Был ли Кант неправ, утверждая, что вся математика «априорна»?

Предисловие: утверждение Канта опровергается профессором Дэвидом Джойсом , который ссылается на неевклидову геометрию, и последним предложением Sparknotes , в котором говорится, что «эмпирическая геометрия является синтетической, но она также является апостериорной ». Поэтому я объясняю, почему математика кажется мне апостериорной , используя математические примеры средней школы, которые должны быть достаточно простыми для Канта.

[ Источник : ] Для Канта математические суждения имеют внутреннюю связь с пространством и временем. Он считает, что математика включает в себя геометрию и арифметику, а основой геометрии является величина, которую мы воспринимаем как протяженность в пространстве, тогда как основой арифметики является величина, которую мы воспринимаем как протяженность во времени. Соответственно, для Канта вопрос о природе основ математики становится вопросом о природе нашего понимания величин пространственной и временной протяженности.

Итак, исходя из того, что пространство и время имеют априорный источник, он делает вывод, что математика имеет априорный источник. Но природа этого априорного источника, по его мнению, состоит не только в признании содержания понятий, которыми мы уже обладаем (например, когда мы судим, что холостяк не женат), но, скорее, имеет свою основу в нашей способности синтезировать пространственные или временное расширение, чтобы прийти к предложениям, описывающим геометрические или арифметические величины. Итак, принимая математические суждения за акты синтеза, связанные с нашим пониманием пространства и времени, он считает их априорными синтетическими .

Понимая и поэтому не оспаривая, что

  1. математика является синтетической (например: может ли кто-нибудь решить кубическое уравнение с первого взгляда, не занимаясь алгеброй?)

  2. а математика в начальной школе априори представляется взрослому,

Я оспариваю только то, что математика априори на уровне средней школы и университета.

Предположим, что студент-математик может правильно доказать или дать количественную оценку концепции (например, лента Мёбиуса ( рисунок ), анализ главных компонентов ( рисунок ) или уравнение, которое можно доказать визуально ), но изображения или интуитивное объяснение обогащают это знание до следующего уровня. . Тогда все такие ученики изучают математику только ПОСЛЕ знакомства с этими интуитивными объяснениями и визуализациями, и поэтому математика иногда должна быть апостериорной . Правильный?

Я думаю, что в этом вопросе часто встречается неправильное понимание термина априори : это означает не то, что одно предшествует другому во времени , а в большей степени то, что оно предшествует другому логически. Все, что Кант на самом деле говорит здесь, это то, что математика построена или, по крайней мере , может быть (я считаю это главным) построена из своих принципов (аксиом) без необходимости соответствующих созерцаний, т. е. в отличие от эмпирических понятий, которые работают с рефлексивным суждением. и воображение. То, что аксиомы были найдены очень поздно, например, Колмогоровым, подтверждает это утверждение.
Студенты изучают математику на собственном опыте; но как только они изучают его, они признают его аподиктическую достоверность; и вообще природа этой уверенности принимается за априорную — как же может быть иначе; как 1+1 может быть чем-то иным, чем два; или как в сумме углы треугольника могут быть больше или меньше 180 градусов?
Но Кант говорит, что из простого определения треугольника нельзя вывести, что сумма его углов должна составлять 180 градусов, т. е. это не аналитическое суждение; учитывая, что Гаусс читал Канта, мне кажется вполне правдоподобным, что изобретение неевклидовой геометрии конкретно имело какое-то отношение к Канту.
@PhilipKlöcking Спасибо за разъяснение, откуда я получил пользу. Просто чтобы уточнить: я не основывал свой последний абзац на порядке времени; Я основывал это на порядке логики: образы и интуиция, на которые я ссылался, НЕ являются логическими аргументами и поэтому не задействуют никакой логики; НО эти апостериорные переживания вносят свой вклад, если не порождают, априорную часть, которая смущает студентов.
Опыты в некотором смысле порождают априорные знания. Без опыта не было бы ничего, даже категорий, потому что они функции понимания, способ обработки информации. Без информации, как вы могли узнать о них? Следовательно , априори следует понимать как выход за пределы случайного опыта, а не предшествующий ему. Даже если математику понимают с помощью картинок, было бы странным понимание математической истины, если бы она описывалась как индуцированная из этого опыта, не так ли?
Вопрос о кантианском статусе математики как «синтетической априори» является, насколько мне известно, очень сложным и спорным. Хотя я не могу внести свой вклад без небольшой работы, я думаю, что комментарии и ответы пока неудовлетворительны. Во-первых, неясно, могут ли геометрия и арифметика трактоваться у Канта одинаково. Можно сказать, что геометрия влечет за собой «априорную интуицию», хотя в некоторых прочтениях Канта это было бы противоречиво.

