Что делает теорию «квантовой»?

Насколько я знаю, коммутаторные соотношения делают теорию квантовой. Если все наблюдаемые коммутируют, то теория классическая. Если некоторые наблюдаемые имеют ненулевые коммутаторы (независимо от того, пропорциональны ли они$\hbar$или нет), теория является квантовой.

Интуитивно квантовой теорию делает тот факт, что наблюдения влияют на состояние системы. В каком-то смысле это закодировано в коммутаторных соотношениях: порядок измерений влияет на их результат, первое измерение влияет на результат второго.

Я думаю, что это тонкий вопрос, и я думаю, что он в некоторой степени зависит от того, как вы решите представлять квантовую механику. Чтобы увидеть одну крайность этого, рассмотрим точку зрения, выдвинутую Кибблом в [1]. Для простоты я буду думать здесь о конечномерных квантовых системах; есть некоторые тонкости в бесконечных измерениях, но, насколько я знаю, основная картина все еще сохраняется. В нем он показывает, что если мы описываем теорию в терминах физических состояний (лучей в гильбертовом пространстве), то динамика шредингеровской эволюции точно соответствует гамильтоновой эволюции через симплектическую форму из келеровой структуры в проективном гильбертовом пространстве (которая то есть эволюция классической системы). Однако есть два отличия, которые отличают квантовую механику от классической механики:

• Фазовое пространство должно быть проективным гильбертовым пространством (в отличие от просто симплектического многообразия), а гамильтониан ограничен квадратичной формой в однородных координатах в проективном пространстве. В классической механике любая (достаточно гладкая) функция допустима в качестве гамильтониана.
• Композитные системы описываются по-разному. В классической механике фазовое пространство сложной системы представляет собой декартово произведение фазовых пространств. В квантовой механике это вложение Сегре (которое происходит от тензорного произведения гильбертовых пространств). Это параметрически отличается; если фазовые пространства двух подсистем равны$2m$и$2n$, то в классической механике составная система имеет размерность$2m+2n$, тогда как в квантовой механике он имеет размерность$2(n+1)(m+1)-2$. Дополнительные состояния — это запутанные состояния. Сюда приходят практически все наблюдаемые следствия КМ, например, неравенства Белла. Конечно, если мы рассматриваем идентичные частицы, все становится еще немного сложнее.

Если вы проигнорируете второй пункт и сосредоточитесь только на одной квантовой системе, неожиданный вывод состоит в том, что каждая квантово-механическая система является частным случаем классической механики (с тем условием, что я снова не проверял детали в бесконечных измерениях, но это по крайней мере морально верно). Однако частью структуры квантовой механики является то, как она описывает составные системы, поэтому вы не можете просто игнорировать этот второй пункт. Математик сказал бы, что это дает инъективный функтор из категории квантово-механических теорий в категорию классических теорий, который не совместим с симметричными моноидальными структурами на двойке.

Я хочу отметить, что это категорически не так , как мы обычно думаем о принципе соответствия в квантовой механике. То есть это отображение конечномерной квантово-механической системы в конечномерную классическую систему (той же размерности). Обычно, если мы думаем, например, о свободной частице в одном измерении, гильбертово пространство для этой квантовой системы является бесконечномерным, но при этом оно соответствует двумерному классическому фазовому пространству. Но дело в том, что, по крайней мере, в этом вопросе мы не можем ограничиться обычным понятием соответствия, так как у нас нет физической интерпретации системы уравнений, описывающих теорию.

Кроме того, несмотря на приведенный выше пример, классическая теория или квантовая по существу не имеет ничего общего с тем, где живут состояния. В самом деле, если мы просто хотим снова рассмотреть свободную частицу в одном измерении, мы обычно описываем ее состояние как самосопряженный оператор единичной трассировки класса трассировки.$\hat \rho$на гильбертовом пространстве$L^2(\mathbb R)$. Напротив, в классической механике мы бы описали состояние как распределение вероятностей$\rho$на фазовом пространстве$\mathbb R^2$(обратите внимание, что в приведенном выше примере мы имели только чисто классические состояния, т.е. только те, которые описываются$\delta$функция на фазовом пространстве, тогда как теперь мы имеем смешанные состояния). Однако мы могли бы так же легко описать квантовое состояние с помощью его функции Вигнера , и в этом случае оно находится точно в том же аффинном пространстве, что и классическое распределение. Однако функция Вигнера удовлетворяет несколько иным неравенствам, чем классическое распределение вероятностей; в частности, он может быть слегка отрицательным и не может быть слишком положительным. Детали этого были впервые разработаны в [2]. В данном случае именно динамика выдает квантовую природу. В частности, чтобы перейти от классической к квантовой механике, мы должны заменить скобку Пуассона скобкой Мойала (которая имеет$O(\hbar^2)$поправки), что указывает на несостоятельность теоремы Лиувилля в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве: плотность (квази)вероятности не сохраняется вдоль траекторий системы.

