Безумные дельты Дирака

Question

Безумные дельты Дирака

Физика
интеграция
квантовая теория поля
Дирак-дельта-распределения

Неудачник

Я не ожидаю какой-либо строгости в следующем и ответах... так как мы имеем дело с дельтами Дирака в контексте КТП.

Рассмотрим интеграл

\int д^{4} д Θ (д_{0}) Θ (п_{3, 0} + д_{0}) дельта ((п_{3} + д)^{2}) дельта ((д^{2})) \frac{1}{(д + п_{2})^{2} - м^{2} + я ϵ}

$\int d^4q\ \Theta(q_0)\Theta(p_{3,0}+q_0)\ \delta((p_3+q)^2)\delta((q^2))\frac{1}{(q+p_2)^2-m^2+i\epsilon}$

The $p$ 'песок $q$ все 4-векторы Минковского и $\ p_3=p_1+p_2$ . Для простоты можно работать в $p_3$ CM-Frame так, чтобы $\ p_3 =(M, \vec{0})$ .

У меня проблемы с дельтами (поскольку они связаны), я думал о $q_0$ сначала интеграция , как бы вы, ребята, приступили к выполнению $q_0$ -интеграция?. Я использую формулу состава для Dirac delta Dirac Delta Comp. Википедия , но когда я заменяю $q_0$ в аргументе другой дельты я получаю что-то вроде $\delta(M)$ где $M$ это масса $p_3$ . Эта дельта не имеет для меня смысла, поскольку мы даже не интегрируем $M$ ? Кто-нибудь знает, как сделать этот интеграл с самого начала? Любой намек приветствуется, спасибо.

Виберт

Здесь уже есть некоторые упрощения. В рамках CM вы предлагаете, включая оба

Θ [(p_{3})_{0} + q_{0}] = Θ [M + q_{0}]

$\Theta[ (p_3)_0 + q_0 ] = \Theta[ M + q_0]$ и

Θ (q_{0})

$\Theta(q_0)$ является избыточным.

Неудачник

Хорошо, но если мы забудем о тетах, как бы вы продолжили вычислять интегралы q_0? Дельты связаны, и я действительно не знаю, что делать.

Виберт

Вторая дельта-функция говорит вам, что

q_{0} = \pm | q |

$q_0 = \pm |\mathbf{q}|$ , а из-за Хевисайда возможен только знак +. Следует подумать о цепном правиле:

δ (f (x)) = \dots

$\delta(f(x)) = \ldots$ при разработке этого.

Неудачник

Да, именно так я и делаю... и затем, когда я подставляю это положительное q_0 в аргумент второй дельты, я получаю странный результат delta(M). Может быть, мне не следует просто подключать это. Жаль, что эти операции действительно волнистые, и я, к сожалению, никогда не видел их должным образом определенными. Например, в главе 10 Средницкого (если я правильно помню) он использует

δ (x)^{2} = δ (x) \cdot δ (0)

$\delta(x)^2 = \delta(x)\cdot\delta(0)$ и т. д...

Неудачник

Средненицкий экв. 11.13, например: ' web.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf

пользователь12345

Придумайте более подходящее название.

Ответы (1)

Безумные дельты Дирака

Здесь уже есть некоторые упрощения. В рамках CM вы предлагаете, включая оба $\Theta[ (p_3)_0 + q_0 ] = \Theta[ M + q_0]$ и $\Theta(q_0)$ является избыточным.
Хорошо, но если мы забудем о тетах, как бы вы продолжили вычислять интегралы q_0? Дельты связаны, и я действительно не знаю, что делать.
Вторая дельта-функция говорит вам, что $q_0 = \pm |\mathbf{q}|$ , а из-за Хевисайда возможен только знак +. Следует подумать о цепном правиле: $\delta(f(x)) = \ldots$ при разработке этого.
Да, именно так я и делаю... и затем, когда я подставляю это положительное q_0 в аргумент второй дельты, я получаю странный результат delta(M). Может быть, мне не следует просто подключать это. Жаль, что эти операции действительно волнистые, и я, к сожалению, никогда не видел их должным образом определенными. Например, в главе 10 Средницкого (если я правильно помню) он использует $\delta(x)^2 = \delta(x)\cdot\delta(0)$ и т. д...
Средненицкий экв. 11.13, например: ' web.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf
Придумайте более подходящее название.

