Будут ли во Вселенной с четырьмя пространственными измерениями существовать элементарные частицы с собственным изоклиническим спином?

Набросок того, как спин возникает в физике элементарных частиц.

В квантовой механике есть теорема, называемая теоремой Коулмана-Мандулы , которая говорит вам, что при очень разумных предположениях наиболее общая группа симметрий квантовой теории является прямым произведением группы Пуанкаре и компактной связной группы Ли (называемой группа внутренних симметрий ).

Как это обычно бывает, мы можем организовать спектр теории в терминах неприводимых представлений группы симметрии. Поскольку это прямое произведение, мы можем обсуждать Пуанкаре и внутренние симметрии отдельно. Последнее порождает «зарядовые» квантовые числа, такие как изоспин , цвет и т. д., которые являются собственными значениями максимального тора внутренней группы.

Первая самая интересная часть. Группа Пуанкаре является полупрямым произведением группы Лоренца и группы переводов (подробности см. в этом посте PSE ). Полная классификация его ( проективных , унитарных ) представлений может быть получена с помощью метода Фробениуса-Вигнера индуцированных представлений . Этот метод действует следующим образом:

1. Сначала диагонализируем нормальную подгруппу ; будучи абелевым , мы просто вводим$d$произвольные реальные параметры, приводящие к тому, что мы обычно называем импульсом $p=(p_0,p_1,\dots,p_{d-1})\in\mathbb R^{1,d-1}$.

2. Далее мы расстаемся$\mathbb R^{1,d-1}$в коллекторы, где$\mathrm{SO}(1,d-1)$действует транзитивно . То есть мы отождествляем все неэквивалентные орбиты импульсов под группой Лоренца: это вакуумные состояния$p\equiv 0$; массивные состояния$p^2>0$; безмассовые состояния$p^2\equiv0$; и тахионные состояния$p^2<0$.

3. Мы выбираем по одному представителю от каждого класса. С этого момента мы сосредоточимся только на массивных состояниях. Представитель этих государств$p=(\sqrt{p^2},0,\dots,0)$. Маленькая группа (Вигнера) такого представителя определяется как подгруппа группы Лоренца, которая оставляет его инвариантным:$W\equiv\{R\in\mathrm{SO}(1,d-1)\,\mid\, Rp=p\}$, которая, как легко видеть, является группой вращений ,$W\cong \mathrm{SO}(d-1)$.

4. Выберите произвольное (унитарное, проективное) представление маленькой группы,$\lambda\in\mathrm{Rep}(W)$. Здесь нам повезло, что ортогональная группа проста ; в противном случае мы должны вернуться к шагу 1 и индуцировать представление$W$из своей нормальной подгруппы. (Именно это и происходит для безмассовых орбит ¹ ).

5. Представление Пуанкаре окончательно дается парой$(p,\lambda)$. Здесь,$p=(p_0,p_1,\dots,p_{d-1})$является произвольным$d$-кортеж действительных чисел, и$\lambda$является конечномерным унитарным проективным представлением небольшой группы$p$, а именно, ортогональная группа$\mathrm{SO}(d-1)$.

В$d=3+1$, маленькая группа$\mathrm{SO}(3)$; его проективные представления являются стандартными представлениями его универсальной оболочки,$\mathrm{SU}(2)$. Представления последних хорошо известны в физике: они помечены полуцелым числом$j$, называемый спином . Поэтому состояния релятивистской квантовой теории в$d=3+1$измерения обозначены следующими номерами: четырехимпульс, спин, внутренние заряды. Это хорошо согласуется с нашей интуицией/опытом.

В$d\ge4+1$, маленькая группа$\mathrm{SO}(d-1)$; его проективные представления являются стандартными представлениями ² его универсальной оболочки ,$\mathrm{Spin}(d-1)$. Представления последних не так распространены, как представления$\mathrm{SU}(2)$в физике. Мы утверждаем без доказательства, что представления этой группы находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми старшими весами алгебры (ср . представления старшего веса ). Они могут быть обозначены$r=\mathrm{rank}(\mathfrak{so}(d-1))=\lfloor(d-1)/2\rfloor$целые числа$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_r$, известные как метки Дынкина представления (которые определяются как коэффициент старшего веса в базисе фундаментальных весов, которые являются базисом, двойственным базису простых корней ). За$d=3+1$, у нас есть одна метка, которую мы отождествляем со спином,$\lambda_1=2j$. За$d\ge4+1$, у нас есть несколько меток, поэтому не имеет смысла говорить о спине частицы (скорее, мы должны были бы говорить о ее спиновом квантовом числе s ; но это было бы не очень точно, потому что$\lambda_i$не являются собственными значениями Казимира , в отличие от$d=3+1$дело).

