Используя 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( А) в интегралах Фейнмана

Question

Используя 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( А) в интегралах Фейнмана

Физика
интеграция
квантовая теория поля
Дирак-дельта-распределения

нуб

Выполняются ли следующие операции? Это связано с трюком с параметром Фейнмана.

Ф "=" \int_{0}^{1} г Икс \int_{0}^{1 - Икс} г у \frac{1}{ф (Икс, у) + я ϵ} .

$F:= \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}.$ Теперь используя

\frac{1}{А + я ϵ} "=" п В \frac{1}{А} - я π дельта (А),

$\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta(A),$ где

P V

$PV$ обозначает основное значение Коши, мы получаем (взяв только мнимую часть):

ℑ Ф "=" - π \int_{0}^{1} г Икс \int_{0}^{1 - Икс} г у дельта (ф (Икс, у)) .

$\Im{F} = -\pi \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\, \delta(f(x,y)) .$

У меня проблема в том, что нули $f(x,y)$ который я называю $y^{\pm}$ кажется, находится за пределами диапазона интегрирования, и, следовательно, дельта должна давать ноль. НО вот что смешно: когда я игнорирую все это и просто выполняю формальные вычисления (при условии, что делаю это правильно), а именно; замена $\delta(f(x,y))$ с

\frac{1}{| \partial ф / \partial у |_{у "=" у^{\pm}}} \times (дельта (у - у^{-}) + дельта (у - у^{+})), (1)

$\frac{1}{\bigl\vert \partial f/\partial y\bigr\vert_{y=y^{\pm}}}\times(\delta(y-y^-)+\delta(y-y^+)),\ \ \ (1)$

(где $|\partial f/\partial y|_\pm$ равны) и предполагая, что $y^{\pm}\in[0,1-x]$ (что кажется неверным) две дельты просто дают $1+1 = 2$ . Тогда результат кажется правильным или, по крайней мере, согласуется с тем, что я вычислил то же самое, используя совершенно другой метод.

Может ли все это быть просто совпадением? Я имею в виду, не должны ли дельты давать ноль, если $y^{\pm}\notin[0,1-x]$ , или я использую неправильную формулу $(1)$ ?

Дэвид З.

На самом деле это гораздо лучшее название, чем мы обычно получаем. Более информативный и конкретный (до определенного предела), как правило, лучше, когда дело доходит до заголовков.

Майкл

уравнение (1) работает только если

| \partial f / \partial y |

$|\partial f/\partial y|$ одинаково для обоих

y^{\pm}

$y^\pm$ , иначе за скобки не вытащишь. Не знаю, поможет ли это вашей проблеме.

Стив Бирнс

Для читателей, незнакомых с уравнением в заголовке вопроса, узнайте больше на этой странице Википедии :-D

нуб

Извините, я должен добавить, что это то же самое для обоих.

Qмеханик

@The Noob: Если вы хотите, чтобы сообщество помогло решить ваш кажущийся парадокс, вам нужно указать явную форму

f (x, y)

$f(x,y)$ . Сейчас трудно сделать какой-либо вывод, кроме того, что уже было сказано Вами в формулировке вопроса (т.4).

Вальтер Моретти

@The Noob: Если нули

f

$f$ не относятся к области интеграции и

f

$f$ на нем непрерывен, с вашим интегралом все просто. Посмотрите на мой ответ.

Дору Константин

Дискретны ли нули (в

(x^{\pm}, y^{\pm})

$(x^{\pm},y^{\pm})$ ) или есть

f

$f$ ноль по всем строкам

y^{\pm}

$y^{\pm}$ ?! То, что вы написали, похоже на второе...

