Распределение вероятности положения частицы в бесконечной квадратной яме: классическое против квантового

Волновая функция одиночной частицы в потенциальной яме шириной л определяется соотношением

Ψ н ( Икс ) "=" 2 л грех ⁡ ( К н Икс )
где К н является ( н + 1 ) π / л и н является положительным целым числом.

Квантово-механическое описание распределения вероятностей

Волновая функция основного состояния имеет н "=" 0 , так К н "=" π / л и так Ре ( Ψ 0 ( Икс ) ) выглядит какОсновное состояние WF

Распределение вероятностей для этой волновой функции | Ψ 0 | 2 , который является грех 2 функция и в той же области графРаспределение вероятностей

Классическое механическое описание распределения вероятностей

Рассмотрим ту же задачу классически: частица находится в ящике с некоторой энергией Е . В классическом варианте у него есть некоторый импульс, и он движется вокруг коробки, отскакивая от стенок вперед и назад. Эта частица проводит одинаковое количество времени во всех точках ящика, так как движется с постоянной скоростью. Таким образом, интуитивно распределение вероятностей должно быть постоянным, т. е. я с такой же вероятностью найду его у стены, как и в центре коробки. Точно так же распределение вероятностей выглядит следующим образом:Классическое распределение вероятностей

Почему два распределения вероятностей так различны? В квантовом случае частица с большей вероятностью окажется вблизи центра и с меньшей вероятностью окажется вблизи стенок. Классически вероятность должна быть одинаковой, поэтому квантовый случай неинтуитивен. Я знаю, что квантово-механическое описание верно при низких энергиях, но есть ли интуитивное объяснение того, почему квантовое распределение вероятностей так разительно отличается от классического?

Я не понимаю, какой ответ, кроме «Они разные, потому что квантовая механика действительно отличается от классической механики», вы могли бы искать. Кроме того, вы тут сравниваете яблоки с апельсинами: квантово-механический случай имеет полную информацию о состоянии частицы, тогда как классическая вероятность возникает только потому, что вам не хватает информации о частице (а именно ее положении), которую вы в принципе могли бы иметь. Эти две ситуации действительно очень разные, и я не понимаю, почему вы ожидаете, что распределения вероятностей будут одинаковыми.
Да, я ожидал такого ответа. Более острый и ясный вопрос, который у меня возник, заключался в том, что независимо от классического распределения вероятностей у частицы гораздо больше шансов быть обнаруженной в середине ямы, а не на ее краях? Является ли это чем-то особенным для бесконечной потенциальной ямы?
@Sumant То же самое происходит с гармоническим осциллятором (хотя и по другим причинам). Обратите внимание, что принцип соответствия указывает на то, что квантовое и классическое распределения должны в конечном итоге совпадать в пределе больших квантовых чисел. Если вы думаете об основном состоянии как о наименее классическом состоянии, вы можете себе представить, что это состояние, для которого распределения будут самыми разными.
@ACuriousMind есть много случаев, когда квантовый и классический не так уж отличаются, поэтому обсуждение того, почему бесконечный колодец настолько неклассичен, может быть уместным.
@DanielSank с уважением Интересно, нужно ли так широко редактировать вопрос Суманта? Кажется, что некоторые правки не являются крайне необходимыми, а в некоторых случаях действительно не проясняют вопрос. Также есть побочный эффект, заключающийся в том, что цитата вопроса в моем ответе больше не присутствует в вопросе. Я понимаю, что это не важно, но кажется позорным, если само редактирование не так уж необходимо. Конечно, есть места, где редактирование сделало его явно лучше.
@user183966 user183966 Когда я впервые посмотрел на вопрос, мне было трудно его читать. Я также обнаружил, что он задает более одного вопроса, что я считаю серьезной проблемой. Мое редактирование было сделано добросовестно, чтобы сделать вопрос более ясным и лучше подходящим для сайта. Вполне может быть, что я вышел за рамки того, что было необходимо, но я думаю, что вопрос теперь лучше. Вы, конечно, можете добавить свои собственные изменения, если считаете нужным.
Целью этого сайта является создание высококачественного контента. Я вношу изменения для достижения этой цели. Я предполагаю, что вы не согласны с моим редактированием отчасти для того, чтобы каким-то образом защитить Суманта. Это хорошо, потому что пользователи могут расстроиться, если их контент не будет хорошо принят. Тем не менее, я думаю, что лучше всего, чтобы пользователь видел правки и пытался понять, как они улучшают контент, не беспокоясь о какой-либо личной привязанности к сообщению.
@DanielSank Хорошо, я думаю, что мы видим полезность правок немного по-другому, но это очень незначительная проблема.

Ответы (1)

Как отмечается в комментариях, в каком-то смысле ответ просто «поскольку квантовая механика и классическая механика — разные теории, некоторые предсказания будут разными».

Однако я думаю, что можно пойти дальше, особенно в отношении вашего вопроса: «Почему два распределения вероятностей такие разные?» и «Является ли классическая интуиция очень плохой при более низких энергиях или это что-то более глубокое?».

Существуют квантовые состояния, очень похожие на классические состояния, которые состоят из комбинации многих энергетических уровней. В системе «гармонического осциллятора», которая очень похожа на «квадратную яму», которую вы использовали, они хорошо изучены и называются «когерентными состояниями». Они имеют много общих свойств с классической механикой. Волновая функция выглядит как «капля», которая прыгает туда-сюда, как классическая частица. Если вы сконструируете подходящую «каплю» (которая будет создана путем добавления небольшого количества бесконечного числа всех собственных состояний энергии), она будет прыгать по квадратному колодцу, очень похоже на классическую частицу. Если вы проинтегрируете/усредните вероятность за подходящий период времени, она будет намного больше похожа на классическое равномерное распределение.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, два распределения вероятностей очень разные, потому что вы выбрали одно энергетическое состояние. Состояния с одиночной энергией сильно отличаются от классических состояний частиц.

Это рассуждение также показывает, почему квантовая механика лучше классической механики, особенно при низких уровнях энергии. На низких энергетических уровнях, около нескольких нижних энергетических состояний, частица не может находиться в комбинации многих состояний, потому что мы только что сказали, что она находится только в нескольких самых нижних состояниях. Таким образом, мы знаем, что оно не находится ни в одном из состояний, обладающих более классическими свойствами, которые создаются путем объединения большого количества энергетических уровней, и, следовательно, только квантовая механика может работать хорошо.

Распределение вероятности положения частицы в бесконечной квадратной яме: классическое против квантового
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v