Например, в$d=4+1$, у нас есть два квантовых числа "маленькой группы",$\lambda_1,\lambda_2$. В полуклассических терминах они описывают возможные состояния вращения в$d=4$пространственные размеры, как в ОП. В квантовых терминах нецелесообразно рассматривать это как добросовестное вращение, но ярлыки все же описывают, как ведет себя частица под действием$\mathrm{SO}(4)$, то есть при пространственных вращениях. В конце концов, это квантовая механика, поэтому классические концепции не имеют идеального перевода, но в какой-то степени они есть.

Наконец, стоит упомянуть, что$\mathrm{Spin}(d-1)$имеет нетривиальный центр . В частности, всегда есть$\mathbb Z_2\subseteq Z(\mathrm{Spin}(d-1))$подгруппа, частное которой возвращает нас к$\mathrm{SO}(d-1)$группа:

Преобразование государства при этом$\mathbb Z_2$подгруппа сообщает нам, спускается ли она к истинному представлению$\mathrm{SO}(d-1)$, или к проективному представлению. Другими словами, это говорит нам, является ли это бозоном или фермионом. С точки зрения меток Дынкина, если$d$четно, то состояние является бозоном, если$\lambda_r$четно и фермион, если нечетно; и если$d$нечетно, состояние является бозоном, если$\lambda_{r}+\lambda_{r-1}$четно и фермион, если нечетно. (Сравните это с$\lambda_1=2j$в$d=3+1$дело). Поэтому последние две метки Дынкина в какой-то степени различают бозоны и фермионы; они играют роль$j\ \mathrm{mod}\ 2\mathbb Z$в$d\ge4+1$.

^{1: Маленькая группа безмассового состояния — это так называемая евклидова группа . $\mathrm{ISO}(d-2):=\mathrm{SO}(d-2)\ltimes \mathbb R^{d-2}$, что явно не просто. Следовательно, его представления могут быть индуцированы из представления его нормальной подгруппы$\mathbb R^{d-2}$. Нетривиальное представление этой группы приводит к бесконечномерному представлению группы$\mathrm{ISO}(d-2)$, которое называется бесконечным (или непрерывным) представлением спина . Было показано, что они являются патологическими (например, они нарушают причинно-следственную связь, ср . Abbott ). Таким образом, мы должны ограничиться тривиальными представлениями$\mathbb R^{d-2}$, чья маленькая группа$\mathrm{SO}(d-2)$сам, что просто. Его (унитарные, проективные) представления индуцируют представление группы Пуанкаре, известное как представления спиральности , которые описывают безмассовые частицы, такие как фотон.}

^{2: Как упоминалось ранее, ортогональная группа проста, и поэтому ее алгебра не имеет нетривиальных центральных расширений ; таким образом, проективные представления имеют чисто топологическое происхождение, ср.$\pi_1(\mathrm{SO}(n))=\mathbb Z_2$.}

С точки зрения теории групп изоклинические вращения в 4-х пространственных измерениях описываются группой симметрии SO(4). Это группа, которая может быть представлена ​​ортогональными матрицами 4x4 с единичными определителями.

Эта группа имеет две подгруппы левого и правого изоклинических вращений соответственно. Каждая из них изоморфна 3-сфере,$S^3$, имеющая группу, изоморфную SU(2), т. е. классический спин. Конечно, правоизоклиническое вращение и левоизоклиническое вращение будут такими же, как левое и правое вращение в трехмерном подпространстве.

Однако, поскольку вы спрашиваете о собственном спине, насколько я могу судить, это свойство не означает, что элементарные частицы будут вести себя так, как будто и только если они находятся в изоклиническом вращении. Фактически, в трехмерном подпространстве они по-прежнему будут вести себя так, как если бы они находились в простом вращении. Это может быть связано с проекцией изоклинического вращения или общим двойным вращением, возможно, из-за того, что собственный спин имеет другую симметрию, чем SU (2), или просто старое доброе простое вращение (аналогично проекции трехмерного вращения на двумерную плоскость). ) из-за внутренней SU (2) симметрии, какой мы ее знаем. Так как$S^3_L \times S^3_R$не изоморфен SO(4).