Qмеханик

Кросс-опубликовано с math.stackexchange.com/q/326896/11127

Ответы (1)

Используя 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( А) в интегралах Фейнмана

На самом деле это гораздо лучшее название, чем мы обычно получаем. Более информативный и конкретный (до определенного предела), как правило, лучше, когда дело доходит до заголовков.
уравнение (1) работает только если $|\partial f/\partial y|$ одинаково для обоих $y^\pm$ , иначе за скобки не вытащишь. Не знаю, поможет ли это вашей проблеме.
Для читателей, незнакомых с уравнением в заголовке вопроса, узнайте больше на этой странице Википедии :-D
Извините, я должен добавить, что это то же самое для обоих.
@The Noob: Если вы хотите, чтобы сообщество помогло решить ваш кажущийся парадокс, вам нужно указать явную форму $f(x,y)$ . Сейчас трудно сделать какой-либо вывод, кроме того, что уже было сказано Вами в формулировке вопроса (т.4).
@The Noob: Если нули $f$ не относятся к области интеграции и $f$ на нем непрерывен, с вашим интегралом все просто. Посмотрите на мой ответ.
Дискретны ли нули (в $(x^{\pm},y^{\pm})$ ) или есть $f$ ноль по всем строкам $y^{\pm}$ ?! То, что вы написали, похоже на второе...
Кросс-опубликовано с math.stackexchange.com/q/326896/11127

Вальтер Моретти · Answer 1

Если вы уверены, что $f$ непрерывна и не обращается в нуль в области интегрирования, это вовсе не обязательно, используя теорию регуляризации распределений. Рассмотрим начальный интеграл:

Ф "=" \int_{0}^{1} г Икс \int_{0}^{1 - Икс} г у \frac{1}{ф (Икс, у) + я ϵ} .

$F:= \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}.$ Его можно переписать как:

Ф "=" \int_{Т} \frac{1}{ф (Икс, у) + я ϵ} г Икс г у,

$F:= \int_{T} \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{d}x\mathrm{d}y,$ где

T

$T$ это замкнутый треугольник:

Т "=" {(Икс, у) е [0, 1] \times [0, 1] | 0 \leq у \leq 1 - Икс} .

$T := \{(x,y) \in [0,1]\times [0,1] \:|\: 0 \leq y \leq 1-x\}\:.$

Если $f(x,y)$ непрерывен на _ $T$ и не обращается в нуль, функция

[0, 1] \times Т ∋ (ϵ, Икс, у) \mapsto | \frac{1}{ф (Икс, у) + я ϵ} |

$[0,1]\times T \ni (\epsilon, x,y) \mapsto \left|\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}\right|$ непрерывна и, следовательно, ограничена. Давайте позвоним

M \geq 0

$M\geq 0$ его максимум. Мы можем заключить, что

| \frac{1}{ф (Икс, у) + я ϵ} | \leq М для каждого ϵ е [0, 1] и (Икс, у) е Т .

$\left|\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon}\right| \leq M\quad \mbox{for every $\epsilon \in [0,1]$ and $(x,y)\in T$.}$ Как

T

$T$ имеет конечную меру, постоянная функция

T ∋ (x, y) \mapsto M

$T \ni (x,y) \mapsto M$ имеет конечный интеграл. Таким образом, мы можем применить теорему Лебега о мажорируемой сходимости , которая позволяет поменять местами символ предела на символ интеграла и получить таким образом:

\underset{ϵ \to 0^{+}}{лим} \int_{0}^{1} г Икс \int_{0}^{1 - Икс} г у \frac{1}{ф (Икс, у) + я ϵ} "=" \int_{Т} \underset{ϵ \to 0^{+}}{лим} \frac{1}{ф (Икс, у) + я ϵ} г Икс г у "=" \int_{Т} \frac{1}{ф (Икс, у)} г Икс г у

$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y \frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} = \int_T \lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{1}{f(x,y)+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_T \frac{1}{f(x,y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Очевидно, в своем ответе я предполагал $f$ быть по-настоящему оцененным.

Используя 1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)1A+iϵ=PV1A−iπδ(A)\frac{1}{A+i\epsilon} = PV\frac{1}{A}-i\pi\delta( А) в интегралах Фейнмана

нуб

Дэвид З.

Майкл

Стив Бирнс

нуб

Qмеханик

Вальтер Моретти

Дору Константин

Qмеханик

Ответы (1)

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Аномальный магнитный момент электрона - задача интегрирования

Безумные дельты Дирака

Избавление от двойной дельта-функции в правилах Фейнмана

Изображение опор

Спинорная интеграция

Интеграл мягких фотонов Вайнберга

Как выполнить интегралы по многомерной дельта-функции?

Сложная интеграция путем смещения контура

Применение формулы суммирования Пуассона к эффекту Казимира

Бит поляков в пропагаторе