Численное аналитическое продолжение функции Грина

Существует множество вариантов этой задачи, но позвольте мне прежде всего подчеркнуть, что это чрезвычайно сложный и трудный вопрос, который до сих пор является предметом текущих исследований, потому что аналитическое продолжение является некорректно поставленной задачей !

1) «аналитическое» аналитическое продолжение может быть выполнено, когда функция$f(\mathrm i\omega)$рассматриваемой является рациональной функцией$\mathrm i\omega$. Так

$$f(\mathrm i\omega)=\frac{1}{\mathrm i\omega}$$ можно продолжить на комплексную плоскость $\mathrm i\omega \rightarrow z\in\mathbb C$пока $$f(\mathrm i\omega)=\frac{e^{\mathrm i\omega\beta}}{\mathrm i\omega}$$ не является рациональной функцией $\mathrm i\omega$и делать замену здесь - ошибка. Вместо этого нужно сначала оценить экспоненту и найти $e^{\mathrm i\omega\beta}=\pm 1$в зависимости от статистики.

2) Непосредственно из этого правила замены следует разложение функции в конечный ряд Лорана

$$f(z)=\sum^{m_2}_{n=m_1} a_n z^n,\;\; m_1,m_2\in\mathbb Z$$ где коэффициенты могут быть рассчитаны по числовым значениям, известным на $m_2-m_1$Энергии Мацубары.

3) Одним из старейших методов численного аналитического продолжения является приближение Паде. Рассматриваемая функция разлагается в непрерывную дробь

$$f(z)=b_0+\frac{a_1z}{1-\frac{a_2z}{1-\frac{a_3z}{1-...}}}.$$ Коэффициенты можно вычислить из таблицы Паде, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Pad%C3%A9_table .

Метод 1) является точным и отличным от почти тривиальных расчетов, не имеющих большого практического значения. 2) и 3) страдают от эффектов отсечения из-за ограниченного количества доступных точек Мацубары, в которых значение функции также может иметь числовую ошибку, как в случае данных расчетов квантового Монте-Карло. Но на самом деле аналитическое продолжение очень изменчиво в отношении эффектов отсечки и шумов . Здесь необходимо учитывать физические соображения .

Чтобы справиться с отсечкой, можно аппроксимировать хвост (большой$\mathrm i\omega$или соответственно$z$расширение) функции с аналитической формой, которую часто можно точно вычислить из проблемы многих тел или общих физических потребностей, например, одночастичная функция Грина фермионной системы всегда имеет вид$\frac{1}{z}+\frac{a_1}{z^2}+...$. Хвост можно использовать для вычисления произвольного числа коэффициентов разложения, но имейте в виду, что интересный низкоэнергетический спектр вашей системы сильно зависит от малых энергий Мацубары и в меньшей степени от хвоста, поэтому от вычисления большого количества коэффициентов из хвоста человек почти ничего не выигрывает. Обработка статистического шума еще более деликатна, чем отсечка, и именно поэтому многие люди вообще стараются избегать расчетов по оси Мацубары .

4) Известным методом для зашумленных данных является метод максимальной энтропии, о котором вы можете узнать больше здесь http://arxiv.org/pdf/1001.4351v1.pdf , где вы также найдете ссылки на альтернативные методы.