Ответы (6)

У меня другое понимание математики, чем то, что видно из интересного вклада https://philosophy.stackexchange.com/a/32859/40722 . Я приведу здесь несколько причин.

Я не согласен с предположением, что все люди в конце концов придут к согласию относительно одних и тех же математических истин , поскольку не существует такой вещи, как математическая истина . Однако существуют определенные наборы аксиом с определенными следствиями, которые можно вывести с помощью математических рассуждений.

Аргумент 1: Выбор аксиом не очевиден. Допустили бы вы лемму Цорна и аксиому выбора в вашу теорию множеств или нет?

Аргумент 2: Выбор механизмов рассуждения и вывода не очевиден. Как бы вы отнеслись к двойному отрицанию? Должны ли доказательства быть конструктивными? Разрешены ли трансфинитные механизмы?

Аргумент 3: Достаточно сложные наборы аксиом страдают от (Гёделя) неполноты. Таким образом, для конкретной аксиоматизации арифметики вы сможете найти множество формул X, которые невозможно вывести и для которых у вас есть выбор: добавить X или не-X к набору аксиом.

Аргумент 4. Вы можете использовать так называемую внутреннюю теорию множеств для описания так называемого нестандартного анализа. Итак, что такое «истинный» анализ сейчас? Традиционный анализ? Нестандартный анализ? Традиционный анализ без леммы Цорна, ограниченный интуиционистскими доказательствами? Или какой-то другой выбор?

Аргумент 5: Вопреки распространенному мнению, математика является эмпирической и предполагает поиск истины в лаборатории. Лаборатория — это человеческий мозг. Я придумываю какие-то аксиомы, проверяю следствия, понимаю, что они неадекватно моделируют рассматриваемую область, и таким образом корректирую свои аксиомы.

Однако есть свойство нашего разума, очень сильное, заставляющее нас верить, что многие вещи априорны. Особенно хорошими кандидатами являются логика, геометрия и счет. Вот почему большинство моих аргументов появилось совсем недавно в математических и логических исследованиях и вызвало путаницу в этой области.

Представление о том, что математика является априорной, не имеет ничего общего с трудностями ее изучения или объемом опыта, который может потребоваться математику для овладения данной дисциплиной. Вопрос в том, зависит ли это от опыта или нет:

«Таким образом, принципы геометрии, например, что «в треугольнике две стороны вместе больше третьей», никогда не выводятся из общих понятий о линии и треугольнике, а выводятся из созерцания, и это априори, с аподиктическая уверенность». [А25/Б39]

Математическая истина совершенно не зависит от опыта. Это не зависит от социальных условностей, и невозможно, чтобы когда-нибудь новые доказательства опровергли то, что мы знаем как математическую истину. Он коренится в логике, которую Кант прекрасно понимал.

Аргумент, что неевклидова геометрия каким-то образом опровергает позицию Канта по этому поводу, демонстрирует непонимание того, что он говорил. Когда Кант говорил в терминах евклидовой геометрии, он не утверждал, что это единственно возможная геометрия. Скорее, он утверждал, что наши представления и то, как мы воспринимаем реальность, ограничены трехмерным пространством:

«Мы никогда не можем вообразить или представить себе несуществование пространства, хотя достаточно легко можем подумать, что в нем нет никаких объектов. отнюдь не как зависящее от них определение, а представляет собой априорное представление, которое необходимо дает основу для внешних явлений...» [А23/В37]

Ирония в том, что даже математики, говоря об альтернативных геометриях, описывают эти геометрии в терминах евклидовой геометрии. Например, когда говорят об искривленном пространстве, идея искривления пространства представлена ​​относительно евклидовой геометрии. Он изогнут по отношению к евклидовой прямолинейности. Тем самым они фактически свидетельствуют о том, что евклидова геометрия служит основой нашего опыта.

