безмассовость голдстоуновского бозона, эффективное действие и функционально-интегральная мера

Question

безмассовость голдстоуновского бозона, эффективное действие и функционально-интегральная мера

действие
вакуум
Физика
интеграл по путям
нарушение симметрии
квантовая теория поля

LYg

Мне трудно понять интегральный по путям формализм SSB и Эффективного Действия.

Скажем, комплексная скалярная теория поля имеет глобальную $U(1)$ ССБ,

л (ф) "=" (\partial^{мю} ф)^{2} - м^{2} ф^{†} ф - \frac{1}{4} (ф^{†} ф)^{2}

$L(\phi)=(\partial^\mu \phi)^2-m^2\phi^\dagger\phi-\frac{1}{4}(\phi^\dagger\phi)^2$

Доказательство безмассовости бозонов Голдстоуна, связанное с этой теорией, обычно использует $U(1)$ Симметрия Эффективного действия $\Gamma[\phi]$ , что обычно доказывается предположением, что в производящем функционале

\begin{matrix} (1) & Z [Дж] "=" \int [Д ф Д ф^{†}] е^{я \int г^{4} Икс [л (ф) + {Дж}^{†} ф + ф^{†} Дж]} \end{matrix}

$\tag{1} Z[J]=\int [D\phi D\phi^\dagger]e^{i\int d^4x[L(\phi)+J^\dagger\phi+\phi^\dagger J]}$ мера

[D ϕ D ϕ^{†}]

$[D\phi D\phi^\dagger]$ также инвариантен относительно

ϕ \to e^{i θ} ϕ

$\phi \rightarrow e^{i\theta}\phi$ , тем самым доказывая симметрию

Z [J]

$Z[J]$ под

J \to e^{i θ} J

$J \rightarrow e^{i\theta}J$ .

Но проблема в том, что если мы предположим $[D\phi D\phi^\dagger]$ инвариантно, мы могли бы легко получить

⟨ Ом | ф | Ом ⟩ "=" е^{я θ} ⟨ Ом | ф | Ом ⟩

$\langle\Omega|\phi|\Omega\rangle=e^{i\theta}\langle\Omega|\phi|\Omega\rangle$ , где

Ω

$\Omega$ это вакуум, а значит

\begin{matrix} (2) & ⟨ Ом | ф | Ом ⟩ "=" 0 \end{matrix}

$\tag{2} \langle\Omega|\phi|\Omega\rangle=0$ , что явно противоречит SSB.

Где я ошибся, или как правильно доказать, что эффективное действие $\Gamma[\phi]$ действительно имеет $U(1)$ симметрия?

PS:
позвольте мне уточнить мой вопрос.
Дело в том, что нам не особо нужен производящий функционал $Z[J]$ чтобы рассчитать VEV, мы можем просто вернуться к функционально-интегральной версии VEV:

\begin{matrix} (3) & ВЭВ "=" \int [Д ф Д ф^{†}] ф е^{я С [ф]} \end{matrix}

$\tag{3} \text{VEV}=\int [D\phi D\phi^\dagger]\space \phi\space e^{iS[\phi]}$ не заморачиваясь

J

$J$ .
Теперь мера

[D ϕ D ϕ^{†}]

$[D\phi D\phi^\dagger]$ (и его область/асимптотическое поведение), появляющиеся в

(3)

$(3)$ такое же, как и в

(1)

$(1)$ , поэтому, если мы предположим его инвариантность для доказательства симметрии

Z [J]

$Z[J]$ , мы также можем использовать его для доказательства

(2)

$(2)$ . Доказательство (если я прав) выглядит так:

$(3)$ просто вычисляет VEV как ожидаемое значение $\phi$ , так как все в интеграле, переменные $\phi$ фиктивные, мы можем просто переименовать $\phi$ как $\phi^\prime$ ни на что не влияя:

\begin{matrix} (4) & ВЭВ "=" \int [Д ф^{'} Д ф^{' †}] ф^{'} е^{я С [ф^{'}]} \end{matrix}

$\tag{4} \text{VEV}=\int [D\phi^\prime D\phi^{\prime\dagger}]\space \phi^\prime\space e^{iS[\phi^\prime]}$ далее самое главное:
мы делаем преобразование переменной

\begin{matrix} (5) & ф^{'} "=" е^{я θ} ф \end{matrix}

$\tag{5} \phi^\prime=e^{i\theta}\phi$ и получить

\begin{matrix} (6) & ВЭВ "=" \int [Д (е^{я θ} ф) Д (е^{- я θ} ф^{†})] е^{я θ} ф е^{я С [е^{я θ} ф]} \end{matrix}