Майкл · Answer 1

Я получаю ноль.

С использованием $p_{3,0}=M$ и предполагая $M>0$ в $\Theta(p_{3,0}+q_0)$ фактор является избыточным, и у вас есть:

\int д^{4} д Θ (д_{0}) дельта ((п_{3} + д)^{2}) дельта (д^{2}) \frac{1}{(д + п_{2})^{2} - м^{2} + я ϵ}

$\int d^4q\ \Theta(q_0)\ \delta((p_3+q)^2)\delta(q^2)\frac{1}{(q+p_2)^2-m^2+i\epsilon}$

Сейчас

\begin{array}{lcl} дельта ((п_{3} + д)^{2}) дельта (д^{2}) & "=" & дельта ((М + д_{0})^{2} - {\vec{д}}^{2}) дельта (д_{0}^{2} - {\vec{д}}^{2}) \\ "=" & дельта ((М + | \vec{д} |)^{2} - {\vec{д}}^{2}) дельта (д_{0}^{2} - {\vec{д}}^{2}) \\ "=" & дельта (М^{2} + 2 М | \vec{д} |) дельта (д_{0}^{2} - {\vec{д}}^{2}) \\ "=" & \frac{1}{2 М} дельта (| \vec{д} | + М / 2) дельта (д_{0}^{2} - {\vec{д}}^{2}) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \delta((p_3+q)^2)\delta(q^2) &=& \delta((M+q_0)^2 - \vec{q}^2)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2)\\ &=& \delta((M+|\vec{q}|)^2 - \vec{q}^2)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2) \\ &=& \delta(M^2+2M|\vec{q}|)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2)\\ &=& \frac{1}{2M}\delta(|\vec{q}|+M/2)\delta(q_0^2 - \vec{q}^2)\\ \end{array}$

Первая строка просто вставляется. Во второй строке используется $q_0 = +|\vec{q}|$ благодаря второй дельта-функции и тета-функции. Третья строка просто расширяет и упрощает первую дельту. Последняя строка — это идентификатор правила цепочки для дельта-функции.

Сейчас $\delta(|\vec{q}|+M/2)$ имеет поддержку только отрицательных $|\vec{q}|$ что явная ерунда, поэтому интеграл равен нулю. Если у тебя есть $p_3 - q$ в исходном интеграле вместо $p_3 + q$ вы получите ненулевой ответ.

В общем, вы можете использовать $\delta(x - a) \delta(x - b) = \delta(x-a) \delta(a-b)$ так как первая дельта убивает интеграл везде, кроме $x=a$ . Если у вас есть $a=b$ Вы получаете $\delta(x-a)^2=\delta(x-a) \delta(0)$ и $\delta(0)$ должен быть определен каким-то предписанием, например, положить систему в коробку.

Моя ошибка заключалась в том, что я НЕ заменил q_0 сразу, а вместо этого заменил ПОСЛЕ того, как я написал вторую дельту в форме композиции ... это неправильно, этого делать нельзя. Нужно немедленно заменить, как это сделал Майкл Браун.

Безумные дельты Дирака

Неудачник

Виберт

Неудачник

Виберт

Неудачник

Неудачник

пользователь12345

Ответы (1)

Майкл

Неудачник

Аномальный магнитный момент электрона - задача интегрирования

Используя 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( А) в интегралах Фейнмана

Избавление от двойной дельта-функции в правилах Фейнмана

Изображение опор

Спинорная интеграция

Интеграл мягких фотонов Вайнберга

Как выполнить интегралы по многомерной дельта-функции?

Сложная интеграция путем смещения контура

Применение формулы суммирования Пуассона к эффекту Казимира

Бит поляков в пропагаторе