Когда Гаусс пытался проиллюстрировать отсутствие необходимости в неевклидовой геометрии, он нарисовал псевдоевклидовы фигуры, которые иногда не соответствовали его описаниям. Как бы вы, например, нарисовали дугу с двумя разными радиусами: одним конечным, а другим бесконечным? Конечно, это невозможно. Он пытался представить объекты, несовместимые с опытом, как если бы они были таковыми. Не умаляя его работы как математика, но он говорил не о том же, что и Кант. Канта интересовали объекты опыта, и внеопытные сущности Гаусса ничуть не уменьшили нашей уверенности в том, что евклидова геометрия определяет такой опыт.

Когда Кант пишет: «В треугольнике две стороны больше третьей и никогда не выводятся из общих представлений о линии и треугольнике», он, несомненно, показывает, что это суждение не может быть аналитическим ; аналитическое суждение имеет не больше содержания, чем его субъект, и здесь Кант явно отрицает, что оно может быть аналитическим, поскольку «никогда не выводятся из общих понятий линии и треугольника»; если не аналитическое, то синтетическое.
И это связано с маневром Канта, чтобы показать, что геометрия и арифметика, наряду с пространством и временем, являются синтетическими априорными предложениями. Я предположил, что Гаусс мог быть вдохновлен Кантом, учитывая, что он его читал; но это вдохновение не обязательно должно быть прямым; и если это правда, то это иронично, учитывая, как часто факт неевклидовой геометрии, будь то геометрически или физически, используется, чтобы предположить, что Кант ошибался в том, как воспринимается пространство .
Конечно, Кант и Гаусс «говорят о разных вещах»; но это не отменяет возможности вдохновения, особенно в кантовской формулировке.
У меня сложилось впечатление, что Гаусс не вполне оценил то, что говорил Кант. Не важно, чтобы Кант был на 100% прав в своем описании геометрии. Важно то, что нет замены той функции, которую он выполняет как форма интуиции. Не существует такой вещи, как эмпирический источник аподиктической достоверности.
«в треугольнике две стороны вместе больше третьей», если только вы не допускаете отрицательных размеров или не используете комплексную плоскость. Обращение к нашему опыту указывает лишь на случайность, ничего принципиального. Если бы мы находились в среде со сложными гравитационными полями и заметным замедлением времени, наша интуиция была бы связана с пространством-временем. Евклидова геометрия неверна, потому что это частный случай. Мы можем рассматривать явления без кантовских предпосылок, такие как спин-сети Петлевой Квантовой Гравитации. Между определениями у нас есть необходимость, но верны ли определения, всегда остается открытым вопросом.

Причина, по которой математика должна быть априорной, заключается в том, что мы предполагаем, что все люди в конечном итоге согласятся с одними и теми же математическими истинами.

Это не относится ни к какому другому домену. Мы предполагаем, что наша физика определяется нашим опытом, а не нашей математикой. В равной степени компетентные и умные физики всех поколений расходятся во мнениях, даже имея доступ к одним и тем же данным. То же самое для биологии, этики, права и т. д. Но математики, получив доказательства, не рассчитывают не согласиться. Если консенсуса нет, мы должны предположить, что ошибка в доказательстве — оно в каком-то смысле неполное.

Таким образом, значение истины устанавливается вне личности, независимо от опыта. Он может быть еще не «синтезирован» под воздействием стимулов, которые делают его релевантным. Но он уже сформирован, иначе он в конечном итоге будет варьироваться у разных людей.

Материалистический способ сформулировать априорное мышление состоит в том, что оно, по крайней мере, филогенетическое: все люди согласны с этим, и как только они формируют концепции, они никогда не меняются для них. Мы не можем знать, будут ли это делать не-люди, но этим аргументом Кант предполагает, что они будут это делать, если только их восприятие пространства и времени не будет совершенно другим, не имеющим общего основания с нашим.

Приложение

Чтобы ответить на возражение @ Conifold: для того, чтобы комбинировать опыт и вообще выводить общие принципы , для этого должен существовать механизм - опыт естественным образом не соотносится с правилами - мы делаем это с ним. Кант предлагает Категории, несколько дерзкие в своей детализации и специфичности.