$\tag{6} \text{VEV}=\int [D(e^{i\theta}\phi) D(e^{-i\theta}\phi^\dagger)]\space e^{i\theta}\phi\space e^{iS[e^{i\theta}\phi]}$ теперь по нашему предположению

\begin{matrix} (7) & \int [Д (е^{я θ} ф) Д (е^{- я θ} ф^{†})] "=" \int [Д ф Д ф^{†}] \end{matrix}

$\tag{7}\int[D(e^{i\theta}\phi) D(e^{-i\theta}\phi^\dagger)]=\int[D\phi D\phi^\dagger]$

и С [е^{я θ} ф] "=" С [ф]

$\text{and}\space\space\space\space\space\space S[e^{i\theta}\phi]=S[\phi]$ у нас, из

(6)

$(6)$ ,

\begin{matrix} (8) & ВЭВ "=" \int [Д ф Д ф^{†}] е^{я θ} ф е^{я С [ф]} "=" е^{я θ} \int [Д ф Д ф^{†}] ф е^{я С [ф]} "=" е^{я θ} ВЭВ \end{matrix}

$\tag{8} \text{VEV}=\int [D\phi D\phi^\dagger]\space e^{i\theta}\phi\space e^{iS[\phi]}=e^{i\theta}\int [D\phi D\phi^\dagger]\space \phi\space e^{iS[\phi]}=e^{i\theta}\text{VEV}$ таким образом мы видим, что

ВЭВ "=" 0

$\text{VEV}=0$ как в

(2)

$(2)$ .
Оглядываясь назад,

(7)

$(7)$ выполняется только в том случае, если функциональный интеграл находится по симметричной области / классу конфигураций поля

ϕ (x)

$\phi(x)$ , например, если интеграл берется по всем конфигурациям поля, обращающимся в нуль на бесконечности,

ϕ (\infty) = 0

$\phi(\infty)=0$ .
Итак, мой вывод таков: поскольку

(8)

$(8)$ противоречит SSB, область функциональной интеграции не должна быть инвариантной при

ϕ \to e^{i θ} ϕ

$\phi \rightarrow e^{i\theta}\phi$ , и, таким образом, выбирает конкретную / предпочтительную «ориентацию» в конфигурациях поля и, таким образом, дает ненулевое VEV.
Но если это так, я не понимаю, как эффективное действие

Γ [ϕ]

$\Gamma[\phi]$ обладает тем восхитительным свойством, что имеет ту же симметрию, что и классическое действие

S [ϕ]

$S[\phi]$ .

Адам

Конечно

⟨ ϕ ⟩ \neq 0

$\langle \phi \rangle\neq 0$ не является инвариантом, поэтому он называется SSB... Не знаю, что еще сказать...

Адам

Обратите внимание, что мера инвариантна , так как якобиан

1

$1$ .

LYg

@ Адам, но в мере есть ограничения, например, поле приближается к определенному ненулевому значению, когда пространство-время стремится к бесконечности.

Адам

Это не имеет ничего общего с глобальной трансформацией, которую вы проводите. Вызов

ϕ^{'} = e^{i θ} ϕ

$\phi'=e^{i\theta}\phi$ , вычислите якобиан, и вы увидите.

LYg

@ Адам, извини, я не ясно выразился. если вы сделаете трансформацию

ϕ^{'} = e^{i θ} ϕ

$\phi'=e^{i\theta}\phi$ , то асимптотическое поведение этих

ϕ^{'}

$\phi'$ не то же самое, что у

ϕ

$\phi$ . это равносильно интегралу по другому классу конфигурации поля. хотя якобиан тривиален, область интегралов изменилась, и поэтому изменилась мера в конце. Я думаю, что информация о вакууме закодирована в мере в формализме интеграла по путям, изменение области интеграла меры соответствует выбору другого вакуума.

Адам

Несмотря на это, я все еще не вижу проблемы, поскольку физика не зависит от того, как вы выполняете расчет (интеграл по путям или операторный формализм). Вас беспокоил тот факт, что

⟨ ϕ ⟩

$\langle\phi\rangle$ меняется, но это действительно так.

Двойки

граница на бесконечности не является инвариантной, поскольку

ϕ \to c o n s t

$\phi\rightarrow\mathrm{const}$ . Поэтому

Z

$Z$ не является инвариантным, хотя

L

$L$ является.

LYg

@TwoBs, да,

Z [J]

$Z[J]$ не является инвариантным относительно

J \to e^{i θ} J

$J \rightarrow e^{i\theta}J$ тогда, так как доказать симметричность эффективного действия

Γ [ϕ]

$\Gamma[\phi]$ под

ϕ \to e^{i θ} ϕ

$\phi \rightarrow e^{i\theta}\phi$ ?

