Понимание спинора: КТП против чистой теории представлений

У меня есть несколько вопросов по терминологии, используемой в КМ и КТП, и (чисто математической) теории представления, рассматривающей понятие «спинор».

Давайте сосредоточимся на спиноре Дирака, как описано в https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_spinor :

По статье это сложный биспинор ψ "=" ( ψ л ψ р ) которое является решением уравнения Дирака

( я γ мю ∂ мю − м ) ψ "=" 0

с γ мю гамма-матрицы и ψ л , ψ л Спиноры Вейля из ( ½ , 0 ) и ( 0 , ½ ) представления С О ( 1 , 3 ) группа (группа Лоренца без преобразований четности).

С точки зрения (чисто математической) теории представлений спиноры являются элементами фундаментального представления алгебры Клиффорда .

Краткий обзор теории представлений: рассмотрим алгебру А и один ищет векторное пространство В сказать о размере н и гомоморфизм групп р А : А → М а т н ( В ) .

Используя этот язык, спиноры — это изображения под картой. р С л : С л → М а т н ( В ) для некоторой алгебры Клиффорда С л и определенные н -мерное векторное пространство В . Другими словами, репрезентативные элементы в матричной алгебре элементов С л .

Проблема в том, что сравнение этих двух точек зрения, если мы фиксируем точку x "=" ( Икс 0 , Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 ) что ψ ( х ) "=" ( ψ л ψ р ) ( x ) оценивается в x ? Элемент изображения соответствующей карты представления р (это совпадало бы с математическим определением спинора) или элемент векторного пространства В на котором изображения под р действовать через р ? Но затем вызов ψ ( x ) спинор вводит в заблуждение.

Для простоты сосредоточимся на верхнем спиноре Вейля. ψ л ( х ). По определению, представление Вейля-Спинора является наименьшим (= фундаментальным) комплексным представлением Вращаться ⁡ ( 1 , 3 ) .

Если бы это был «спинор» в обычном смысле, то была бы карта представления р : Вращаться ⁡ ( 1 , 3 ) → М а т н ( В ) с определенным векторным пространством В и ψ л ( x ) будет содержаться в изображении.

Но почему? ψ л ( x ) является элементом С 2 так что интуитивно это элемент В но вещь нарушает номенклатуру.

Кто-нибудь может объяснить, что я здесь путаю. Особенно почему обозначение "спинор" для ψ л ( x ) имеет ли здесь смысл с математической точки зрения?

Кажется, вы путаете матрицы представления с элементами векторного пространства, с которыми оперируют матрицы. Спиноры являются элементами векторного пространства. Они не являются «элементами представления».

Ответы (2)

Спиноры — это векторы в векторном пространстве представления, а не матрицы в образе карты представления.

  1. Преобразования спинора или биспинора Дирака в (единственном) неприводимом представлении алгебры Клиффорда С л ( 1 , 3 ) . Это представление является четырехмерным.

  2. Преобразование спинора Вейля в неприводимое комплексное представление алгебры Лоренца с о ( 1 , 3 ) (и, следовательно, С п я н ( 1 , 3 ) ), из которых два обозначаются ( 1 / 2 , 0 ) и ( 0 , 1 / 2 ) , «левое» и «правое» представление. Эти представления двумерны.

  3. с о ( 1 , 3 ) изоморфна как алгебра Ли подалгебре степени 2 в С л ( 1 , 3 ) , поэтому представление Дирака - неприводимое как представление С л ( 1 , 3 ) - также не обязательно неприводимое представление с о ( 1 , 3 ) .

  4. Фактически, как представительство с о ( 1 , 3 ) представление Дирака приводимо и изоморфно ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) . Вот что имеют в виду физики, когда пишут ψ "=" ( ψ л ψ р ) .

Ответы, данные Карлом Питером выше, НЕВЕРНЫ. Ответ, данный ACuriousMind, верен, но физикам может быть трудно его понять. Спиноры теории представлений не являются векторами. Их нельзя априори не суммировать. Ответы, данные Карлом Питером, смешивают эти чисто математические спиноры и сущности, которые вмешиваются в применение спиноров к квантовой механике, где суммы спиноров вводятся, несмотря на теорию представлений. Таким образом, квантовая механика рассматривает спиноры как векторы, которыми, согласно теории представлений, они не являются.

Поскольку люди не знают, что величины, используемые в квантовой механике, являются суммами, они называют их также спинорами, но это уже не одно и то же. Таким образом, мы должны понять, почему мы можем суммировать спиноры в квантовой механике, несмотря на теорию представлений. Ответ, к сожалению, очень длинный.

Для понимания математических спиноров вы можете обратиться к: https://hal.archives-ouvertes.fr/cea-01572342v1 , особенно к его разделу 2 (можно пропустить 2.6 и 2.8). Это дает математический смысл спиноров.

Чтобы понять, как они используются в уравнении Дирака, вам следует обратиться к: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03084916v2 .Часть этого документа выводит уравнение Дирака с нуля. Это позволит вам понять смысл уравнения Дирака, в то время как традиционное лечение не может дать вам этого понимания, потому что Дирак угадал свое уравнение. Тогда вы увидите, что биспинор является состоянием суперпозиции, то есть суммой двух спиноров представления Вейля 4x4, которое имеет блочную структуру, содержащую два различных представления Вейля 2x2. Суммы спиноров в теории представлений не определены, поскольку суммы групповых элементов априори не определены. Поскольку в квантовой механике используются суммы спиноров, необходимо найти смысл таких сумм. Оказывается, такие суммы представляют собой наборы элементов группы. Следовательно, би-спинор не является чистым спинором, а представляет собой набор спиноров, половина из которых левовращающие, а половина правовращающиеся. Эти наборы теперь описывают статистические ансамбли электронов. Каждый электрон имеет свой чистый спинор. Без введения таких множеств нельзя вывести уравнение Дирака.

Вы сказали: «Спиноры теории представлений не являются векторами». и @ACuriousMind сказал: «Спиноры - это векторы в векторном пространстве представления». Не могли бы вы объяснить, почему вы оба правы?
Понимание спинора: КТП против чистой теории представлений
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v