mu\right)^{\dot{\alpha}}_{\phantom {\alpha}\alpha} \psi_L ^\alpha$$

Примечание: у вас может возникнуть соблазн подумать о$\psi _R$и$\psi_L$не как отдельные поля, а просто поля с действующими на них проекторами. Это делает всю эту тему очень запутанной, и я призываю к удобному мышлению с точки зрения двух компонентных полей как фундаментальных объектов, составляющих фермионы.

У меня был тот же вопрос, и ссылка, предоставленная Qmechanic , кажется, основана на твердом понимании теории групп. Мне было интересно, можно ли просто понять преобразование индексов для этого конкретного вопроса только на основе учебника, используя минимальное количество знаний/аргументов из теории групп. Посоветовавшись с моим коллегой Альберто, вот ответ, который я получил по этому критерию.

Тождество (уравнение (3.77))) гласит:

$$(\sigma^{\mu})_{\alpha\beta}(\sigma_\mu)_{\gamma\delta}=2\epsilon_{\alpha\gamma}\epsilon_{\beta\delta} \ .$$

Начнем с правой части равенства. Во-первых, мы можем показать, что антисимметричный символ$\epsilon_{\alpha\gamma}$является лоренц-инвариантным, если оба индекса преобразуются как левые спиноры Вейля

$$\Psi_L\rightarrow U_L\Psi_L=\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\Psi_L \ \ .$$

Приведенное выше утверждение эквивалентно следующему тождеству

$$\epsilon_{\alpha\gamma}\rightarrow \exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2}) _{\alpha\alpha'} \exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})_{\gamma\gamma'}\epsilon_{\alpha'\gamma'}=\epsilon_{\alpha\gamma}$$ или $$\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})^T=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Вышеприведенное тождество можно без особого труда показать, заметив$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}=i\sigma^2$,$\sigma^\dagger=\sigma$и поперечное уравнение (3.38), так что

$$\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\sigma^2 \exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})^T\\ =\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})\sigma^2 [\sum_n\frac{1}{n!}(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2})^n]^T\\ =\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2}) \exp(+i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma^*}{2}+\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma^*}{2})^T \sigma^2\\ =\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2}) \exp(+i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma^\dagger}{2}+\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma^\dagger}{2}) \sigma^2\\ =\exp(-i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}-\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2}) \exp(+i{\mathbf \theta}\cdot \frac{\sigma}{2}+\mathbf{\beta}\cdot\frac{\sigma}{2}) \sigma^2=\sigma^2$$

Очень похожее рассуждение показывает, что$\epsilon_{\alpha\gamma}$также инвариантно, если оба индекса преобразуются как правые спиноры Вейля . Таким образом, можно рассматривать правую часть тождества как инвариантный тензор, где$\alpha,\gamma$преобразует в представлении Лоренца$\Psi_L$, пока$\beta,\delta$преобразует в отдельном представлении Лоренца$\Psi_R$, как указано в учебнике.

Теперь переходим к левой части тождества. Математически более сложно (но все же осуществимо) показать (хотя умная догадка также убедительно указывает), что$(\sigma^\mu)_{\alpha\beta}$также является лоренц-инвариантным тензором, когда$\mu$преобразуется как вектор Лоренца, определяемый уравнением (3.19),$\alpha$превращается в левый спинор и$\beta$превращается в правый спинор. Так что, когда$\mu$свертывается в левой части тождества, остальные свободные параметры преобразуются точно так же, как и в правой части. Это сразу приводит к выводу, что тождество верно с точностью до постоянного числа, которое затем можно зафиксировать, оценивая только один член (вместо всех$2^4=16$из них).

Обычно приведенные выше аргументы приводятся на языке теории групп в более элегантной форме, и одной хорошей ссылкой является Квантовая теория поля Средненицкого (см. текст между уравнениями (34.18) и (35.20)).

Удобно использовать пунктирную запись. Алгебра Лоренца$so(1,3)$изоморфен$su(2)_L \times su(2)_R$. Обозначим фундаментальные$su(2)_L$индексы по$\alpha$,$\beta$и т.д. и фундаментальные$su(2)_R$индексы по${\dot \alpha}$,${\dot \beta}$и т. д. Заметим, что для унитарных представлений$so(1,3)$, комплексное сопряжение меняет местами представления L и R и, следовательно, также меняет местами индексы без точек и с точками.