LYg

@ Адам, меня беспокоит утверждение, что

[D ϕ D ϕ^{†}]

$[D\phi D\phi^\dagger]$ инвариантен в случае SSB. Если бы я вывел

⟨ Ω^{'} | ϕ | Ω^{'} ⟩ = e^{i θ} ⟨ Ω | ϕ | Ω ⟩

$\langle\Omega^\prime|\phi|\Omega^\prime\rangle=e^{i\theta}\langle\Omega|\phi|\Omega\rangle$ , было бы хорошо, тогда единственная проблема

Z [J]

$Z[J]$ уже не инвариантно, и мы не можем использовать его инвариантность, чтобы доказать, что эффективное действие

Γ [ϕ]

$\Gamma[\phi]$ имеет ту же симметрию, что и классическое действие

S [ϕ]

$S[\phi]$ , и, кроме того, восхитительный геометрический подход, показывающий, что голдстоуновские бозоны безмассовы, несмотря на квантовые поправки ко всем порядкам.

Адам

Посмотрите мой пост, надеюсь, он прояснит ситуацию.

Двойки

@LYg Если

Z

$Z$ не является инвариантным (в данном случае из-за граничных условий), то

Γ

$\Gamma$ тоже не является инвариантом, и ваше противоречие исчезнет.

Адам

@TwoBs:

Z

$Z$ и

Γ

$\Gamma$ инвариантны. В функциональном интеграле предполагается, что

ϕ (x)

$\phi(x)$ исчезает на бесконечности.

Двойки

@Adam Адам, это предположение рушится, когда вы получаете vev, который действительно спонтанно нарушает симметрию, которая не реализуется линейно, то есть

Γ

$\Gamma$ не является инвариантом. Увидеть это очень просто: следует

Γ

$\Gamma$ быть инвариантным, так же как и корреляционные функции, которые он генерирует, взяв производные по его аргументу

Φ

$\Phi$ . Вев действительно говорит вам, что на бесконечности, где квантовые флуктуации подавлены, поле стремится к константе, а не к нулю.

Адам

@TwoBs: я говорю о полях, которые мы интегрируем в функциональном интеграле, а это не то же самое, что его среднее значение. Это в любом случае не относится к делу, возьмите дискретизированную версию теории поля (не более сложную, чем пример в моем ответе), и вы увидите, что

Γ

$\Gamma$ является инвариантным.

Двойки

@ Адам, извини, но я думаю, ты ошибаешься. Причина в том, что ток, создаваемый преобразованием, не исчезает достаточно быстро на бесконечности и, следовательно, делает изменение

S

$S$ или

Γ

безмассовость голдстоуновского бозона, эффективное действие и функционально-интегральная мера

