Любая хорошая интерпретация дифференцирования j(j+1)j(j+1)j(j+1) для получения 2j+12j+12j+1?

Если Дж является непрерывной переменной, то дифференцируя функцию ф ( Дж ) "=" Дж ( Дж + 1 ) в отношении Дж дает ф ′ ( Дж ) "=" 2 Дж + 1 . Конечно, я выбрал эту букву, чтобы вызвать квантово-механический угловой момент, и в этом случае для целых или полуцелых значений Дж мы можем интерпретировать эти два выражения как собственное значение квадрата углового момента и кратности углового момента.

Есть ли хорошая интерпретация этого? Когда я просматривал автоматически сгенерированный список «Вопросов, на которые, возможно, уже есть ваш ответ», я наткнулся на комментарий, в котором задается точно такой же вопрос.

Одна из причин полагать, что она не имеет специальной интерпретации, заключается в том, что, поскольку фактическая переменная дискретна, производная ф ′ действительно представляло бы приближение к разделенной разнице, а соответствующая разница для единицы изменения в Дж не обязательно равняется производной, если вы не оцениваете производную в правильном месте.

Мне кажется, что есть и вторая причина не ожидать здесь ничего особенного, а именно то, что соответствие, кажется, работает только в трех измерениях. Для ротора в г размеры, собственное значение оператора квадрата углового момента равно Дж ( Дж + г − 2 ) . Я не знаю, что такое кратность состояний вообще, но полагаю, что это многочлен порядка г − 2 . например, для г "=" 2 , кратность равна 2 ( м "=" ± Дж ), что не равно производной от Дж ( Дж + г − 2 ) "=" Дж 2 . С другой стороны, я думаю, возможно, что есть хорошая интерпретация, и хорошая интерпретация говорит нам, что в трех измерениях есть что-то особенное.

По теме: Что известно об атоме водорода в г пространственные размеры?

1) В случае необходимости: кратность в н угловые размеры (чтобы для нашего 3D мира, н "=" 2 ) дан кем-то ( Дж + н − 2 ) ! Дж ! ( н − 1 ) ! ( 2 Дж + н − 1 ) . В общем случае это многочлен от Дж порядка н − 1 . 2) Возможная интерпретация может исходить из микроканонического ансамбля (например, для жесткого ротора, где указанная выше кратность является числом микросостояний Ом , производная которой есть плотность микросостояний).
Я на 99% уверен, что это просто совпадение.
@AccidentalFourierTransform: указанная выше кратность - это количество микросостояний Ω, производная от которых - плотность микросостояний. У вас есть функция и ее производная. Разве функция, о которой вы говорите, не дифференцирует множественность, тогда как в теме этого вопроса множественность - это то, что вы получаете после дифференцирования? Или, может быть, я просто не понимаю вас.

Ответы (1)

Количество сферических гармоник веса ℓ на С г дан кем-то

Н ( г , ℓ ) "=" г + 2 ℓ − 1 г − 1 ( г + ℓ − 2 ℓ )
Далее, собственное значение этой сферической гармоники равно − Δ ( г , ℓ ) "=" ℓ ( ℓ + г − 1 ) .

В частности, обратите внимание, что для г "=" 2 (что имеет место для трехмерных угловых моментов, мы находим

Н ( 2 , ℓ ) "=" 2 ℓ + 1   , − Δ ( 2 , ℓ ) "=" ℓ ( ℓ + 1 )   .
В этом частном случае верно, что − ∂ ℓ Δ ( 2 , ℓ ) "=" Н ( 2 , ℓ ) как вы заметили. Я заметил следующее обобщение на более высокие измерения: г ≥ 3 ,
∂ ℓ г − 3 Н ( г , ℓ ) "=" − Δ ( г , ℓ ) + г 2 4 − 7 г 12 + 1 2   .
Однако я не вижу никакой реальной собственности, представляющей интерес. Я считаю, что формула - чистое совпадение.

PS - Это тот случай, когда я хотел бы оказаться неправым!

Это читается для меня как переформулировка аргумента, который я привел в четвертом абзаце вопроса. Есть некоторые дополнительные детали, но большая часть этих добавленных деталей уже была проработана в комментарии AccidentalFourierTransform. Причина, по которой я опубликовал это как вопрос и предложил награду, заключалась в том, что я надеялся, что кто-то сможет подойти к этому с другой точки зрения.
Возможно, также интересно: если мы используем конечную разность вместо производной, мы имеем Δ ℓ г Н "=" 0 , Δ ℓ г − 1 Н "=" 2 , Δ ℓ г − 2 Н "=" 2 г + 2 ℓ − 3 , Δ ℓ г − 3 Н "=" ( г + ℓ − 2 ) 2 , и т. д.
Любая хорошая интерпретация дифференцирования j(j+1)j(j+1)j(j+1) для получения 2j+12j+12j+1?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v