Есть несколько инвариантных по Лоренцу тензоров, представляющих интерес, в частности,$\delta^\alpha_\beta$,$\delta^{\dot \alpha}_{\dot \beta}$,$\varepsilon_{\alpha\beta}$,$\varepsilon_{ {\dot \alpha} {\dot \beta}}$и матрицы Паули$(\sigma^\mu)_{\alpha{\dot \beta}}$Чтобы быть абсолютно ясным, я имею в виду, что когда они зажаты между спинорами, они трансформируются способом, указанным их индексами (см. ответ Джеффа на этот вопрос). Я оставляю вам в качестве домашнего задания доказательство того, что я только что сказал.

Если все индексы явные, то любое уравнение должно сохранять структуру индексов. Например, интересующее вас количество

$$(\sigma^\mu)_{\alpha {\dot \beta}} (\sigma_\mu)_{\gamma {\dot \delta}}$$ Это инвариант Лоренца и имеет свободные индексы$\alpha$,${\dot \beta}$,$\gamma$ $\dot \delta$. Единственная лоренц-инвариантная величина, которую можно построить из этих индексов, это$\varepsilon_{\alpha\gamma} \varepsilon_{ {\dot \beta} {\dot \delta}}$. Таким образом, мы должны иметь $$(\sigma^\mu)_{\alpha {\dot \beta}} (\sigma_\mu)_{\gamma {\dot \delta}} = \lambda \varepsilon_{\alpha\gamma} \varepsilon_{ {\dot \beta} {\dot \delta}}$$ Осталось исправить константу$\lambda$. Для этого можно установить${\dot \beta}=\gamma$и$\alpha={\dot \delta}$и суммировать по повторяющимся индексам (это нарушает лоренц-инвариантность, но на данный момент нас это не волнует). Тогда мы имеем матричное уравнение $$\text{tr}(\sigma^\mu \sigma_\mu) = \lambda \text{tr}(\varepsilon^2) = - \text{tr}(I_2) + \text{tr} ( \vec{\sigma} \cdot \vec{\sigma} ) = - \lambda \text{tr}(I_2) \quad \implies \quad \lambda = - 2 .$$ Таким образом, $$(\sigma^\mu)_{\alpha {\dot \beta}} (\sigma_\mu)_{\gamma {\dot \delta}} = - 2 \varepsilon_{\alpha\gamma} \varepsilon_{ {\dot \beta} {\dot \delta}}$$ Это соответствует вашему уравнению до знака, который зависит от соглашения. Я использовал соглашение о том, что$\varepsilon_{12} = \varepsilon_{ {\dot 1} {\dot 2} } = 1$.

Другой способ убедиться в этом — использовать законы преобразования для$\gamma^\mu$матрицы. Обратите внимание, что мы можем написать

$$\Lambda_{1/2}=\left(\begin{matrix} \Lambda_{1/2L} & 0 \\ 0 & \Lambda_{1/2R} \end{matrix}\right),$$ где$\Lambda_{1/2}$это матрица, которая выполняет преобразование Лоренца на спиноре Дирака. Легко убедиться, что это так, потому что$\Lambda_{1/2}$состоит из комбинаций единичной и блочно-диагональной матриц$S^{\mu\nu}$(при условии, что мы используем киральное представление, как у Пескина и Шрёсдера). Легко видеть, что$\Lambda_{1/2L}$- оператор, выполняющий преобразование Лоренца на левом спиноре, и$\Lambda_{1/2R}$делает то же самое для правого спинора. Чтобы привести конкретный пример, для бесконечно малых преобразований уравнение 3.37 говорит, что $$\Lambda_{1/2L}=1-i\theta\cdot\sigma/2-\beta\cdot\sigma/2\text{, and }\Lambda_{1/2R}=1-i\theta\cdot\sigma/2+\beta\cdot\sigma/2.$$

Теперь мы можем использовать законы преобразования$\gamma^\mu$матрицы:

$$\left(\begin{matrix} \Lambda^{-1}_{1/2L} & 0 \\ 0 & \Lambda^{-1}_{1/2R} \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0 & \sigma^\mu \\ \bar{\sigma}^\mu & 0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \Lambda_{1/2L} & 0 \\ 0 & \Lambda_{1/2R} \end{matrix}\right)$$ $$=\Lambda^{-1}_{1/2}\gamma^\mu\Lambda_{1/2}={\Lambda^\mu}_\nu\gamma^\nu=\left(\begin{matrix} 0 & {\Lambda^\mu}_\nu\sigma^\nu \\ {\Lambda^\mu}_\nu\bar\sigma^\nu & 0 \end{matrix}\right).$$ Выполняя умножение матриц и ориентируясь на правый верхний блок, получаем $$\Lambda^{-1}_{1/2L}\sigma^\mu\Lambda_{1/2R}={\Lambda^\mu}_\nu\sigma^\nu.$$