Конечно $\langle \phi \rangle\neq 0$ не является инвариантом, поэтому он называется SSB... Не знаю, что еще сказать...
Обратите внимание, что мера инвариантна , так как якобиан $1$ .
@ Адам, но в мере есть ограничения, например, поле приближается к определенному ненулевому значению, когда пространство-время стремится к бесконечности.
Это не имеет ничего общего с глобальной трансформацией, которую вы проводите. Вызов $\phi'=e^{i\theta}\phi$ , вычислите якобиан, и вы увидите.
@ Адам, извини, я не ясно выразился. если вы сделаете трансформацию $\phi'=e^{i\theta}\phi$ , то асимптотическое поведение этих $\phi'$ не то же самое, что у $\phi$ . это равносильно интегралу по другому классу конфигурации поля. хотя якобиан тривиален, область интегралов изменилась, и поэтому изменилась мера в конце. Я думаю, что информация о вакууме закодирована в мере в формализме интеграла по путям, изменение области интеграла меры соответствует выбору другого вакуума.
Несмотря на это, я все еще не вижу проблемы, поскольку физика не зависит от того, как вы выполняете расчет (интеграл по путям или операторный формализм). Вас беспокоил тот факт, что $\langle\phi\rangle$ меняется, но это действительно так.
граница на бесконечности не является инвариантной, поскольку $\phi\rightarrow\mathrm{const}$ . Поэтому $Z$ не является инвариантным, хотя $L$ является.
@TwoBs, да, $Z[J]$ не является инвариантным относительно $J \rightarrow e^{i\theta}J$ тогда, так как доказать симметричность эффективного действия $\Gamma[\phi]$ под $\phi \rightarrow e^{i\theta}\phi$ ?
@ Адам, меня беспокоит утверждение, что $[D\phi D\phi^\dagger]$ инвариантен в случае SSB. Если бы я вывел $\langle\Omega^\prime|\phi|\Omega^\prime\rangle=e^{i\theta}\langle\Omega|\phi|\Omega\rangle$ , было бы хорошо, тогда единственная проблема $Z[J]$ уже не инвариантно, и мы не можем использовать его инвариантность, чтобы доказать, что эффективное действие $\Gamma[\phi]$ имеет ту же симметрию, что и классическое действие $S[\phi]$ , и, кроме того, восхитительный геометрический подход, показывающий, что голдстоуновские бозоны безмассовы, несмотря на квантовые поправки ко всем порядкам.
Посмотрите мой пост, надеюсь, он прояснит ситуацию.
@LYg Если $Z$ не является инвариантным (в данном случае из-за граничных условий), то $\Gamma$ тоже не является инвариантом, и ваше противоречие исчезнет.
@TwoBs: $Z$ и $\Gamma$ инвариантны. В функциональном интеграле предполагается, что $\phi(x)$ исчезает на бесконечности.
@Adam Адам, это предположение рушится, когда вы получаете vev, который действительно спонтанно нарушает симметрию, которая не реализуется линейно, то есть $\Gamma$ не является инвариантом. Увидеть это очень просто: следует $\Gamma$ быть инвариантным, так же как и корреляционные функции, которые он генерирует, взяв производные по его аргументу $\Phi$ . Вев действительно говорит вам, что на бесконечности, где квантовые флуктуации подавлены, поле стремится к константе, а не к нулю.
@TwoBs: я говорю о полях, которые мы интегрируем в функциональном интеграле, а это не то же самое, что его среднее значение. Это в любом случае не относится к делу, возьмите дискретизированную версию теории поля (не более сложную, чем пример в моем ответе), и вы увидите, что $\Gamma$ является инвариантным.
@ Адам, извини, но я думаю, ты ошибаешься. Причина в том, что ток, создаваемый преобразованием, не исчезает достаточно быстро на бесконечности и, следовательно, делает изменение $S$ или $\Gamma$ формально ИК-расходящийся, а не нулевой. Позже я дам вам более подробный ответ с уравнениями, но вы можете найти его и в учебниках (см., например, Тома Бэнкса, главу 7).
@TwoBs: трансформация глобальная, без вариантов $S$ , что, очевидно, инвариантно.
@ Адам, да, вы правы, что действие инвариантно для глобального преобразования. Здесь я думал о выводе следствий инвариантности относительно глобального преобразования, неявно взяв его локальную версию. Это позволяет говорить об инвариантности корреляционных функций (отсюда и ВЭВ) при глобальном преобразовании. Смотрите мой подробный ответ.
@TwoBs: не уверен, что ваш ответ касается вопроса ОП, который гораздо более прост: почему $Z$ и $\Gamma$ инвариантным относительно глобального фазового перехода.
@Adam Мой ответ показывает, как $Z$ или $\Gamma$ могут быть инвариантными, но корреляционные функции не инвариантны. Я думал, что именно об этом и был вопрос
По поводу вашего ПС: вам обязательно стоит прочитать книгу по статистической теории поля по SSB. Хорошо известно, что SSB определяется в интеграле по путям как предел, при котором источники стремятся к нулю по этой причине (иначе VEV равен нулю по симметрии). И еще раз, конечно, ВЭУ не является инвариантом!
@ Адам, я полностью согласен с вашим комментарием выше и с вашим ответом (я тот, кто проголосовал за него). Вы просто говорите, что корреляторы определяются по пределу источников исчезновений, это правда. Для спонтанно нарушенной симметрии этот предел зависит от выбранного пути, то есть функциональные генераторы должны быть неаналитическими в источниках. Но почему этот математический факт вообще должен иметь место? Где она коренится в случае нарушения симметрии (по сравнению со случаем сохранения симметрии)? Ответ находится в моем посте, где я показываю, что корреляторы дальнего действия, связанные с GB, не позволяют получить инвариантные VEV.
@TwoBs: я не совсем с тобой согласен. Мой пример основан на игрушечной модели, которая является 0D, поэтому в ней нет корреляторов дальнего действия, и все же в ней есть эти неаналитичности. Другим примером является модель Изинга, которая имеет пробел в упорядоченной фазе, поэтому также не имеет большого диапазона, и все же она также имеет неаналитичности.
@ Адам Да ладно, Адам, мы все время говорили о непрерывных симметриях. ОП явно заинтересован в непрерывных симметриях, и ваш ответ в 0D для $U(1)$ . А для непрерывных симметрий нет спонтанного нарушения в более низких (или равных) размерностях, чем (1+1) (см., например, теорему Коулмана-Мермина-Вагнера). Также нет нарушения симметрии с конечным числом степеней свободы. Модель Изинга в 2D допускает симметричную фазу, потому что симметрия дискретна и действительно отсутствует ГБ.
@ Адам Не могли бы вы тогда рассказать нам, что, по вашему мнению, вызывает неаналитическость? Я сказал в самом начале своего ответа, что это не самое общее, но для непрерывных симметрий в измерениях выше 1 + 1 оно дает очень четкое объяснение физического механизма, лежащего в основе нарушения. Что является аналогом в меньших измерениях и/или для дискретных симметрий?
@TwoBs: Я думаю, вы действительно упустили тот факт, что путаница OP гораздо более фундаментальна, чем непрерывная и дискретная SB, GB или возбуждения с промежутками и т. д. Речь идет о том факте, что для SSB параметр порядка не является инвариантным (!), и как получить содержательный ответ. Более того, в 3D модель Изинга по-прежнему имеет разрыв в упорядоченной фазе, и статистическая сумма не будет аналитической.
@TwoBs: Хотя мой случай 0D на самом деле слишком наивен (без SSB, я изменил свой ответ), я знаю пример 0 + 1D, который показывает SSB. В этом случае это происходит от вырождения основного состояния вырождения.