Все это говорит о том, что кажется трудным (и, возможно, невозможным) попытаться найти единственную отличительную черту между классической и квантовой механикой , не рассматривая составные системы, поэтому, если вы этого хотите, я не уверен, что у меня есть ответ. . Однако, если вы допускаете составные системы, это довольно однозначное различие. Учитывая это, возможно, неудивительно, что все имеющиеся у нас экспериментальные тесты, демонстрирующие, что мир является квантовым, а не классическим, основаны на запутанности.

Использованная литература:

[1]: Kibble, TWB «Геометризация квантовой механики». Комм. Мат. физ. 65 (1979), вып. 2, 189--201.

[2]: HJ Groenewold (1946), "О принципах элементарной квантовой механики", Physica 12 , стр. 405-460.

Вызов фрейма: я думаю, что вопрос основан на вводящей в заблуждение предпосылке.

Хотя существует ряд характеристик, типичных для квантовых теорий, а не для классических теорий — некоторые из них вы уже перечислили в вопросе, а другие были предложены в существующих ответах — нет особых причин ожидать, что будет единое однозначное правило. которая классифицирует любую произвольную теорию либо как квантовую, либо как классическую.

В таком правиле нет и особой необходимости. Вы приводите пример квантовой гравитации. Однако причина, по которой нам нужна квантовая теория гравитации, не в том, что к ней прикреплен ярлык «квант», как если бы это была сумочка, которая не была бы адекватно модной без соответствующей этикетки, а потому, что мы хотим, чтобы она могла чтобы ответить на некоторые вопросы о реальности, на которые, как мы уже знаем, Общая теория относительности не может ответить.

Короче говоря, не беспокойтесь о том, является ли теория «квантовой» или нет — беспокойтесь о том, отвечает ли она на вопросы, на которые вы хотите получить ответы, или нет.

Также актуально.

Приложение: то же самое, конечно, относится и к существующим теориям. Нам не нравится Стандартная модель, потому что она квантовая. Нам это нравится, потому что это работает .

TL;DR: Корреляции.

Перво-наперво: поскольку ОП запрашивает критерий, чтобы определить, является ли модель квантово-механической, ответ должен включать наблюдаемые. В конце концов, если бы вы могли переписать свою «квантовую» модель как «классическую», эти ярлыки в конце концов ничего бы не стоили.

Кроме того, все квантовые теории (о которых я знаю) являются вероятностными, поэтому этот ответ фокусируется на вероятностных наблюдаемых, то есть на корреляционных функциях .

Принципиальное отличие квантовой теории от классической теории состоит в их корреляционной структуре. То есть квантовые теории могут показать корреляции, которые не могут показать классические теории.

Исторически первым и простейшим примером этого является неравенство Белла . К настоящему времени существует множество таких неравенств для всех видов наблюдаемых, наиболее часто используемым из них является неравенство CHSH . В общем, эти неравенства устанавливают границы для корреляционных функций, которые не могут быть нарушены классической теорией вероятностей, где последняя может быть сделана точно (см. Ниже). Теории квантовой вероятности могут нарушать некоторые из этих неравенств, что делает их принципиально разными.

Интересно, что есть также теории, в которых корреляции даже сильнее, чем в квантовой теории . Они известны как ящики Попеску-Рорлиха, и было показано, что они допускают максимальное нарушение так называемой границы Цирельсона , другого неравенства, которое, однако, выполняется квантовой теорией.

