Как отличить спинор от 4-вектора?

Question

Как отличить спинор от 4-вектора?

пользователь171780

Допустим, нам дан четырехкомпонентный объект. Чтобы быть явным, давайте рассмотрим, что эти компоненты $x^\mu = \mu$ с $\mu\in{0,1,2,3}$ , т.е.

{Икс}^{мю} \sim [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] .

$x^\mu \sim \left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3 \end{matrix} \right] .$ Как мы узнаем, представляют ли эти компоненты 4-вектор или спинор? (Забудьте о типичных 4-векторных обозначениях, которые я использую. Это просто обозначения, которые я выбираю.) Я всегда читал в книгах, что 4-векторы (или тензоры в целом) распознаются по способу преобразования их компонентов. Это относится и к спинорам?

Позвольте мне расширить свой вопрос с помощью «примера». Рассмотрим также некоторое преобразование Лоренца, параметризованное формулой $\xi_i$ за "угол" наддувов и $\theta_i$ для углов поворота. Предположим, что нам даны компоненты этого объекта после преобразования и что они представляют собой некоторый массив чисел $y^\mu$ . Но нам не говорят, как они рассчитывались или, что еще интереснее, и то, и другое. $x^\mu$ и $y^\mu$ могут быть измерены. Таким образом, мы хотим связать $x^\mu$ и $y^\mu$ .

Предположим, что после некоторых «проб и ошибок» мы обнаруживаем, что они связаны линейным преобразованием

у^{мю} "=" {(опыт (\frac{я}{2} ю_{р о} Σ^{р о}))}_{ν}^{мю} {Икс}^{ν}

$y^\mu = \left( \exp\left(\frac{i}{2} \omega_{\rho\sigma} \Sigma^{\rho\sigma}\right) \right)^\mu_{\ \ \ \nu} x^\nu$ (что не более чем

y^{μ} = Λ_{ν}^{μ} x^{ν}

$y^\mu = \Lambda^\mu_{\ \ \nu} x^\nu$ ) где

ю_{р о} "=" [\begin{matrix} 0 & ξ_{1} & ξ_{2} & ξ_{3} \\ - ξ_{1} & 0 & θ_{3} & θ_{2} \\ - ξ_{2} & - θ_{3} & 0 & θ_{1} \\ - ξ_{3} & - θ_{2} & - θ_{1} & 0 \end{matrix}]

$\omega_{\rho\sigma} = \left[ \begin{matrix}0 & \xi_{1} & \xi_{2} & \xi_{3}\\ -\xi_{1} & 0 & \theta_{3} & \theta_{2}\\ -\xi_{2} & -\theta_{3} & 0 & \theta_{1}\\ -\xi_{3} & -\theta_{2} & -\theta_{1} & 0 \end{matrix} \right]$

Правильно ли сделать следующий вывод?

Если $\Sigma^{\rho\sigma}$ заданы, то мы заключаем, что компоненты представляют собой 4-вектор.
Если $\Sigma^{\rho\sigma} = \frac{i}{4} [\gamma^\rho,\gamma^\sigma]$ с $\gamma^\mu$ матрицы Дирака, или более явно, тогда мы заключаем, что компоненты представляют собой спинор.
Если $\Sigma$ отличаются от них, но удовлетворяют алгебре Лоренца, тогда компоненты $x^\mu$ представляют другой тип объекта, отличный от 4-вектора или спинора.

Это верно? Если да, то можно ли это рассматривать как определение спинора (как это происходит с 4-векторами) независимо от того, удовлетворяют они или нет уравнению Дирака?

Александр

Вы узнаете по контексту (возможно, даже по размерному анализу ). Компоненты спинора Дирака являются «внутренними состояниями» и имеют другие свойства (ограничения), чем «просто» 4-векторы.

октонион

Вот простое объяснение в Википедии en.wikipedia.org/wiki/Spin_representation

Чарли

Один из способов узнать их — по тому, как они трансформируются. В общем, 4-векторы преобразуются через Лоренца как

Ψ^{'} = M (Λ) Ψ

$\Psi'=M(\Lambda)\Psi$ , где

M (Λ)

$M(\Lambda)$ - матрица преобразования для преобразования Лоренца

Λ

$\Lambda$ . Один из способов представить эту матрицу — использовать генераторы вращения.