Двойки · Answer 1

Существуют различные общие способы увидеть суть. Позвольте мне дать вам простой, но достаточно общий (см. также последний комментарий в конце). Представьте, что у вас есть лагранжева плотность $L$ инвариантное относительно непрерывного группового преобразования, действующего на поля линейно как

ф \to ф^{'} "=" U ф "=" е^{я ю^{а} Т^{а}} ф "=" (1 + я ю^{а} Т^{а} + \dots) ф .

$\phi\rightarrow \phi^\prime=U\phi=e^{i\omega^a T^a}\phi=(1+i\omega^a T^a+\ldots)\phi\,.$ Если эта симметрия реализуется на состояниях системы, то есть симметрия не нарушается спонтанно, то это означает, что корреляционные функции также инвариантны, т.е.

{дельта}^{а} ⟨ ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) \dots \dots ⟩ "=" ⟨ {дельта}^{а} ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) \dots ⟩ + ⟨ ф ({Икс}_{1}) {дельта}^{а} ф ({Икс}_{2}) \dots ⟩ + \dots "=" 0

$\delta^a\langle\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\ldots\rangle=\langle\delta^a\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\rangle+\langle\phi(x_1)\delta^a\phi(x_2)\ldots\rangle+\ldots=0$ где

δ^{a} ϕ (x) = i T^{a} ϕ (x)

$\delta^a\phi(x)=iT^a\phi(x)$ является бесконечно малым преобразованием. (В данном случае вас интересует вариант одноточечной функции

δ^{a} ⟨ ϕ ⟩

$\delta^a\langle\phi\rangle$ ). Эта инвариантность эквивалентна так называемому тождеству Уорда для текущих матричных элементов.

\partial_{мю} ⟨ {Дж}^{а мю} (Икс) ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) \dots ф ({Икс}_{н}) ⟩ "=" \sum_{м} {дельта}^{4} (Икс - {Икс}_{м}) ⟨ ф ({Икс}_{1}) \dots {дельта}^{а} ф ({Икс}_{м}) \dots ф ({Икс}_{н}) ⟩

$\partial_\mu \langle J^{a\,\mu}(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\phi(x_n)\rangle=\sum_{m}\delta^4(x-x_m)\langle \phi(x_1)\ldots\delta^a\phi(x_m)\ldots\phi(x_n)\rangle$ как это видно из интегрирования по

x

$x$ обе стороны , ЕСЛИ мы можем отбросить поверхностный член в левой части. (При том же IF можно определить соответствующие заряды Нётер, интегрируя корреляторы выше определенным образом (см., например, книгу CFT Ди Франческо и др., раздел 2.4 для более подробной информации).

Но на самом деле спонтанное нарушение симметрии происходит, когда токи (то есть их матричные элементы) не затухают на бесконечности достаточно быстро. Подумайте о бозонах Голдстоуна $\pi^a(x)$ которые в данном случае генерируются самопроизвольно оборвавшимися токами

⟨ {Дж}_{мю}^{а} (Икс) π^{б} (у) ⟩ \sim {дельта}^{а б} \int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} е^{- я п (Икс - у)} \frac{- я п_{мю}}{п^{2} + я ϵ}

$\langle J^a_\mu(x)\pi^b(y)\rangle\sim \delta^{ab} \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip(x-y)}\frac{-ip_\mu}{p^2+i\epsilon}$ где

π (x)

$\pi(x)$ поле (в общем случае составное, состоящее из произведений

ϕ

$\phi$ s), который создает бозон Голдстоуна из вакуума. Тильда означает, что я пренебрегаю общим числовым множителем и беру также большой

x - y

$x-y$ предел (последнее означает, что вклад вносят только безмассовые моды, а поскольку у ГБ есть взаимодействия, которые исчезают по мере

p \to 0

$p\rightarrow0$ мы можем использовать в этом пределе коррелятор свободных частиц). Действительно, из теоремы Голдстоуна мы знаем, что

⟨ 0 | {Дж}^{а мю} (0) | π^{б} (п) ⟩ "=" {дельта}^{а б} \frac{ф_{π} п^{мю}}{(2 π)^{3} 2 | п |}

$\langle 0|J^{a\,\mu}(0)|\pi^b(p)\rangle=\delta^{ab}\frac{f_\pi p^\mu}{(2\pi)^3 2|p|}$ так что