Создание этих утверждений (все они работают на уровне вероятностных распределений в пространстве наблюдаемых) — это целая область. Некоторые ссылки (завтра постараюсь добавить еще, слишком устал):

1. Можно попытаться однозначно выделить квантовую теорию как «особую» теорию вероятностей, отталкиваясь от определенных постулатов теории информации: https://arxiv.org/abs/1203.4516
2. Так называемые тесты Белла «без лазеек» показали, что мы живем в мире, который нарушает классическую теорию вероятностей (хотя некоторые люди будут возражать против этого): https://www.nature.com/articles/nature15759
3. Хорошая презентация упомянутых выше идей парня, который (в отличие от меня) действительно знает, о чем говорит: http://www.math.umd.edu/~diom/RIT/QI-Spring10/ClassvsQuantInfo.pdf

Вот ответ экспериментатора:

Математическая система, будь то алгебраические или дифференциальные уравнения, имеет аксиомы и теоремы и самодостаточна и непротиворечива.

Физическая теория — это подмножество математической системы, которая определяется введением дополнительных аксиом, называемых законами или постулатами, которые необходимы для построения, чтобы выбрать из общего математического набора те решения, которые соответствуют данным, т. е. измерениям и наблюдениям.

Классические теории — это те, которые используют классические законы, такие как: законы Ньютона для механики, совокупность законов электричества и магнетизма, объединенных в уравнения Максвелла, законы термодинамики (и, возможно, и т. д.).

Квантовые теории подчиняются законам квантовой механики, т. е. постулатам квантовой механики , независимо от математической формулировки.

Чтобы подогнать данные и наблюдения, были необходимы постулаты квантовой механики, и это то, что отличает классическую теорию от квантовой, ИМО.

Изменить после комментариев:

В вашем списке:

Аксиомы Дирака-фон Неймана: они слишком ограничительны (например, они не соответствуют топологическим квантовым теориям поля).

Это был первый раз, когда я познакомился с топологическими квантовыми теориями поля (ТКТП). (Такие знакомства — одна из причин, по которой я слежу за этим сайтом — чтобы вдохнуть новую для меня физику.)

Калибр, если этот набор теорий соответствует данным и предсказывает измерения.

В аксиоматических математических теориях теоремы могут быть установлены как аксиомы, а затем прежние аксиомы должны быть доказаны как теоремы для самосогласованной теории. Обычно аксиомы выбираются как простейшие выражения из набора непротиворечивых теорем.

Поскольку TQFT соответствуют данным и предсказывают квантовые состояния, необходимо, чтобы из аксиоматических постулатов TQFT можно было вывести постулаты квантовой механики (возможно, очень сложным математическим методом). Статья в Википедии о TQFT, похоже, указывает на это . Это необходимо для того, чтобы теория была квантовой ИМО.

Т.е. это постулаты , связывающие измерения с математическими формулами, по построению.

Я бы сказал, что нечто внутренне квантовое — это способ, которым связаны вероятности и функция, подчиняющаяся уравнению в частных производных.

Как вы заметили, в классических теориях присутствуют как интерференция, так и вероятности. Что нового, так это амплитуды вероятностей, где интерференция приводит к подавлению вероятностей, что невозможно в классических теориях.

Для конечномерного случая есть также предложение Люсьена Харди «Квантовая теория из пяти разумных аксиом» ( https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012 ). Там отличительным фактором между квантовой теорией и классической теорией вероятностей является то, что «существует непрерывное обратимое преобразование в системе между любыми двумя чистыми состояниями этой системы».

Еще одно упоминание в том же духе - глава 9 книги Скотта Ааронсона «Квантовые вычисления со времен Демокрита».

тл; доктор

Эм... Да.

Скажем, вы придумываете модель физической системы...

Уравнения не существуют сами по себе, у них всегда есть окружение. Голова — это предположения, а хвост обычно описывает ограничения указанной математической модели. Так что на самом деле все зависит от вашей интерпретации рассматриваемого вопроса ИЛИ доступных вам данных, которые могут последовательно (детерминистически?) предсказать, является ли теория «квантовой».

И наоборот, если у вас нет головы и хвоста, вы можете привести много примеров того, о чем говорят уравнения, но не можете сказать ничего конкретно.

Все ответы здесь вдохновляют и откровенно сексуальны , но найдите время, чтобы рассмотреть мои элементарные примеры ниже.