M (Λ) = e x p (\frac{i}{2} ω^{μ ν} J_{μ ν})

$M(\Lambda)=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu})$ . С другой стороны, и спинор — это объект, который трансформируется подобно

Ψ^{'} = e x p (\frac{i}{2} ω^{μ ν} S_{μ ν}) Ψ

$\Psi'=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}S_{\mu\nu})\Psi$ , где образующие задаются

S_{μ ν} = \frac{i}{4} [γ_{μ}, γ_{ν}]

$S_{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$ , где

γ_{μ}

$\gamma_\mu$ – гамма-матрицы Дирака.

Папа Кропоткин

Когда они представлены просто как вектор-столбец, их невозможно различить — в этом суть простого представления! Как уже говорили выше, контекст должен информировать вас о природе зверя.

Космас Захос

Казимиры ваших 1 и 2 повторений имеют очень разные собственные значения... какие?

Космас Захос

Ваше повторение 2 уже уменьшено (посмотрите на его блоки). Теперь в каждом случае нижние три генератора представляют подгруппу вращения. Вы можете видеть вектор, спин 1, представление в 1 и два непересекающихся дублета, спин 1/2, повторения в 2?

Ответы (1)

Как отличить спинор от 4-вектора?

Вы узнаете по контексту (возможно, даже по размерному анализу ). Компоненты спинора Дирака являются «внутренними состояниями» и имеют другие свойства (ограничения), чем «просто» 4-векторы.
Вот простое объяснение в Википедии en.wikipedia.org/wiki/Spin_representation
Один из способов узнать их — по тому, как они трансформируются. В общем, 4-векторы преобразуются через Лоренца как $\Psi'=M(\Lambda)\Psi$ , где $M(\Lambda)$ - матрица преобразования для преобразования Лоренца $\Lambda$ . Один из способов представить эту матрицу — использовать генераторы вращения. $M(\Lambda)=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}J_{\mu\nu})$ . С другой стороны, и спинор — это объект, который трансформируется подобно $\Psi'=exp(\frac{i}{2}\omega^{\mu\nu}S_{\mu\nu})\Psi$ , где образующие задаются $S_{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$ , где $\gamma_\mu$ – гамма-матрицы Дирака.
Когда они представлены просто как вектор-столбец, их невозможно различить — в этом суть простого представления! Как уже говорили выше, контекст должен информировать вас о природе зверя.
Казимиры ваших 1 и 2 повторений имеют очень разные собственные значения... какие?
Ваше повторение 2 уже уменьшено (посмотрите на его блоки). Теперь в каждом случае нижние три генератора представляют подгруппу вращения. Вы можете видеть вектор, спин 1, представление в 1 и два непересекающихся дублета, спин 1/2, повторения в 2?

Стейн Б. · Answer 1

Можно сказать, что можно различать векторы и спиноры по тому, как они трансформируются. Векторы и спиноры принадлежат разным представлениям группы Лоренца и поэтому имеют разные правила преобразования. Ваш пример действительно правильный. Поэтому, если вы знаете из контекста, как трансформируется объект, вы можете догадаться, что это такое.

Обычно математики сильно злятся, когда слышат об «определении объекта X по способу его преобразования». Как вы можете изменить то, что еще не определили? Тем не менее, именно так во многих учебниках по ОТО вводятся тензоры, и с точки зрения физики это нормально. Математики предпочли бы восходящий подход, при котором можно было бы начать с группы (например, группы Лоренца или группы вращения), классифицировать ее представления и только затем давать им глупые имена, такие как «спинор» и «тензор».

Кстати (довольно неуместно), я думаю, что в ваших генераторах Лоренца для 4-вектора есть несколько минусовых знаков: генераторы буста должны иметь два ненулевых элемента одного знака.

Так что, если я что-то измеряю, затем меняю эксперимент и выполняю то же самое измерение, анализируя взаимосвязь измерений, я могу догадаться, какова природа этого чего-то, верно? Для скаляров измерение даст тот же результат, а для векторов или спиноров (или других объектов) отношения между компонентами подскажут мне, что это такое.

Как отличить спинор от 4-вектора?

пользователь171780

Александр

октонион

Чарли

Папа Кропоткин

Космас Захос

Космас Захос

Ответы (1)

Стейн Б.

пользователь171780

Стейн Б.

Общее определение вектора, спинора и спина

Спиновые представления группы Лоренца

Спиноры Дирака, Вейля и Майораны

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Спиноры и спиновая группа

Алгебра Лоренца и ее образующие

Интерпретация спиноров ранга 2

Преобразования четности и спинор Дирака

Концептуальная интерпретация левых и правых спинорных представлений группы Лоренца