Что делать, если профессор использует сжатые краткие заметки в аспирантуре?

Чтобы прямо ответить на ваш первый вопрос: да, «плотность» довольно распространена в программах среднего и высшего уровня по математике в США, как только кто-то выходит за рамки «обязательных / основных» курсов. Почти по всем предметам есть много предыстории, и преподаватели хотят наверстать упущенное где-то рядом с текущими событиями. Также распространено, что представление о проницательном, эффективном, проницательном курсе не отражается точно в существующих учебниках, поэтому человек пишет соответствующие заметки. (Это лучше, чем «в старые времена», до TeX, когда чаще всего не было никаких опубликованных заметок, даже рукописных, поэтому ведение заметок в классе было критически важным.)

Что касается «абстрактного» функционального анализа, в частности, да, я думаю, будет справедливо сказать, что стиль многих стандартных текстов (и практиков) дрейфовал в определенном направлении, включая своего рода «плотность». Веселой и не очень полезной противоположностью из прежних времен была трехтомная феерия Данфорда-Шварца, в которой почти каждый бит математики трактовался так, как будто читатели не слышали о ней. Детерминанты, многочлены и т. д. Естественно, что этот подход с низкой плотностью и большим объемом создавал свои собственные проблемы, не последней из которых было нахождение ключевых примеров, которые не были частью «общей» математики, а специфичны для функционально-аналитических идей.

Монографии или тексты последующих десятилетий по «топологическим векторным пространствам» всегда казались мне особенно бесполезными в установлении связей с другими частями математики, хотя «может быть, это только я». Я не могу удержать все возможные прилагательные прямо, и я не вижу смысла многих из них, и мне непонятны примеры. Опять же, может быть, это просто мой личный ограниченный интерес, поскольку меня интересует «функциональный анализ» для «приложений» (к автоморфным формам и связанным с ними вопросам), а не к самому себе или к «приложениям вне математики».

Мне долгое время было неясно, что «более экзотические» типы топологических векторных пространств (и их семейства, как в теории пространств Соболева) не просто «удобны», но необходимы для создания многих невинных кажущиеся обсуждения законными. Таким образом, не просто пространства Фреше, а LF-пространства (строгие индуктивные пределы Фреше), уже появляющиеся как правильная топология на $C^o_c(\mathbb R)$, например. Понятие квазиполноты действительно необходимо, поскольку LF-пространства никогда не бывают «полными» (если только они не тайно Фреше), но всегда квазиполны. Иквазиполнота достаточна для того, чтобы многие важные вещи продолжали работать, например, идеи Гельфанда-Петтиса (или Бохнера) о векторнозначных интегралах, результаты Гротендика о голоморфных вектор-функциях и сильная операторная топология (более слабая, чем банаховозначная топология). топология равномерной нормы пространства на операторах в гильбертовом пространстве). Голоморфные функции со значениями распределения и т.д. (Мои онлайн-заметки по функциональному анализу, безусловно, идут именно в этом направлении.)

Короче говоря, примеры важны как для иллюстрации прилагательных и теорем, так и для того, чтобы увидеть необходимость введения различных, казалось бы, экзотических типов топологических векторных пространств.

В то же время я думаю, что создание сопротивления случайным требованиям контрпримеров — это хорошо, так же как и в случае с точечно-множественной топологией. Одни контрпримеры показательны, другие нет. Можно убить много времени, что не очень выгодно, пытаясь проиллюстрировать каждое возможное логическое различие. Не делай этого.

Функциональный анализ — это один из тех предметов, которые могут быть организованы по-разному, так что два случайно выбранных учебника почти никогда не будут иметь темы в одинаковом порядке, логически или педагогически. Например, один учебник может доказывать теорему B как следствие теоремы A, тогда как другая книга (или ваши конспекты) может доказывать теорему B с нуля и использовать ее для доказательства теоремы A. По этой причине ваши внешние ссылки могут сбивать с толку. проблема больше, чем они помогают. Посмотреть другую презентацию может быть очень полезно после того, как этот урок закончится, но сейчас, я думаю, вам следует удвоить внимание к пониманию заметок профессора, какими бы они ни были. Учебные группы могут очень помочь в этом, равно как и задавать вопросы профессору в рабочее время (надеюсь, у него это есть).

Найти книгу, чтобы дополнить заметки профессора? Я использовал JT Oden и L. Demkowicz. Функциональный анализ. КПР Пресс. 1996 г., когда я прошел курс профессора Демковича в ~ 2000 г. Я нашел его полезным и до сих пор имею возможность время от времени ссылаться на него.