Выразите состояние как собственные кеты

Ваше второе уравнение не совсем верно. Если у вас есть непрерывный полный набор состояний$\{|p⟩\}$, то правильное разложение данного произвольного состояния$|P⟩$в этом базисе имеет вид

$$|P⟩ = \int\mathrm dp \: f(p)|p⟩, \tag 1$$ с одной произвольной функцией $f(p)$над переменной индексации $p$как (непрерывный) коэффициент. Здесь $dp$обозначает интегрирование по $p$по-прежнему.

Вопрос о том, что на самом деле означает этот интеграл и как он определяется, не является особенно простой темой с математической точки зрения. По сути, вы берете функцию, которая принимает$p\mapsto f(p)|p⟩$, так что он переводит действительные числа в векторы состояния,$\mathbb R\to\mathcal H$, а интегрирование векторных функций не особенно просто, когда векторное пространство представляет собой какое-то огромное пространство, такое как$L_2(\mathbb R)$. Если вы хотите сделать это правильно, вам понадобится довольно объемный функциональный анализ и теория измерения, чтобы сделать это правильно.

Самое интересное, что ответ в основном сводится к «просто делайте это покомпонентно». Более конкретно, скажем, вы хотите дать хорошее определение для$(1)$. Затем вы сначала выбираете некоторую основу для пространства, скажем, позиционное представление$\{|x⟩\}$, а затем вы проецируете обе стороны, чтобы получить компонент вместе$|x⟩$:

$$⟨x|P⟩ = \int\mathrm dp \: f(p)⟨x|p⟩. \tag 2$$ На самом деле этот интеграл гораздо легче определить, потому что у вас просто есть комплексная функция действительной переменной, $p\mapsto f(p)⟨x|p⟩$, где $⟨x|p⟩$— некоторая известная функция, поэтому интеграл в $(2)$складывается в интегралы, которые мы уже умеем определять. (На практике вы хотите использовать интеграл Лебега , а не суммы Римана, но это на тот случай, когда вас волнуют соображения теории меры.) Если вы все сделали правильно и все ваши функции достаточно хороши, это будет работать, и дать вам тот же вектор $|P⟩$независимо от того, какое представление вы используете для его вычисления.

Хорошо, я думаю, что упустил действительно важную вещь. в дискретном экспрессе. Я использую Primed для дискретных и Uprimed для непрерывных

$$|P'\rangle = \sum^n |p'_n\rangle$$ $|p'\rangle$отличается от непрерывного. в случае положения дискретный собственный набор является вероятностью, а для непрерывного - его плотностью вероятности. для непрерывного $|p\rangle dp$аналогия с $|p'\rangle$в дискретном. Итак, если написать выражение непрерывного через сумму $$|P⟩ = \int\mathrm dp \:|p⟩ = \sum^\infty |p\rangle dp \rightarrow \lim_{n\to \infty} \sum^n |p'_n\rangle$$ это так же, как создать дискретную дельта-функцию из непрерывной $$\delta_{mn} = \delta(m-n)da$$ с $\delta(m-n) = \frac{\delta_{mn}}{da}$, который является «большим» и аналогичен плотности вероятности кет. $\delta_{mn}$аналогия вероятности кет. Мне очень жаль, что я поднял этот вопрос, я автоматически предполагаю, что оба собственных кода имеют одинаковый физический смысл, а это не так. (люди, как правило, не меняют букву, когда выражают непрерывную букву.) Так что на самом деле все дело в идее принятия предела для построения интеграции и злоупотребления символами. Спасибо всем за помощь и еще раз извините за такой тривиальный вопрос.