{Дж}^{а мю} "=" ф_{π} \partial_{мю} π^{а} + \dots

$J^{a\,\mu}=f_\pi\partial_\mu\pi^{a}+\ldots$ где

\dots

$\ldots$ термы, исчезающие в вакууме. Таким образом, из приведенной выше двухточечной функции видно, что

\partial_{мю} ⟨ {Дж}_{мю}^{а} (Икс) π^{б} (у) ⟩ \sim дельта (Икс - у)

$\partial_\mu \langle J^a_\mu(x)\pi^b(y)\rangle\sim \delta(x-y)$ интегрированный более

d^{4} x

$d^4x$ не исчезает. Следовательно, интеграция левой части тождества Уорда не может быть отброшена. Другими словами, в теории с бозонами Голдстоуна корреляционные функции (спонтанно оборвавшихся) токов

J^{a μ}

$J^{a\, \mu}$ не исчезают достаточно быстро, и поэтому значения вакуумного среднего поля не обладают той же симметрией, что и динамика.

Последние несколько комментариев о связи с выводом интеграла по траекториям симметрии корреляционных функций. Продвигаем на секунду параметры $\omega^a$ преобразования в функции, зависящие от пространства-времени, $\omega^a\rightarrow \omega^a(x)$ . Лагранжиан был инвариантным с $\omega$ постоянна, так что при для бесконечно малого преобразования имеем

дельта С [ф] "=" \int г^{4} Икс \partial_{мю} ю^{а} (Икс) {Дж}^{а мю} (Икс) .

$\delta S[\phi]=\int d^4x \partial_\mu \omega^a(x) J^{a\,\mu}(x)\,.$ Теперь посмотрим на функцию распределения

Z [J] = \int d ϕ e^{i S [ϕ] + J \cdot ϕ}

$Z[J]=\int d\phi e^{i S[\phi]+J\cdot\phi}$ и изменить переменную

ϕ = e^{- i ω^{a} (x) T^{a}} ϕ^{'} = U^{- 1} ϕ^{'}

$\phi=e^{-i\omega^a(x)T^a}\phi^\prime=U^{-1}\phi^\prime$

Z [Дж] "=" \int г ф^{'} е^{я С [ф^{'}] + Дж \cdot ф^{'}} [1 - дельта С [ф^{'}] - я ю^{а} Дж \cdot Т^{а} ф^{'}]

$Z[j]=\int d\phi^\prime e^{iS[\phi^\prime]+j\cdot\phi^\prime}\left[1-\delta S[\phi^\prime]-i\omega^a J\cdot T^{a}\phi^\prime\right]$ (при условии, что мера интегрирования

d ϕ

$d\phi$ инвариантен, как обычно для неаномальных симметрий). С

ϕ^{'}

$\phi^\prime$ суммируется, переименовываем обратно

ϕ

$\phi$ и получить это

\int г ф е^{я С [ф] + Дж \cdot ф} [\int г^{4} Икс \partial_{мю} ю^{а} (Икс) {Дж}^{а мю} (Икс) + я ю^{а} (Икс) Дж \cdot Т^{а} ф] "=" 0 .

$\int d\phi e^{iS[\phi]+j\cdot\phi}\left[\int d^4x \partial_\mu \omega^a(x) J^{a\,\mu}(x)+i\omega^a(x) j\cdot T^{a}\phi\right]=0\,.$ Для

ω

$\omega$ константа это просто утверждение, что

Z

$Z$ инвариантна относительно обратных (глобальных) преобразований. Но больше информации можно извлечь, взяв произвольно меняющееся

ω (x)

$\omega(x)$ (с

ω

$\omega$ достаточно быстро исчезающее на бесконечности), для которого

Z

$Z$ не является инвариантом: интегрируем по частям первое слагаемое выше

\int г ф е^{я С [ф] + Дж \cdot ф} [\int г^{4} Икс ю^{а} (Икс) (\partial_{мю} {Дж}^{а мю} (Икс) - я {Дж}^{Т} (Икс) Т^{а} ф)] "=" 0

$\int d\phi e^{iS[\phi]+j\cdot\phi}\left[\int d^4 x \omega^a(x) \left( \partial_\mu J^{a\,\mu}(x)-i j^T(x) T^{a}\phi\right)\right]=0\,$ Взяв функциональные производные

δ^{(n)} / δ j (x_{1}) \dots δ j (x_{n})

$\delta^{(n)}/\delta j(x_1)\ldots \delta j(x_n)$ по источникам

j (x)

$j(x)$ (а затем установка

j = 0

$j=0$ ), мы восстанавливаем идентификаторы Уорда, которые мы использовали выше (помните, что

ω (x)

$\omega(x)$ в основном произвольно)

