Чем подход Галилея к математике отличался от подхода Декарта?

У вас есть разница в последних пунктах ваших двух списков. Галилей был ученым-экспериментатором, в первую очередь инженером - математика была для него самым удобным инструментом для описания изучаемых им явлений природы. Судя по его работам, «почему» для него было менее важно, чем «как». Также обратите внимание, что математические методы Галилея не сильно отличались от тех, которые использовали его коллеги. С другой стороны, позиция Декарта лучше отражена в его восковом аргументе . Экспериментальные результаты для него вторичны — то, что улавливает природу явлений, есть разум. Его внимание было сосредоточено на философии, а не на естествознании, и успехи в применении его работ в естествознании только подтверждали эту направленность:

Таким образом, вся философия подобна дереву, корнем которого является метафизика, стволом — физика, а все остальные науки — ветвями, вырастающими из этого ствола, которые сводятся к трем основным, а именно к медицине, механике и этике. Под наукой о нравах я понимаю высшую и совершеннейшую, которая, предполагая полное знание других наук, есть последняя степень мудрости.

^{Источник}

Вот вам и классический пример экспериментатора против теоретика, естествоиспытателя против философа.

Различия лучше всего описаны в статье Википедии о французском Декарте :

Декарт заложил основу континентального рационализма 17-го века, позже отстаиваемого Барухом Спинозой и Готфридом Лейбницем и противостоящего эмпирической школе мысли, состоящей из Гоббса, Локка, Беркли и Юма. Лейбниц, Спиноза[16] и Декарт были хорошо осведомлены как в математике, так и в философии, и Декарт и Лейбниц также внесли большой вклад в науку.

Статья могла бы включать Галилея с английскими философами.

Последователи Декарта были «рациональны», и их действия, как правило, диктовались цепочкой рассуждений. Они видели в математике «объединителя» науки, из которого можно вывести принципы науки; они подходили к науке «сверху вниз»; Сначала теория, потом приложения. Важным шагом в этом направлении стала «декартова» система координат.

Такие люди, как Галилей, были более «эмпирическими», то есть с большей вероятностью реагировали интуитивно на то, что им говорили их чувства и данные. , и свела с ума католическую церковь). Для таких людей, как Галилей, математика была инструментом для понимания научных открытий, а не «рамкой», по которой выводилась наука.