Что делает сверхпроводник топологическим?

Короче говоря, то, что делает сверхпроводник топологическим, — это нетривиальная зонная структура боголюбовских квазичастиц. Обычно можно классифицировать невзаимодействующие фермионные системы с щелью на основе одночастичной зонной структуры (а также симметрии), и в результате получается так называемая десятикратная периодическая таблица. Упомянутая в вопросе топологическая сверхпроводимость относится к классу D, а именно к сверхпроводникам без каких-либо симметрий, кроме симметрии частица-дырка. Простейший пример в 2D — это бесспиновый$p_x+ip_y$сверхпроводник:

$H=\sum_k c_k^\dagger(\frac{k^2}{2m}-\mu)c_k+ \Delta c_k^\dagger(k_x+ik_y)c_{-k}^\dagger+\text{h.c.}=\sum_k (c_k^\dagger, c_{-k})\left[(k^2/2m-\mu)\tau_z+\Delta k_x\tau_x+\Delta k_y\tau_y\right]\begin{pmatrix}c_k\\ c_{-k}^\dagger\end{pmatrix}$

Этот гамильтониан определяет отображение из$k$пространство (топологически сфера$S^2$) к$SU(2)$матрица$m_k\cdot \sigma$куда$m_k\propto (\Delta k_x, \Delta k_y, \frac{k^2}{2m}-\mu)$(затем нормализованный), который также живет на сфере. Поэтому такие карты классифицируются по$\pi_2(S^2)=\mathbb{Z}$. Если два гамильтониана принадлежат одному и тому же классу эквивалентности в гомотопической группе, это означает, что можно непрерывно деформировать гамильтониан от одного к другому, не закрывая разрыв, таким образом, топологически неразличимый.

Целое число, называемое числом Черна$C$, который классифицирует топологические сверхпроводники класса D, может быть вычислен из гамильтониана, и в этом случае это$C=1$. Эту идею можно обобщить на другие классы симметрии и размерности, в основном нужно понимать отображение из импульсного пространства в соответствующее одночастичное «гамильтоново» пространство (общий случай намного сложнее, чем$2\times 2$Гамильтониан).

Эта игрушечная модель (и ее одномерные потомки) стоит за всеми недавними предложениями о реализации топологических сверхпроводников в твердотельных системах. Основная идея состоит в том, чтобы объединить различные мирские элементы (полупроводники, сверхпроводник с s-волной, ферромагнетик и т. д.): поскольку электроны имеют спин-$1/2$, нужно иметь поле Зеемана, чтобы разрушить спиновое вырождение и получить невырожденную поверхность Ферми (таким образом, эффективно «бесспиновые» фермионы, действительно спин-поляризованные). Однако в s-волновых сверхпроводниках электроны с противоположными спинами спарены. Вот почему необходима спин-орбитальная связь, поскольку она заставляет спин электрона «закручиваться» вокруг поверхности Ферми, так что при$k$а также$-k$электроны могут спариваться. Собрав все это вместе, можно реализовать топологический сверхпроводник.

Возможны различные физические последствия. Общая особенность состоит в том, что на границе между сверхпроводниками, принадлежащими к разным топологическим классам, происходит что-то особенное. Например, если$p_x+ip_y$сверхпроводник имеет край к вакууму, на краю локализованы бесщелевые киральные майорановские фермионы. Также, если положить$hc/2e$вихрь в сверхпроводник, он захватывает майорановское связанное состояние с нулевой энергией.

В вопросе также упоминались купраты. Есть предположения о возможности$d+id$спаривание в купратах, вероятно, вызвано измерением керровских вращений, которые являются сигналом нарушения симметрии обращения времени. Однако это очень спорно и не очень хорошо принято. Заметь$d+id$сверхпроводник – это$C=2$случай семейства класса D.

Чтобы узнать больше об этом предмете, я рекомендую отличный обзор Джейсона Алисии: http://arxiv.org/abs/1202.1293 .

Типичным примером собственного топологического сверхпроводника является так называемый$p$-волновой сверхпроводник [подробнее там: Что такое$p_x + i p_y$сверхпроводник? Отношение к топологическим сверхпроводникам , также Мэн-Чэн написал бесспиновый$p$-волновая модель в 2D где-то еще на этой странице , и внимательно ее прокомментируйте]. Вы также можете индуцировать топологическую нетривиальную ситуацию в$d$-волновые сверхпроводники, так как существенным компонентом является изменение знака щели. Все конденсаты, основанные на куперовских парах, меняют знак в импульсном представлении щели, за исключением$s$-волновой случай. Основная проблема состоит в том, чтобы перевести это импульсное закрытие разрыва в пространственное.