В более материалистическом ключе я бы предположил, что механизм — это врожденное субъективное эмоциональное чувство «ясности». Существует своего рода комбинация, которая является наиболее четкой для всех видов, и результатом является данный общий субстрат предположений, которые лежат в основе логики и математики и становятся ими. (Ощущение, что эта основа является общей и что мы должны углубляться в ее общие аспекты, наиболее очевидно в нашем опыте музыкальной мелодии.)

Это включает в себя два глубоко общих основных набора интуитивных представлений:

  1. наша общая стереоскопическая модель пространства, которая:

    • распространен среди людей, даже с нарушением многих органов чувств
    • очень независим от фактических взглядов или даже потенциальных взглядов — рассмотрим внетелесный опыт

  2. переживания непрерывности и разделимости моментов, которые мы переживаем как время (анализ Брауэра в интуиционизме), которые:

    • лежат в основе наших представлений о дискретности и непрерывности, включая их базовую парадоксальную неспособность правильно сочетать и странные, ошибочные представления о бесконечности и отрицании, которые в конечном итоге приводят к
    • создать импульс к счету и измерению с помощью ритма и темпа, который мы экстраполируем в математические представления о числах
Я предполагаю, что математика модерируется нашим опытом точно так же, как и физика, хотя она может быть менее прозрачной. Если бы наши органы чувств были другими, мы бы по-другому структурировали геометрию, если бы обычные объекты вели себя по-другому, у нас была бы другая арифметика. Многие люди, в том числе математики, не согласны даже с основными математическими «истинами», такими как существование бесконечных множеств или натуральных чисел, не говоря уже об аксиоме выбора и ее следствиях, несмотря на их доказательства. «Все люди» не согласны даже с логическими законами. Всеобщий опыт независимой чистой математики — чистая фантазия.
@Конифолд. Чистая математика может быть фантазией, но я не уверен в универсальном опыте. В любом случае, я смущен вашим ответом на вопрос, который является довольно фундаментальным. Утверждение, что люди не согласны в отношении «того или иного», вряд ли отвечает кантовской посылке о том, что такие разногласия возможны только «априори» в общем дискурсивном «пространстве». То есть... "пространство", за неимением лучшего термина. Геометрия есть именно «апостериорное» научное исследование этого «априорного» состояния, не так ли?
Тогда математики как дисциплины просто не существует — геометрия — это физика, арифметика — это просто аспект логики, подобласть лингвистики и т. д. В этом случае вопрос не имеет никакого смысла, Кант не может быть прав или не прав в отношении какой-либо области. без содержания. Но дело в том, что в основе своей мы согласны с тем, что доказано. У нас могут быть разные стандарты доказательства, но это не имеет значения, в конечном итоге мы соглашаемся по содержанию так, как не согласны по физике. Математика может быть вопросом простой психологии, но эта психология распространена.
@ Нельсон Я думаю, что предпосылка Канта заключалась скорее в том, что Знание (в его максималистском смысле) возможно, а общие априорные опыты являются условием его возможности. Сегодня трудно утверждать, что его предпосылка верна. Что касается дефлированного знания, то у нас есть Витгенштейн, например, обрисовавший в общих чертах, как оно может возникнуть из общественной практики наряду с общим «дискурсом», овеществленной языковой игрой. Доступны и другие априорные описания интерсубъективности, например, гуссерлевские. Что их объединяет, так это согласие в том, что допущение того, что наша «общая почва» является концептуальной, есть Ошибка рационализма.
