Частица в одномерном ящике и принцип соответствия

Question

Частица в одномерном ящике и принцип соответствия

Раджеш Д.

Рассмотрим частицу в одномерном ящике, мы очень хорошо знаем ее решения. Я хотел бы посмотреть, как в этом случае будет работать принцип соответствия , если мы рассмотрим функцию плотности вероятности положения (PDF) частицы.

В классическом случае, при отсутствии какого-либо потенциала, достаточно принять позицию pdf $P_{classic}$ частицы быть постоянным внутри ящика и равным нулю вне его.

В квантовом случае мы знаем, что это

п_{д ты а н т ты м} (Икс) знак равно \frac{2}{л} {грех}^{2} (\frac{н π Икс}{л})

$P_{quantum}(x) = \frac{2}{L} \sin^2(\frac{n\pi x}{L})$ внутри коробки и ноль снаружи.

Картинка стоит тысячи слов, поэтому здесь я беру картинку с университетского веб-сайта (на самом деле google), за что я благодарен авторам.

частица в одномерном ящике

Из рисунка видно, что при достаточно большом квантовом числе $n$ , мы видим, что $P_{Quantum}$ все еще покачивается и независимо от того, насколько большой $n$ мы считаем, он продолжает трястись и действительно не удосуживается сходиться к $P_{classic}$ , но утешение в том, что они совпадают в среднем смысле.

В идеале, для такой фундаментальной проблемы, как эта, я бы ожидал, что функция $P_{quantum}(x)$ сходиться к $P_{classic}(x)$ , точечно . Я прошу слишком много? Существует бесконечное количество видов $P_{quantum}$ соответствие $P_{classic}$ в среднем смысле, так что это означало бы, что может быть бесконечное количество квантово-механических теорий, которые подчиняются принципу соответствия в среднем соответствии, что, я думаю, не является самым привлекательным свойством теории.

Мой вопрос: что мы можем сделать, чтобы PDF сходился поточечно к классическому PDF?

Афтникс

Замечательный вопрос. Я думаю о том, что, вероятно, единственное ограничение, которое мы накладываем на квантовую теорию, заключается в том, что она должна согласовываться с наблюдаемым спектром различных физических величин, плюс она должна воспроизводить классический результат при стремлении постоянной Планка к нулю. Но должно ли оно совпадать по пунктам, я не знаю. Ждем хорошего объяснения.

Ответы (2)

Частица в одномерном ящике и принцип соответствия

Замечательный вопрос. Я думаю о том, что, вероятно, единственное ограничение, которое мы накладываем на квантовую теорию, заключается в том, что она должна согласовываться с наблюдаемым спектром различных физических величин, плюс она должна воспроизводить классический результат при стремлении постоянной Планка к нулю. Но должно ли оно совпадать по пунктам, я не знаю. Ждем хорошего объяснения.

dmckee --- котенок экс-модератор · Answer 1

Стоит отметить, что, хотя квантовая плотность распределения по-прежнему демонстрирует быстрые колебания, они становятся очень высокочастотными, и когда вы измеряете распределение с помощью физического инструмента, вы вводите разрешение.

В какой-то момент это разрешение становится намного больше, чем длина волны колебаний, и вы фактически обнаруживаете классическое распределение.

Так что вы полагаетесь на отсутствие измерительных приборов! Что, если бы они сошлись поточечно, означало бы это, что аргумент отсутствия измерительного устройства исчезнет из сцены QM?

Тримок · Answer 2

Тримок

Мой вопрос в том, что мы можем сделать, чтобы PDF сходился поточечно к классическому PDF

Ответ: Ничего, если вы принимаете квантовые принципы.

Ниже вы можете увидеть другой пример с гармоническим осциллятором, с $N= 50$ , и вы видите то же самое поведение, о котором беспокоитесь (классическое поведение синего цвета, квантовое поведение красного цвета):

Фундаментальная причина заключается в том, что квантовая механика занимается амплитудами корреляций и амплитудами вероятностей, поэтому классические статистические концепции, такие как вероятности корреляций или вероятности, являются «детским» взглядом на физический мир. Таким образом, вы не можете избежать "покачивания". Самый простой подход заключается в том, что амплитуды вероятностей или амплитуды корреляции для связанных состояний «естественно» колеблются, что в вероятностях изображается как колебания между нулем и «максимальным» значением, в то время как для больших квантовых чисел «среднее» выглядит как классическая вероятность.