К сожалению, нет известного примера$p$-волновые сверхпроводники в природе.$p$-волновые сверхтекучие существуют, и недавние эксперименты направлены на то, чтобы продемонстрировать там майорановскую физику.

Тем не менее Горьков и Рашба в Phys. Преподобный Летт. 87, 37004 (2001) показали, что обычный сверхпроводник ($s$-волна) со спин-орбитальным взаимодействием привела бы к смеси обоих$s$- а также$p$-волновые корреляции (*). Тщательный выбор бесспинового$p$- волновая структура с помощью эффекта Зеемана может привести к появлению физики Майораны, отсюда и предложения некоторых людей, см., например,

• RM Lutchyn, JD Sau, and S. Das Sarma, Phys. Преподобный Летт. 105, 077001 (2010) или arXiv:1002.4033

• Y. Oreg, G. Refael, and F. von Oppen, Phys. Преподобный Летт. 105, 177002 (2010) или arXiv:1003.1145

ассоциирование$s$-волновые сверхпроводники вблизи спин-орбитальных систем при сильном обменном взаимодействии. Такое предложение фактически находится в стадии экспериментального изучения в нескольких группах по всему миру.

• (*): Обратите внимание, что есть много статей Эдельштейна, изучающих подобные эффекты на протяжении 80-х и 90-х годов, но эти статьи не так ясны, как статья Горькова и Рашбы, на мой взгляд.

Для того, чтобы поддерживать щель — существенный компонент топологического бизнеса, как вы уже знаете из топологического изолятора, — кажется предпочтительным находиться поблизости, поскольку объемные системы еще не до конца поняты (роль примесей, точная симметрия щели, множественные фазовые переходы между различными симметриями зазоров ... все еще обсуждаются, и на них довольно сложно ответить экспериментально) и вполне могут быть менее надежными. Об индуцированной близостью устойчивой топологической системе в нанопроводах см., например,

• AC Potter и PA Lee, Phys. Rev. B 83, 184520 (2011) или arXiv:1103.2129 и ссылки в них,

но ясно, что тема близости и/или объема все еще актуальна. Кроме того, сейчас есть много различных предложений по реализации майорановской физики, например, пространственно организованные ферромагнитные макромолекулы поверх сверхпроводника, массивы квантовых точек, ... Я не буду вдаваться в подробности. Я понимаю все эти предложения так, что они пытаются воспроизвести тот же гамильтониан игрушечной модели, который обсуждался в цитируемых выше статьях (и любезно написал @MengCheng в своем ответе где-то еще на этой странице ). Педагогический обзор игрушечной модели майорановской проволоки см. в J. Alicea, Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen и MPA Fisher, Nat. физ. 7, 412 (2011) или arXiv:1006.4395

Не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы в этом или отдельном посте.

Я хотел бы указать на другой смысл топологии сверхпроводников, на который намекнул Мэн Ченг в своем комментарии, а также обсуждался в предоставленной им ссылке. Все вышеприведенные обсуждения в основном были сосредоточены на сверхпроводниках, где флуктуациями электромагнитного калибровочного поля можно пренебречь. В этом случае уместно использовать структуру BdG, а топологические сверхпроводники являются примерами топологических фаз.$\it{without}$топологический порядок, т. е. в системе нет дробных возбуждений (или анионов).

Однако уже некоторое время назад в

https://arxiv.org/abs/cond-mat/0404327

что если учесть динамику калибровочного поля, то даже$s$-волновой сверхпроводник топологически упорядочен и имеет анионные возбуждения, которые нетривиально переплетаются друг с другом. Действительно, они показали, что в 2+1d$s$-волновой сверхпроводник имеет$\mathbb{Z}_2$топологический порядок, такой же, как Торический код. Связанная статья распространила это на другие ($d$-волновые и т.д.) сверхпроводники, а также обсуждались симметрии: https://arxiv.org/abs/1606.03462

Я не уверен, насколько реалистичны эти предложения, поскольку они, кажется, требуют ограничить электромагнетизм двумя пространственными измерениями, но в принципе это было известно со времен Hansson et al. что сверхпроводники внутренне топологичны.

Проще говоря, наличие подзонных локализованных мод с нулевой энергией (мод Майорана) делает сверхпроводник топологическим. Сверхпроводящее основное состояние — это просто набор куперовских пар, а гамильтониан БдГ описывает возбуждения над основным состоянием. Если спектр возбуждения имеет эти локализованные моды, то это топологический сверхпроводник, в противном случае это нетопологический сверхпроводник. Эти состояния с нулевой энергией топологически защищены и не могут быть удалены путем применения возмущения, и единственный способ избавиться от этих состояний — это топологический фазовый переход, при котором щель должна закрыться. Закрытие промежутка приводит к континууму состояний, и тогда моды с нулевой энергией могут быть удалены.