Бюстгальтеры и комплекты сплошного спектра

Question

Бюстгальтеры и комплекты сплошного спектра

Алекс

Кто-нибудь знает, почему в квантовой механике всегда верно второе утверждение?

«Когда спектр оператора $A$ имеет непрерывную часть, вяжем бюстгалтер $\langle a|$ и кет $|a \rangle$ к каждому элементу $a$ непрерывного спектра $A$ . Очевидно, бюстгальтеры $\langle a|$ и кеты $|a \rangle$ не находятся в гильбертовом пространстве ».

пользователь126422

Гильбертовы пространства в КМ принадлежат

l_{2}

$l_2$ , пространство функций, интегрируемых с квадратом. Он имеет исчисляемое бесконечное число измерений. Если спектр непрерывен, то размерность пространства также непрерывна, поэтому эти векторы или бра и кеты больше не находятся в гильбертовом пространстве. Однако вы можете обобщить гильбертово пространство, чтобы включить их, см. en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space .

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/90101/2451 , physics.stackexchange.com/q/68639/2451 и ссылки в них.

Конифолд

Потому что, если бы кеты или бюстгальтеры находились в гильбертовом пространстве, соответствующие точки по определению находились бы в дискретном или остаточном спектре, а не в непрерывном. Не существует такого понятия, как «непрерывное измерение», но исходное гильбертово пространство можно расширить, включив в него элементы, которые можно интерпретировать как «собственные векторы» для непрерывного спектра. Это расширенное («оснащенное») пространство столь же счетномерно, как и исходное. Пример расширяется

L^{2}

$L^2$ к

H^{- 1}

$H^{-1}$ включать

δ

$\delta$ функции, являющиеся «кетами» позиционного оператора.

Ответы (1)

Бюстгальтеры и комплекты сплошного спектра

Гильбертовы пространства в КМ принадлежат $l_2$ , пространство функций, интегрируемых с квадратом. Он имеет исчисляемое бесконечное число измерений. Если спектр непрерывен, то размерность пространства также непрерывна, поэтому эти векторы или бра и кеты больше не находятся в гильбертовом пространстве. Однако вы можете обобщить гильбертово пространство, чтобы включить их, см. en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space .
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/90101/2451 , physics.stackexchange.com/q/68639/2451 и ссылки в них.
Потому что, если бы кеты или бюстгальтеры находились в гильбертовом пространстве, соответствующие точки по определению находились бы в дискретном или остаточном спектре, а не в непрерывном. Не существует такого понятия, как «непрерывное измерение», но исходное гильбертово пространство можно расширить, включив в него элементы, которые можно интерпретировать как «собственные векторы» для непрерывного спектра. Это расширенное («оснащенное») пространство столь же счетномерно, как и исходное. Пример расширяется $L^2$ к $H^{-1}$ включать $\delta$ функции, являющиеся «кетами» позиционного оператора.

Вальтер Моретти · Answer 1

Поскольку по определению собственные значения оператора $A$ являются частью точечного спектра $\sigma_p(A)$ . Для самосопряженных операторов непрерывным спектром является дополнение $\sigma_c(A)=\sigma(A) \setminus \sigma_p(A)$ .

Поэтому, если в каком-либо смысле $Af=af$ для некоторых $a \in \sigma_c(A)$ , $f$ не может быть собственным вектором . По этой причине оно не может принадлежать гильбертовому пространству.

По сути, личность $Af=af$ где $a \in \sigma_c(A)$ выполняется в другом смысле, чем стандартный, в смысле распределения, если гильбертово пространство $L^2(\mathbb R, d^nx)$ .

Стоит заметить, что точечный спектр , несмотря на свое название, может быть непрерывным множеством, все $\mathbb R$ например. Однако в этом случае гильбертово пространство не было бы сепарабельным. Знаменитая теорема Стоуна и фон Неймана доказывает, что гильбертово пространство частицы (неприводимое представление группы Вейля) обязательно должно быть сепарабельным. По этой причине гильбертовы пространства нерелятивистских элементарных систем в КМ сепарабельны, а точечные спектры не более чем счетны.

За ваше последнее предложение: «По этой причине гильбертовы пространства нерелятивистских элементарных систем в КМ сепарабельны, а точечные спектры не более чем счетны». Является ли это точечным спектром самосопряженных операторов? Также является $\sigma(A)$ на вершине ( $\sigma_{c} = \sigma \setminus \sigma_{p}$ ) определяется как $\sigma := \{ \lambda|~ A - \lambda I ~\text{ not invertible} \}$ ?
Что касается вашего первого вопроса, мое утверждение верно для любого нормального оператора, такого как самосопряженный антисамосопряженный, унитарный... Что касается второго, поскольку самосопряженные операторы замкнуты, $a\not \in \sigma(A)$ если и только если $A-aI$ имеет образ, заданный всем гильбертовым пространством, он обратим и обратный оператор ограничен.
Хорошо спасибо. Если у вас есть возможность, посмотрите мой пост о спектральной теории MSE .
@ValterMoretti Хороший ответ. Я хотел бы подтвердить свое понимание вашего ответа на этот вопрос, пожалуйста. Насколько я понимаю, состояние любой системы изображается вектором $| \psi \rangle$ в гильбертовом пространстве. Тип гильбертова пространства зависит от рассматриваемой наблюдаемой. Таким образом, для наблюдаемых положения и импульса мы можем рассмотреть операторы, действующие в гильбертовом пространстве $L^2(\mathbb{R})$ , а для отжима $\frac{1}{2}$ , рассмотрим гильбертово пространство, натянутое на векторы
$[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{equation}$ и $[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ но ясно, что для конечномерного гильбертова пространства сепарабельность не имеет места, поэтому результат все еще верен. В более общем смысле, согласно Стоуну и фон Нейману, на которые вы ссылались, верно, что для любого оператора, соответствующего наблюдаемой, рассматриваемое гильбертово пространство сепарабельно, следовательно, точечный спектр не более чем счетен для любой наблюдаемой. Верно ли мое понимание? Спасибо за ваше время.
Да, это так: для орбитальных пространств гильбертово пространство сепарабельно по существу в силу теоремы SvN. Для конечномерных пространств (спин) отделимость автоматическая; для составных систем сепарабельность гарантируется, поскольку тензорное произведение сепарабельных пространств также сепарабельно.

Бюстгальтеры и комплекты сплошного спектра

Алекс

пользователь126422

Qмеханик

Конифолд

Ответы (1)

Вальтер Моретти

Алекс

Вальтер Моретти

Алекс

пользователь100411

пользователь100411

Вальтер Моретти

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Симметричные (по существу) самосопряженные операторы и спектральная теорема

Каково значение термина «нормализация»?

Выразите состояние как собственные кеты

Принадлежит ли какой-либо базис множеству собственных функций некоторой наблюдаемой?

Интерпретация ⟨ϕ|A|ψ⟩⟨ϕ|A|ψ⟩\langle \phi | А | \psi \rangle [дубликат]

Интуитивный смысл формализма гильбертова пространства

Наблюдаемый оператор на суперпозиции?

Почему квантовая механика не довольствуется симметричными операторами, а хочет самосопряженных операторов?

Не все самосопряженные операторы являются наблюдаемыми?