введите описание изображения здесь

Раджеш Д.

Счастливого Рождества! И спасибо за ответ!... Что мне кажется интересным в вашем ответе, так это фраза "вероятности - это "детский" взгляд на физический мир. Итак, вам не избежать "покачивания"... Что ж, мой большой вопрос немного гипотетичен, предположим, предположим, если КМ в такт со всеми его объяснениями физического мира (спектры атома водорода, гармонический осциллятор, бла.. бла.. бла.) ... НО его PDF поточечно сходится с PDF классической теории в пределе n уходит в бесконечность, как я и ожидал в этом вопросе ... Физически и философски, что бы это значило?

Терри Боллинджер

Раджеш Д.: Это ничего не значит ни с физической, ни с философской точки зрения, потому что вы предлагаете модель, которую нельзя согласовать с наблюдаемой реальностью. Квантовая механика сходится с классической только потому, что длины волн становятся достаточно тонкими, чтобы ими можно было пренебречь по классическим стандартам. Другим примером является вращение: вы начинаете только с движений вверх и вниз, а затем начинаете добавлять все более тонкие углы по мере увеличения количества вращений. Единственная величайшая идея QM заключается в том, что в основе лежат все волны, а волны настаивают на таких вещах, как наличие нулевых точек, которые не могут быть гладко классическими.

Раджеш Д.

@TerryBollinger: Предположим, допустим, если QM (или его новая версия) в такт со всем его объяснением физического мира, но все же его pdf сходится к классической поточечно ....

Раджеш Д.

@Trimok: Вы вычислили синюю кривую, какое формальное выражение вы использовали, в классических терминах, я имею в виду

x, V, t

$x, V,t$ так далее.,

V

$V$ быть потенциальным.

Тримок

@RajeshD: Фактически, вы должны написать частное решение уравнения движения, поэтому в случае гармонического осциллятора:

x = A \cos ω t

$x = A \cos \omega t$ . Здесь потенциал

V (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}

$V(x)=\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ . Полная энергия

E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}

$E=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ . Вероятность обратно пропорциональна скорости, то есть

p (x) \sim \frac{1}{| \dot{x} (x) |}

$p(x) \sim \dfrac{1}{|\dot x(x)|}$ . Итак, вы должны выразить

\dot{x}

$\dot x$ как функция

x

$x$ , Здесь у вас есть

| \dot{x} | = A ω | \sin ω t | = A ω \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{A^{2}}}

$|\dot x| = A\omega |\sin \omega t|=A\omega \sqrt{1-\dfrac{x^2}{A^2}}$ , так наконец

p (x) \sim \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{A^{2}}}}

$p(x) \sim \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{A^2}}}$ ,...

Тримок

@RajeshD: ... коэффициент пропорциональности определяется

\int_{- A}^{+ A} p (x) d x = 1

$\int_{-A}^{+A} p(x) dx = 1$

Раджеш Д.

@Trimok: Большое спасибо. Вероятность обратно пропорциональна обратной скорости в этой точке. Спасибо за это и +1.

Частица в одномерном ящике и принцип соответствия

Раджеш Д.

Афтникс

Ответы (2)

dmckee --- котенок экс-модератор

Раджеш Д.

Тримок

Раджеш Д.

Терри Боллинджер

Раджеш Д.

Раджеш Д.

Тримок

Тримок

Раджеш Д.

Распределение вероятности положения частицы в бесконечной квадратной яме: классическое против квантового

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Квантовые состояния после измерений в реальном мире

Классический/квантовый бросок монеты

Что такое ток вероятности в квантовой механике?

Нахождение полного потока вероятностного тока через сферу

Как гравитация влияет на волновую функцию частицы?

В каком смысле (если вообще есть) действие является физической наблюдаемой?

Амплитуда амплитуды вероятности. Который из них?