@Конифолд. Это ускользает от того, как обычный опыт видения (и воссоздания пространства точно так же, как через звук или осязание, когда зрение отсутствует) может быть достигнут с помощью языковой игры. Там должно быть что-то, что можно раскрыть и поделиться.
Кроме того, кто сказал что-либо о том, что априорные существа концептуальны — я предполагаю, что они на самом деле эмоциональны до тех пор, пока не будут очищены контактом с другими. Рассказы тех, у кого нет языка или кто овладел им поздно, указывают на то, что такие вещи, как пространство, противоречие и обобщение, не обязательно должны быть концептуальными. Но они такие же врожденные, как наше влечение к лицам.
@Конифолд. Согласие относительно математической истины не имеет отношения к этому вопросу, потому что дело не в том, что мы знаем, а в том, как мы это знаем. Если бы математика имела свои корни в эмпирических источниках, математики полагались бы на научные методы, такие как лабораторные испытания или, возможно, социологические или исторические исследования. Конечно, это не так. Математика всегда была установлена ​​и проверена как чистая дисциплина, полагающаяся только на логику в своих аргументах.
@PédeLeão Насколько я знаю, согласно книге Клейна о развитии математики в 19 веке, мнение Гаусса о евклидовой/неевклидовой геометрии является эмпирическим: эксперименты доказывают, кто из них прав, а не априори или не игра логики. Я думаю, что математика той эпохи сильно отличалась от математики после Гильберта. А, по В. И. Арнольду, математика — это раздел физики, где эксперимент дешевле.
@ФранкНаука. Вы упускаете из виду тот факт, что ни Гаусс, ни кто-либо другой не проверяет математику эмпирическим путем. Эти так называемые эксперименты дешевы именно потому, что они не являются эмпирическими.
@PédeLeão Эксперименты в смысле Гаусса являются эмпирическими. Насколько я понял, Гаусс говорил не о доказательствах или математических теориях как таковых, а о том, какая система аксиом должна быть истинной (я не знаю, чего на самом деле хотел Гаусс, потому что я читал переведенные резюме, а не оригинальные слова).
@PédeLeão Давайте сравним математику с другой стороны, с физикой. Вы думаете, что это зависит от эмпирических фактов? Насколько я знаю, некоторые разделы физики аксиоматизированы, например, квантовая механика. Насколько они разные?
@ФранкНаука. Я читал его аргументы, и они не были эмпирическими. Не представляю, как могло быть иначе. Может быть, вам следует прочитать его слова, и тогда вы сможете объяснить мне, в каком смысле их можно считать эмпирическими.
@PédeLeão Кляйн « Развитие математики в 19 веке », стр. 52: Гаусс не рассматривал свою неевклидову геометрию номиналистически, как простую интеллектуальную игру ... Скорее, его точка зрения была чисто эмпирической . Для него пространство существовало вне нас и имело свои фиксированные свойства, которые стоило исследовать. Вопрос о том, какая геометрия существует «в действительности» и поэтому является правильной, должен был решаться опытами . Гаусс выразил это Ольберсу в 1917 г. (Werke 8:177).
@PédeLeão Вы читали Werke 8:177? Я не умею читать по-немецки и не знаю, как он составлен. А еще книга Кляйна переведена с немецкого на английский (и китайский, который я читал). У вас есть идеи по этому поводу?
@PédeLeão Кажется, лучше процитировать следующее предложение из книги Феликса Кляйна: здесь он признал априорную истину только арифметике , поставив геометрию на один уровень с механикой и эмпирической наукой.
@ФранкНаука. Я бы сказал, что Кляйн должен ошибаться, потому что нет никакого смысла утверждать, что геометрия эмпирична. Я рекомендую изучать Канта, потому что он гораздо яснее разбирался в этом вопросе.