Такой образ мышления « какая характеристика уравнения предсказывает его применимость в <название раздела физики> » является неправильным использованием математики.
Математика, возможно, является высшим, но мы должны помнить, что в физике мы используем ее как инструмент. Моя иллюстрация ниже может показаться детской, но, пожалуйста, рассмотрите следующие уравнения

Уравнение 1:

Уравнение 2:

Глядя на них, математик может с радостью сказать, что

• Уравнение 1
  • имеет два решения +2и -3, и
  • кривая направлена ​​вверх, с максимумами вx = -0.5
• Уравнение 2
  • имеет наклон-0.4
  • имеет перехваты 4 и 10
  • имеет бесконечные упорядоченные пары (x, y), удовлетворяющие уравнению
  • описывает кривую, которая окружает начало координат

И мы все согласны с вышеуказанными пунктами.
Но мудрый физик молчит, потому что знает, что эти уравнения не просто каракули какого-то дислектика-вулканца, а модели чего- то , они представляют что-то или какие-то явления. Итак, физик соглашается с математиком, но не приходит к выводу.

Давайте посмотрим на вопросы, которые приводят нас к этим уравнениям

Вопрос 1:

Произведение количества на единицу больше себя равно 6, найдите значение этого количества, если
а. количество денег в долг
b. количество это время

Вопрос 2:

Удвоенное число моих сыновей и пятикратное число моих дочерей всегда равняется удвоенному количеству придатков на руках нормального человека. Сколько у меня сыновей и дочерей?

Теперь, я надеюсь, у вас есть ага! момент. Ответ на Q1 bпросто +2потому, что время не может быть отрицательным (мы все решали такие вопросы в детстве), а ответ на Q2может быть довольно неожиданным - 5 сыновей и 2 дочери - потому что физики хорошие люди и не делают дробных детей или негативные дети.

Вы видели это — одно уравнение, две переменные, и мы все равно получаем уникальный ответ — ограничения .

Таким образом, математик (уравнение) и физик (общая картина) оба правы, где они стоят. Но выигрывают физики, потому что

• мы на физике.stackexchange.com
• математика сама по себе очень сильна, чиста, почти невкусна; нам нужна как справочная информация , так и ограничения , чтобы понять, что этот замечательный инструмент пытается сказать нам с помощью уравнений.

А если серьезно, то я хотел бы отметить, что, вероятно, нет (респектабельной) книги по классической физике, которая учит F = maбез предварительного явного и ясного утверждения следующего:

• Требуемые допущения, например, поверхности без трения и абсолютно твердые тела
• Три закона движения Ньютона (пословно)
• То dF = d(m.v), что можно упростить, если масса (почти) постоянна
• и самое главное, что объекты, с которыми мы имеем дело, не имеют сверхмалых размеров, т.е. больше 10 ^-9 м в диаметре.

Авторы делают это не для педагогики, большинству учеников 9-го класса наплевать на жесткость, но на самом деле они делают это, потому что эти утверждения необходимы для работы уравнения/теории.

Попытка предсказать, описывает ли уравнение квантовую штуку, в лучшем случае является вопросом для обсуждения или метаматематикой.

В частности, к ОП,

Если вы изобретатель, работаете над чем-то вроде GUT (иначе зачем вам уравнение, происхождение которого вы не знаете), и вам любопытно, применимо ли оно одинаково хорошо к большим и маленьким телам — применяйте ограничения. У меня нет математического предвидения, но логически я могу сказать, что вариации ограничений будут определять поведение системы для квантовых и классических тел.

В книге «Думай быстро и медленно» есть глава, которая иллюстрирует нашу склонность поддерживать то, что популярно/причудливо, а не то, что правильно/правдоподобно. Я думаю, что вопрос в первую очередь основан на мнении.

TLDR: корпускулярно-волновой дуализм

Я хочу ответить на этот вопрос с исторической точки зрения:

Согласно нашему нынешнему пониманию, квантовая теория демонстрирует черты как классической механики, так и электродинамики (например, света) одновременно. Первым, кто заметил такую ​​связь между механикой и теорией света, был Гамильтон. Он разработал гамильтоновскую оптику, в которой свет описывался как частица (также известная как корпускула). Теоретики вскоре поняли, что гамильтонова оптика не может объяснить световые явления, такие как интерференция, дифракция и поляризация. Они поняли, что гамильтонова оптика — это только приближение, которое хорошо работает до тех пор, пока длина волны света намного меньше, чем у измерительного прибора (например, для геометрической оптики, основанной на световых лучах и линзах). Тем не менее, язык гамильтоновой оптики отлично подходил для описания классической механики, которая сейчас широко известна как гамильтонова механика.

