Почему категории Канта использовались в математической теории категорий?

В статье Эйленберга и Маклейна «Общая теория естественных эквивалентностей» (1945) , где впервые вводится терминология, не упоминаются ни Аристотель, ни Кант, ни даже Карнап, который был еще жив. Была указана мотивация:

« В метаматематическом смысле наша теория дает общие понятия, применимые ко всем разделам математики, и, таким образом, способствует современной тенденции к единообразному подходу к различным математическим дисциплинам. В частности, она предоставляет возможности для сравнения конструкций и изоморфизма, встречающихся в разных разделах математики; таким образом, она может время от времени предлагать новые результаты по аналогии » .

Это примерно соответствует аристотелевскому взгляду на категории как наиболее общие формы бытия или кантианскому взгляду на них как на наиболее общие формы мышления. Опять же, это также соответствует их разговорному значению, которое происходит от юридической латыни. Но Мак-Лейн — философ-математик, как и Гильберт, см . «Последний математик» Макларти из «Геттингена» Гильберта: Сондерс Мак-Лейн как философ математики , так что философское вдохновение не является неожиданным. Почти 30 лет спустя Мак Лейн вспоминал в примечаниях к главе I « Категорий для работающих математиков»:

« Прямая трактовка категорий как таковых появилась у Эйленберга-Маклейна [1945]. Открытие столь общих идей, как эти, — это главным образом готовность сделать дерзкую или спекулятивную абстракцию, в данном случае подкрепляемая удовольствием от кражи. слова философов: «Категория» у Аристотеля и Канта, «Функтор» у Карнапа (Logische Syntax der Sprache) и «естественная трансформация» из тогдашнего неформального языка. Первоначально категории использовались в основном как язык, особенно и эффективно в аксиомы Эйленберга-Стинрода для теорий гомологий и когомологий » .

Однако идея о том, что объекты являются просто реляционными заполнителями в структуре, определенно была чужда как Аристотелю, так и Канту. Но это было распространено во французском структурализме того времени, восходящему к Соссюру, и понятие структуры было воспринято Бурбаки, хотя все еще привязано к теоретико-множественной основе. Кутателадзе в Saunders Mac Lane, Рыцарь Математики утверждает, что он и Эйленберг в то время увлекались Кантом, но я не мог подтвердить это из первых рук. Тем не менее, он рассказывает интересную предысторию, которая звучит правдоподобно:

По мнению Маклейна, концепции теории категорий были близки методологическим принципам проекта Николая Бурбаки . Маклейн симпатизировал проекту и был очень близок к тому, чтобы присоединиться к нему, но этого так и не произошло (основные препятствия заключались в лингвистическом Однако даже более поздняя принадлежность Эйленберга к группе Бурбаки не могла преодолеть тени легкого отторжения и отторжения. Оказалось невозможным «причислить Бурбаки к категории» теории нефранцузского происхождения, как когда-то сформулировал Мак-Лейн дело проницательно и изящно. Стоит отметить в этом отношении, что термин «теория категорий» имел корни во взаимном интересе ее авторов к философии и, в частности, к трудам Иммануила Канта ».

Связь с Карнапом также не выходит за рамки общего сходства. Вот из статьи Белнапа «Под лампой Карнапа: плоская предсемантика использования Карнапа»:

« На абстрактном уровне, имеющем отношение к нашим интересам, мы думаем о грамматике как о включающей в себя следующее. Категорематические выражения, такие как предложения или термины, с идеей, что семантика будет придавать некоторое «значение» каждому категориорематическому выражение. Синкатегориорематические выражения, такие как "∼" или "&" или "(", которые играют роль в некоторой грамматической операции. Грамматические операции или способы комбинации или функторы , каждая из которых является (грамматической) функцией, принимающей категориальные выражения в качестве входных данных и производящих категориальное выражение в качестве выходных. Пример: операция, которая при наличии двух входных предложений A1 и A2 производит соответствующее «соединение» этих двух предложений, возможно, имеющее вид «(A1 и A2)». "

Корфилд, цитируя Белнапа в блоге n-Category Cafe , высказывается амбивалентно: « Думаю, это дает нам представление о том, почему Mac Lane выбрал его, хотя я не вижу, чтобы понятие функтора, принимающего стрелки в качестве аргументов, присутствовало » . Можно видеть, что Маклейн мог заимствовать не только функторы, но и категории непосредственно у Карнапа. Конечно, сам Карнап, как и другие позитивисты, был многим обязан Канту, см., например , «Пути расходятся» Фридмана .

Чтобы было ясно, прежде чем я даже начну, я не отвечаю на вопрос.

В книге «Инструмент и объект, история и философия теории категорий», авторы: Кремер, Ральф,

http://www.springer.com/us/book/9783764375232

есть цитата, похожая на вашу,

Открытие таких общих идей — это главным образом готовность сделать дерзкую или спекулятивную абстракцию, в данном случае подкрепленную удовольствием позаимствовать слова у философов: «Категория» у Аристотеля и Канта, «Функтор» у Карнапа (логический синтаксис). der Sprache) и «естественная трансформация» в тогдашнем неформальном языке [Mac Lane 1971b, 29f].

Ссылка «Mac Lane 1971b» относится к обычной книге «1971b. Категории для работающего математика. Том 5 текстов для выпускников по математике. Спрингер.''

На странице 69 напечатана цитата.

Я предполагаю, что категории не упоминают отдельные элементы набора явно

Это правильно. Однако стоит отметить, что Маклейн и Эйленберг ввели основные понятия теории категорий, не связывая их (фундаментально) с теорией множеств. Я предполагаю, что эти понятия просто сделали язык алгебраической топологии более ясным. Тогда с их стороны не было никаких подозрений в ее последующем взрывном росте.

На самом деле именно Лоувер продумал ее связь с теорией множеств. Он попытался объяснить свои идеи Маклейну, и тот выслушал его. Но в конце обсуждения он сказал Ловеру, что не понимает, как теория множеств может быть построена без элементов. Потребовалось некоторое время, чтобы эти идеи стали ясными.