\partial_{мю} ⟨ {Дж}^{а мю} (Икс) ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) \dots ф ({Икс}_{н}) ⟩ "=" \sum_{м} {дельта}^{4} (Икс - {Икс}_{м}) ⟨ ф ({Икс}_{1}) \dots {дельта}^{а} ф ({Икс}_{м}) \dots ф ({Икс}_{н}) ⟩

$\partial_\mu \langle J^{a\,\mu}(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\ldots\phi(x_n)\rangle=\sum_{m}\delta^4(x-x_m)\langle \phi(x_1)\ldots\delta^a\phi(x_m)\ldots\phi(x_n)\rangle$ которые, как мы утверждали, не подразумевают инвариантность корреляционных функций, если текущие матричные элементы в левой части не исчезают достаточно быстро. Опять же, это не относится к спонтанно нарушенным симметриям, порождающим голдстоуновские бозоны.

Примечание добавлено после добавления дополнительной информации в исходный вопрос.

Можно задаться вопросом, как VEV может быть ненулевым, просто взглянув на интеграл по путям с единицей. $\phi$ вставки и никаких исходников, а именно

⟨ ф ⟩ "=" \int г ф ф е^{я С [ф]} .

$\langle\phi\rangle= \int d\phi \phi e^{iS[\phi]}\,.$ Что ж, эта формула формально предполагает, что вакуум представляет собой совокупность гармонических осцилляторов относительно

ϕ

$\phi$ переменные. В частности, волновая функция

⟨ ϕ (x) | 0 ⟩

$\langle\phi(x)|0\rangle$ такого вакуума порождает неизвестную

+ i ϵ

$+i\epsilon$ предписание в пропагаторе поля (необходимо для сходимости корреляционных функций), если

⟨ ϕ (x) | 0 ⟩

$\langle\phi(x)|0\rangle$ является гауссовским (см. Вайнберг, том I, глава 9.2). Это не что иное, как способ задать граничные условия для полей в вакуумном состоянии. Но вот загвоздка: для спонтанной симметрии волновая функция вакуума, связанная с заряженными полями, не является гауссовой и не затухает на бесконечности (см., например, обсуждение тождества Уорда выше). Итак, реальный вакуум и связанные с ним собственные корреляционные функции определяются континуальным интегралом по полям

π (x)

$\pi(x)$ с лучшим поведением на бесконечности, для которого вакуумная волновая функция имеет вид гауссовой

⟨ π (Икс) | 0 ⟩ "=" \int г^{4} Икс г^{4} у е^{- \frac{1}{2} π (Икс) К (Икс - у) π (у)}

$\langle\pi(x)|0\rangle=\int d^4x d^4y e^{-\frac{1}{2}\pi(x)K(x-y)\pi(y)}$ (где функция ядра является функцией Ганкеля, см. снова Weinberg том I, глава 9.2 для более подробной информации). Это в основном поля, которые вы получили, сдвинув поля вокруг их VEV. Что в любом случае остается, так это тождество Уорда, которое сообщает вам, когда все это происходит: когда ток на бесконечности не стремится к нулю достаточно быстро при определенных конфигурациях поля (ГБ), что доминирует в интеграле по путям на больших расстояниях.

Позвольте мне добавить последний комментарий: я работал с непрерывной симметрией, потому что она позволяет явно отслеживать нарушение симметрии для корреляционных функций по их тождествам Уорда. Это хорошо, и это также показывает, почему в 1+1 SSB не может произойти для непрерывных симметрий: в 1+1 нет GB (поскольку корреляционная функция $\langle\pi\pi\rangle$ расходится логарифмически в ИК), и поэтому ток будет иметь матричные элементы, хорошо ведущие себя на бесконечности, и симметрия будет реализована линейно. Однако недостатком этого объяснения непрерывных симметрий является то, что оно очень мало говорит о дискретных симметриях (которые не обеспечивают тождества Уорда). В таком случае я думаю, что лучшее общефизическое объяснение дано Вайнбергом в главе 19.1 тома II. Он очень хорошо объясняет, что механизм SSB требует бесконечного множества степеней свободы (наряду с причинностью и сохранением импульса), которые запрещают переходы между различными вырожденными вакуумами, которые вместо этого восстанавливали бы симметричное состояние вакуума, как это происходит в КМ.

Спасибо! Ваш вывод идентичности Уорда действительно не зависит от граничного поведения $\phi$ в мере интегрирования, так как вы предположили, что $\omega$ достаточно быстро исчезает на бесконечности. Не могли бы вы продемонстрировать асимптотическое поведение $\langle J^{a\,\mu}(x)\phi(x_1)\rangle$ что относится к моему вопросу?
Я добавил PS к своему первоначальному вопросу, пожалуйста, просмотрите его.
@LYg Я добавил дополнительные строки, чтобы ответить на вашу новую часть вопроса. Что касается 2-точечной функции $\langle J^{a\,\mu}\pi^b\rangle$ Я пересмотрел текст, чтобы сделать вывод более ясным и последовательным.