В книге Томаса Винциса Канта «Геометрия и пространство » он пишет:

Второй геометрический аргумент требует, чтобы Кант выводил геометрические теоремы из принципов своего учения о математическом методе и демонстрировал, что они имеют статус априорных синтетических утверждений, что предполагает первый аргумент.

О том, что это непростая задача, говорит Кант во введении к CPR и Прологеменам.

B19 : Как человеческий разум может производить математические суждения, которые являются синтетическими априори?

Синтетический означает, что истинность суждения лежит вне субъекта или грамматики суждения, в то время как a priori предполагает обратное, поскольку оно предшествует всякому возможному опыту и, таким образом, опирается на чистое познание; следовательно, просить о таком утверждении почти то же самое, что искать своего рода диалектическую истину, поскольку два термина противоположны.

Он продолжает:

философское познание есть рациональное познание из понятий , математическое познание — из построения понятий.

Отсюда, возможно, конструктивизм ...

Но построить понятие — значит проявить априорно соответствующее ему созерцание.

Следовательно

Для построения понятия требуется неэмпирическая интуиция...

Если оно априорно , оно должно быть неэмпирическим

Таким образом, я строю треугольник, показывая предмет, соответствующий этому предмету, либо посредством простого воображения, либо в чистом созерцании; или на бумаге, как эмпирическая интуиция; но в обоих случаях совершенно априорно , без необходимости заимствования образца из какого-либо опыта.

Он объясняет, почему эмпирически нарисованная фигура может служить априорной :

Индивидуально нарисованная фигура эмпирична и тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его универсальности.

С

Ибо в случае этого эмпирического созерцания мы принимали во внимание только действие построения этого понятия, которому совершенно безразличны многие определения, например определения величины сторон и углов.

А также

таким образом, мы абстрагировались от этих различий, которые не меняют понятия треугольника.

Эта картина возникает у меня в уме, когда я думаю о треугольнике, как если бы я нарисовал перед собой треугольник, стороны и углы которого обозначены не определенными числами, а буквами, чтобы выразить — знаком — что я безразличен. их действительной величине, но что они необходимы.

Я не могу вспомнить, кто изначально утверждал это, или найти статью через поиск Google, но @Conifold намекнул на это выше: математика неразрывно связана с физическим миром, в котором мы живем, и поэтому не обязательно априори истинна.

Представьте себе мир, в котором вся материя ведет себя как какая-то жидкость, вплоть до молекулярного уровня. Предположим, что физические законы этой вселенной кардинально отличаются. Стали бы обитатели этого мира придерживаться тех же истин, что и мы о математике, без жестких форм или строго определенных объектов? Будут ли они иметь априорные знания о многоугольниках? Будут ли треугольники когда-нибудь даже приходить им в голову? Даже кажется сомнительным, что без изящной особенности, когда материя слипается воедино в нашей Вселенной, у нас было бы такое же понимание того, как работают числа.

Пища для размышлений, наверное.

Что касается вашего мысленного эксперимента, я не нахожу его особенно мотивирующим. Попросив меня «допустить, что математику нельзя полностью понять без внешнего ввода», вы делаете вывод из своего аргумента, что математическое знание не обязательно является априорным .

Как только вы взялись за карандаш и бумагу и сами доказали теорему, ничто другое не может «углубить» ваше понимание: вы уже знаете ее насквозь. Возможно, ваше понимание можно «расширить» с помощью интерпретации или визуализации, но даже в этом случае эти графики являются просто визуальным представлением логики, содержащейся в математике, а не тем, как эксперименты связаны с наукой.

По-прежнему будут существовать отдельные и исчисляемые группы жидкости. Проблема решена. Математика достигнута априори .

Существуют явные разногласия в основаниях математики, является ли она априорной или нет. Большинство платоников и все кантианцы считают, что математические утверждения обязательно имеют место. Хотя требуется дополнительная синтетическая активность, чтобы показать, что 5 и 7 прибавлено к 12, всегда было так, что 5 + 7 = 12. Кант «утверждает, что все математические суждения являются синтетическими и априорными. Там он утверждает, во-первых, что «собственно математические суждения всегда являются априорными суждениями» на том основании, что они необходимы и поэтому не могут быть выведены из опыта» http://plato.stanford.edu/entries/kant-mathematics/

Что касается платоников, то в SEP сказано, что у большинства платоников одинаковая модальная потребность в математике. Вероятно, то, насколько прямо платоник думает, что мы можем получить доступ к абстрактным математическим объектам, говорит о том, занимается ли платоник априори математикой или нет.

Сравните это с вымыслом: «Ябло (2001) подчеркивает в случае математического вымысла, что при обычном использовании математических предложений мы, кажется, утверждаем что-то априорное и необходимое, но не кажется априорным и необходимым, что согласно вымыслу стандартная математика, все обстоит так-то и так-то. Вообще, мета-беллетристика заставляет обратить внимание на «согласно вымыслу…» https://plato.stanford.edu/entries/fictionalism/

Я не думаю, что формализм или номинализм играют здесь большую роль. Я также не знаю, что говорят конструктивизм и интуитивизм. Но ясно, что существуют разногласия по поводу априорных утверждений Канта. Ошибся он или нет в этом вопросе, невозможно сказать, так как пыль еще не осела. Но его оправдание, безусловно, кажется сомнительным и бесхитростным в современном контексте.

Был ли Кант неправ, утверждая, что вся математика «априорна»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 2v