Трансформация Джордана Вигнера в цепочке 1d Majorana

Есть два способа понять/вывести$\mathbb Z_8$различные СПД для фермионных цепочек с$P$и$T$симметрии (или для более общих фермионных случаев).

1. Сопоставьте их с бозонными цепями и раскройте всю мощь Состояний Матричных Продуктов.

«Состояния-произведения матриц» — очень мощная техника для бозонных/спиновых цепей. По сути, как доказал Гастингс (2007) , любая спиновая цепочка с промежутками допускает представление MPS, которое представляет собой определенный способ записи основного состояния в терминах тензорной сети. Эти тензоры обладают очень хорошими свойствами. В частности, этот тензор можно записать как произведение тензоров, по одному для каждого физического сайта (а для трансляционно-инвариантных состояний у вас будет один и тот же тензор на каждом сайте). Эти внутрисайтовые тензоры имеют три индекса: один физический и два виртуальных, причем последние два связывают внутрисайтовый тензор с тензором сайта слева и с тензором справа. Затем это реализовали Перес-Гарсия, Вольф, Санс, Верстраете и Сирак (2008) .что действие локальной симметрии (например, вращения спина и т. д.) на физический индекс эквивалентно действию другого оператора$U$по виртуальным индексам. В частности эти$U$можно доказать, что они образуют проективное представление исходной симметрии. Затем это было реализовано Fidkowski & Kitaev (2010) ; Turner, Pollmann & Berg (2010) и Chen, Gu & Wen (2010) (август был напряженным месяцем!), что прелесть в том, что эти проективные представления затем классифицируют все бозонные фазы! Например, если локальная симметрия является спин-$1$ $SO(3)$симметрии, то проективное представление на связи либо$SO(3)$(целочисленный спин) или$SU(2)$(полуцелый спин). Последний случай представляет собой нетривиальный SPT, называемый фазой Холдейна (который фактически был нулевым пациентом подхода MPS!). Отсюда действительно можно вывести, что если состояние имеет открытые границы, то ребра трансформируются при этом проективном представлении (ср.$\frac{1}{2}$края спин-$1$фаза Холдейна)

Таким образом, матричные состояния продукта позволяют провести полную и элегантную классификацию спин-цепочек. Это не относится напрямую к фермионным системам (есть грассмановское обобщение МПС, но я не знаю, есть ли для него столь же хорошие результаты). Таким образом, один из подходов состоит в том, чтобы отметить, что любая фермионная система с фермионной симметрией четности отображается в локальную спиновую цепочку при Джордане-Вигнере, поэтому классификация фермионных цепочек сводится к классификации спиновых цепочек. Концептуально это так приятно отметить: преобразование Жордана-Вигнера является нелокальным преобразованием и может изменить физику (например, как вы, вероятно, знаете, одиночная цепь Китаева, которая является состоянием, сохраняющим симметрию, отображается в цепочку Изинга с нарушенной симметрией). Тем не менее, Джордан-Вигнер сохраняет энергетический спектр и, следовательно, фазовые переходы, так что в принципе это правильный способ увидеть, сколько существует фаз (и нужно проявить некоторую осторожность, чтобы выяснить, какие из них являются нарушенными и сохраняющими симметрию). Это, например, подход, используемыйЧен, Гу и Вен в разделе V.

2. "Фермионные цепи имеют значение!"

Можно также заняться фермионными цепями самостоятельно. Выигрыш — это концептуальное понимание (поскольку , в отличие от Джордана-Вигнера, вы уважаете физику) и, возможно, слабая надежда на обнаружение обобщений на более высокие измерения (?), а потеря — неоспоримая мощь МФС. В частности, состояния матричного произведения могут быть эффективно получены с использованием численных методов (таких как DMRG), а это означает, что, если ввести гамильтониан, можно легко рассчитать, какое состояние с нарушенной симметрией или SPT представляет собой спиновая цепочка. Для фермионных цепочек — если не выбрать вариант (1) — нужно использовать более простые методы. Однако лично мне это очень нравится, так как показывает, что MPS — это не концептуальное объяснение SPT, а скорее (красивый и очень полезный) инструмент для вычисления того, в чем находится SPT.

И даже тогда есть два способа сделать это в фермионной среде: сосредоточившись на свойствах запутанности или на свойствах ребер. Но на самом деле они обычно эквивалентны как математически, так и интуитивно, так что обычно это дело вкуса и удобства. В цитируемой выше работе Тернера, Поллмана и Берга рассматривается$\mathbb Z_8$классификация в фермионной постановке с точки зрения языка запутанности. Насколько я вижу, Фидковский и Китаев делают что-то вроде гибрида, иногда обсуждая его в терминах соответствующего спинового языка, а иногда придерживаясь чисто фермионного случая. Поскольку я недавно также разбирался в этом, я написал для себя несколько заметок о том, как понять и рассчитать эти различные SPT, сосредоточившись на поведении краевого состояния (как в фермионном, так и в бозонном случае) без использования MPS. Конечно все есть в статьях выше, но если поможет прочтение небольшого обзора на уровне аспиранта, с удовольствием поделюсь! Так что дайте мне знать, если есть интерес (чтобы увидеть пример идеи, вы можете увидеть мой ответ здесь).

РЕДАКТИРОВАТЬ: в недавней статье я пытаюсь дать доступный обзор классификации, не обращаясь к MPS, в соответствии с тем, что я описал выше. (В разделе I я даю небольшой обзор, в основном опираясь на примеры, чтобы донести мысль. Затем в Приложении я рассматриваю вещи более систематически.)