Адам · Answer 2

Поскольку концептуальная проблема на самом деле не исходит из самой теории поля, давайте рассмотрим случай 0D. Этот случай слишком наивен (здесь нет SSB), но обсуждение все же качественно корректно . Функция раздела

Z (Дж, {Дж}^{*}) "=" \int г г г г^{*} е^{- В (| г |^{2}) + г^{*} Дж + {Дж}^{*} г},

$Z(j,j^*)=\int dz dz^* e^{-V(|z|^2)+ z^*j + j^* z},$ где

d z d z^{*}

$dzdz^*$ действительно означает

d ℜ z d ℑ z

$d\Re z\,d\Im z$ и

V (x) = r x + x^{2}

$V(x)=r\, x+x^2$ где

r

$r$ может быть положительным или отрицательным.

Если мы изменим фазу $j$ и $j^*$ такой, что $j^{(*)}{}'=e^{(-)i\theta}j$ , мы нашли

Z ({Дж}^{'}, {Дж}^{*}^{'}) "=" \int г г г г^{*} е^{- В (| г |^{2}) + е^{я θ} г^{*} Дж + е^{- я θ} {Дж}^{*} г},

$Z(j',j^{*}{}')=\int dz dz^* e^{-V(|z|^2)+ e^{i\theta}z^*j + e^{-i\theta}j^* z},$ и используя

z^{'} = e^{- i θ} z

$z'=e^{-i\theta}z$ , и тот факт, что якобиан и

V

$V$ инвариантны, получаем, что

Z ({Дж}^{'}, {Дж}^{*}^{'}) "=" Z (Дж, {Дж}^{*}) "=" е^{Вт (Дж, {Дж}^{*})}

$Z(j',j^{*}{}')=Z(j,j^*)=e^{W(j,j^*)}$ является функцией

| j |^{2}

$|j| {}^2$ только.

Можно задаться вопросом, как фаза SSB ( $r<0$ ) можно было получить, поскольку $\bar z =\langle z\rangle=\frac{\partial W}{\partial j}(0,0)$ ожидается, что он будет равен нулю в силу обсуждавшейся выше симметрии. Причина в том, что в фазе SSB $W$ не аналитична при малых $j$ . Как правило, у нас есть

Вт (Дж, {Дж}^{*}) "=" Вт (0, 0) + 2 а \sqrt{Дж {Дж}^{*}} + \dots,

$W(j,j^*)=W(0,0)+2a\sqrt{j\, j^*}+\cdots,$ и мы получаем

\bar{z} = a e^{- i \arg j}

$\bar z = a\, e^{-i\arg j}$ (

a

$a$ — константа, зависящая от системы), которая явно зависит от фазы

j

$j$ и таким образом по пути мы отправляем

j

$j$ до нуля, как и ожидалось. В этом легко убедиться, вычислив

W

$W$ численно, например, с помощью mathematica.

EDIT: более подробная информация о пост-скриптуме ОП.

Конечно, если вычислить $\bar z$ наивно одна находка

\bar{г} "=" \int г г г г^{*} г е^{- В (| г |^{2})} / Z (0, 0) "=" 0,

$\bar z = \int dz dz^* \, z\, e^{-V(|z|^2)}/Z(0,0)=0,$ для всех

r

$r$ , даже в фазе SSB, по симметрии. Но решение этой задачи известно, надо вычислить

\bar{z}

$\bar z$ на конечных источниках

j = J e^{- i Θ}

$j=Je^{-i\Theta}$ а затем отправить исходники в ноль, т.е.

J \to 0

$J\to 0$ .

В симметричной фазе $\bar z (j,j^*)\propto j j^*=J^2$ и один находит $\bar z(0^+,0^+)=0$ , тогда как в фазе SSB можно найти (см. выше) $\bar z (j,j^*)= a e^{i\Theta}$ как $J\to 0$ , см. выше. Конечно, поскольку мы находимся в фазе SSB, $\bar z$ зависит от фазы источника, и изменение фазы $j$ изменит то, что $\bar z$ .

То же самое происходит при переходе парагмагнетик-ферромагнит в модели Изинга, где знак намагниченности зависит от знака магнитного поля $h$ . Я приглашаю ОП начать с этого случая.

Спасибо, не могли бы вы объяснить, что $a$ есть, и как вы получаете этот типичный маленький $j$ зависимость $W(j,j^*)$ ? Кстати, пожалуйста, посмотрите мой PS, так как у меня есть дополнительные вопросы, даже если ваш ответ является правильным ответом на один аспект.
@LYg: см. мою правку. Вы должны начать с простого случая Изинга. Вы также можете взглянуть на приложение A к arXiv:1106.5585, где тот же анализ сделан для простой квантовой системы, которая демонстрирует SSB.