Спинорные точечные и непунктирные индексы

Я познакомился с QFT после книги Мандла и Шоу. Однако меня попросили написать отчет о СРТ-теореме. Для этого я использую в качестве основного справочника ПКТ, вращение, статистику и все такое, написанное Стритером и Вайтманом.

Я считаю, что введение точечных и неточечных индексов в этой книге действительно неясно. Я также нашел ссылку на точечные индексы в «Локальной квантовой физике» Хаага, но я не понимаю, о чем он говорит.

Может ли кто-нибудь объяснить, что такое индексы, как они определяются и, самое главное, как для данного спинора узнать, какими должны быть их индексы?

Например, в чем разница между ψ , ψ α , ψ α ˙ , ψ α , ψ α ˙ и ψ дельта ϵ ˙ ζ ˙ α β γ ˙ ?

Проблема, как мне кажется, заключается в том, что у меня нет опыта работы с теорией представлений, и в курсе, где я когда-либо упоминал такие вещи. Поэтому, если бы вы могли дать объяснение этих вещей или сослаться на них, не прибегая к теории репрезентации, это было бы очень полезно. Спасибо!

Я не думаю, что вы сможете по-настоящему понять, что происходит, не используя теорию представлений. Единственная разница между пунктирными и беспунктирными индексами состоит в том, что они соответствуют определенному представлению и его сопряженному представлению.
И как они реализуются? Как узнать, какому представлению принадлежит стандартный спинор Дирака без индексов?
Спинор Дирака имеет внутри как пунктирные, так и непунктирные индексы (см. Википедию ). Спиноры с точками и без точек относятся к спинорам Вейля. Спинор Дирака состоит из прямой суммы спинора Вейля с индексом, отмеченным точками, и спинора Вейля с индексом без точек.
Так ψ α α ˙ является спинором Дирака?

Ответы (1)

Спиноры Вейля - это двумерные неприводимые представления группы С л ( 2 , С ) . Представление — это действие группы на векторном пространстве, а для спиноров Вейля это векторное пространство С 2 . Различные типы соответствуют различным способам, которыми наша группа С л ( 2 , С ) может воздействовать на С 2 .

Есть одно очевидное действие, называемое фундаментальным представлением . В частности, если Н е С л ( 2 , С ) и в е С 2 , то мы можем просто действовать в ↦ Н в . Из любого представления всегда можно построить сопряженное представление и двойственное представление , а также сопряженное двойственное представление. Итак, теперь мы можем рассмотреть следующие четыре представления:

ψ α ↦ Н α β ψ β фундаментальный ψ α ˙ ↦ Н * α ˙ β ˙ ψ β ˙ сопряженный ψ α ↦ ( Н − 1 ) β α ψ β двойной ψ α ˙ ↦ ( Н * − 1 ) β ˙ α ˙ ψ β ˙ сопряженный двойной
Природа индекса на нашем векторе ψ говорит нам, каким из этих четырех способов трансформируется наш вектор. Двойственное представление может быть знакомо из общей теории относительности — если мы рассмотрим контравариантный вектор как преобразование в основе г л ( н , р ) , то ковариантный вектор преобразуется в двойственном представлении. Сопряженное представление может быть менее знакомым, поскольку мы часто работаем с реальными векторными пространствами, для которых комплексное сопряжение ничего не делает. Обратите внимание, что если в переходит в основное, то в * переходит в сопряженное.

Оказывается, это все способы С л ( 2 , С ) может воздействовать на С 2 . На самом деле оказывается, что фундаментальное и двойственное представления эквивалентны 1 ( точный смысл этого можно найти в любой книге по теории представлений) в силу существования инвариантного тензора ϵ α β . Это означает, что сопряженное и сопряженное двойственное также эквивалентны, поэтому на самом деле существует только два различных представления, которые мы часто называем левым и правым спинорами Вейля.

1 Обратите внимание, что «эквивалентный» здесь не означает «идентичный». Мы все же должны позаботиться о том, чтобы различать верхний и нижний индексы, потому что законы преобразования не одни и те же — просто два представления имеют одну и ту же сущность .

Спасибо, это уже многое объясняет на самом деле. А как насчет спиноров с несколькими индексами? Делает Н затем действовать тем же числом индексов и затем в порядке, соответствующем этим индексам? Так, например, ψ α α ˙ ↦ Н α β ( Н * − 1 ) β ˙ α ˙ ψ β β ˙ ? Или это ерунда?
Тензорные произведения....
@user353840 user353840 Примерно такая идея, да, хотя я ожидаю, что существует несколько соглашений (возможно, включая симметризацию и антисимметризацию). Однако обратите внимание, что спинор Дирака не является двухиндексным объектом в этом смысле, а скорее имеет два компонента, один из которых является левым спинором, а другой - правым спинором: ψ Д "=" ( ψ α , х α ˙ ) . Это прямая сумма , в то время как ваш объект ψ α ˙ α является тензорным произведением .
Не следует ли тогда спинору Дирака называться биспинором? Так как отсюда я понимаю, что спинор имеет только две компоненты, а спинор Дирака — четыре.
@ user353840 Я думаю, что спиноры Дирака и биспиноры идентичны, но совершенно законно называть спинор Дирака спинором! Только спиноры Вейля двумерны.
Хорошо, я не совсем понимаю тензорное произведение. Как именно это будет работать?
У вас есть идея, изложенная в предыдущем вашем комментарии. Если вы хотите узнать что-то более конкретное, я предлагаю вам задать его как отдельный вопрос.
Привет, я задал дополнительный вопрос здесь: physics.stackexchange.com/questions/409302/… Было бы очень признательно, если бы вы могли взглянуть.
Существует очень четкое объяснение спиноров с точками и без точек как часть введения в спинорную алгебру для физиков на стр. 1149-1156 в главе о спинорах в классической книге Misner, Thorne & Wheeler's Gravitation (Freeman, 1973), доступной в хорошие физические библиотеки, онлайн через archive.org/details/GravitationMisnerThorneWheeler/page/n1/mode/… и через Amazon.
Спинорные точечные и непунктирные индексы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v