Электродинамическая теория поля Максвелла была более правильным описанием света, но затем появились Планк и Эйнштейн. Они показали, что для описания излучения черного тела и фотоэлектрического эффекта было необходимо предположить, что свет не может быть полем с бесконечной делимостью (т.е. непрерывностью), как предполагалось в волновой теории света Максвелла. Скорее, свет должен состоять из исчисляемых сущностей, которые они назвали «квантами». Но эта теория была случайной и не согласовывалась со специальной теорией относительности. (Примечание: последовательной версией является квантовая электродинамика.) Хотя объяснение этих явлений Планком и Эйнштейном было незрелым, оно было первой квантовой теорией, потому что оно показало (или, лучше сказать, предположило) корпускулярно-волновой дуализм. (Примечание: квантование не означает возврата от волновой теории света к корпускулярной теории, подобной гамильтоновой оптике.

Понадобился сумасшедший гений де Бройля и Шрёдингера, чтобы применить эту теорию в обратном направлении — к частицам. Они заметили, что если волновая теория света Максвелла должна быть расширена, чтобы включить в нее кванты/частицы, то классическая теория (которая состоит только из частиц) должна быть расширена, чтобы произвести характеристики волн. Они увидели, что классическая теория может быть приближением, подобным гамильтоновой оптике, которая действительна только для коротких длин волн. Таким образом, Шредингер разработал волновую механику не путем постулирования квантов, а путем обращения приближений, необходимых для перехода от теории света Максвелла к гамильтоновой оптике. В отличие от электродинамики, классическая механика должна была быть «волнообразной», чтобы стать полной теорией, показывающей корпускулярно-волновой дуализм. (Примечание: здесь снова

Таким образом, теория является «квантовой», когда она объединяет/сочетает в себе свойства как волн, так и частиц. Классическая теория — это либо только волны/поля, либо только частицы.

Что касается квантования общей теории относительности, поучительно сравнить эту классическую теорию поля с другой классической теорией поля, а именно с гидродинамикой. Общим для обеих теорий является их высокая нелинейность. Оба могут быть проквантованы только в том случае, если они сначала линеаризуются. Если линеаризовать гидродинамику, то получится уравнение для звуковых волн. Если линеаризовать уравнения ОТО, то получаются уравнения гравитационных волн. Если квантовать уравнение звуковых волн, то получаются фононы. Если квантовать гравитационные волны, то получаются гравитоны. Опять же, и гравитоны, и фононы демонстрируют корпускулярно-волновой дуализм. Но в обоих случаях нам нужно сначала линеаризовать нашу теорию, чтобы иметь возможность ее квантовать. (Примечание: фононы существуют только в твердых телах. Гравитоны также могут существовать только в «твердом» пространстве-времени.)

Физические модели определяются своей решеткой событий . Набор физических событий образует алгебраическую решетку с двумя бинарными операторами, которые выполняют функции ИЛИ и И между событиями. Мы предполагаем, что решетка событий является сигма-аддитивной и ортомодулярной. Мы называем эту решетку логикой модели. В этом смысле события являются элементами логики. Состояния системы являются вероятностными мерами над этой алгеброй. Физические величины — это сопоставления между утверждениями об измерениях количества (вспомните борелевские множества действительных чисел) и логикой.

Логика классической модели изоморфна алгебре множеств, поэтому она дистрибутивна ( a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) и наоборот) и полностью атомарна.

Логика квантовой модели изоморфна решетке подпространств гильбертова пространства и потому не дистрибутивна, а полностью атомарна.

Одного вышесказанного достаточно, чтобы объяснить многие особенности, связанные с квантовыми моделями, в том числе

• вещественные физические величины могут быть представлены как самосопряженные операторы
• коммутационные отношения
• суперпозиция состояний
• уравнение Шредингера

Возможно, наблюдение, что не существует согласованного совместного распределения вероятностей для сопряженных степеней свободы, вполне убедит нас в том, что мы имеем дело с квантово-механической системой.

Страница 372 следующего документа может помочь лучше обсудить этот вопрос. Есть гораздо больше деталей и некоторые ценные теоремы, которые доказаны.

Статистическая интерпретация квантовой механики

Я удивлен, что никто, кажется, не упоминает, что квантовая теория описывает величины, которые имеют дискретные значения. Все величины, которые кажутся непрерывными на макроскопическом уровне, могут принимать дискретные значения только в квантовой теории. Различия «сообщаются» «частицами» (фотонами и т. д.). Это сердце квантовой теории.

Описание состояний и взаимодействующих частиц не было достигнуто или было достигнуто только предположительно для гравитации.