1. Инстантоны

1.1 Инстантоны как классическое решение

Инстантон — это в значительной степени именно то, что вы говорите: (анти-) самодвойственная конфигурация кривизны главного расслоения. Кривизна$F_A$основного пучка с подключением$A$есть тензор напряженности поля физической калибровочной теории, а связь называется калибровочным потенциалом . Например, в электромагнетизме ненулевые компоненты$F$являются в точности электрическими и магнитными полями, так что это имеет прямое физическое значение. В общем случае действие ¹ калибровочной теории Янга-Миллса задается интегралом

$$S_\text{YM}[A] = \int_M\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge \ast F)$$ уравнения Эйлера-Лагранжа которого являются классическими уравнениями движения, т. е. классические решения являются стационарными точками этого функционала. Теперь мы можем разложить напряженность поля на самодвойственную часть $F^+$и антисамодвойственная часть $F^-$которые ортогональны друг другу относительно скалярного произведения $$(G,H) = \int G\wedge\ast H$$ Включение этого дает $$S_\text{YM}[A] = \int \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F^+\wedge \ast F^+) + \int \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F^-\wedge \ast F^-)$$ и сравнивая это со вторым классом Черна $C_2(A) := \int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge F)$мы видим, что $S_\text{YM}[A] \geq \lvert C_2(A)\rvert$, т. е. локально минимизируется при равенстве. Но это равенство выполняется именно тогда, когда либо $F^+ = 0$или же $F^- = 0$, т.е. когда полная напряженность поля $F$само является либо самодвойственным, либо антисамодвойственным (или исчезающим). Таким образом, классические уравнения движения эквивалентны уравнениям $\ast F = \pm F$, т.е. инстантоны - это просто классические решения уравнения движения.

Уже с классической точки зрения размер пространства модулей инстантонов представляет определенный интерес, поскольку он показывает, возможны ли различные решения классического уравнения движения. Однако инстантоны могут быть связаны большими калибровочными преобразованиями , которые можно классически выделить, поэтому подсчет инстантонов как таковой не является достаточной информацией, чтобы быть интересным.

1.2. Инстантоны как «вакуум» квантовой теории

Стандартная теория возмущений в квантовой теории поля основана на разложении экспоненты функции действия вокруг классического решения. Существование нескольких классических решений означает, что мы должны расширяться вокруг каждого из них и суммировать решения с некоторым весом.$f$. ² Если обозначить$\mathcal{D}A_k$интегральная мера Фейнмана по путям (с классифицированными классами калибровочной эквивалентности), которая находится по возмущениям инстантона, помеченного$k = \frac{1}{8\pi}C_2(A)$³ , мы получаем для евклидова интеграла по траекториям

$$Z = \sum_k f(k)\int \mathrm{e}^{-S_\text{YM}[A_k]}\mathcal{D}A_k$$ Согласно стандартному аргументу декомпозиции, этот интеграл должен разлагаться на локальные части, когда мы рассматриваем такие вещи, как $A_k = A_{k_1} + A_{k_2}$куда $A_{k_1},A_{k_2}$живут в разных регионах, эвристически обнаруживается, что $f(k_1+k_2) = f(k_1)f(k_2)$должно выполняться, а поскольку в мире физиков все гладко, за исключением случаев, когда это не так, это означает, что $f$сама является экспоненциальной $f(k) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta k}$для некоторых $\theta\in\mathbb{R}$. Помните, как $k$было определено, мы получаем модифицированное действие $$S_\theta[A] = \int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge\ast F) + \frac{\mathrm{i}\theta}{8\pi^2}\int\mathrm{Tr}_\mathfrak{g}(F\wedge F)$$ с которым мы можем отбросить сумму и написать $$Z = \int \mathrm{e}^{-S_\theta[A]}\mathcal{D}A$$ куда $\mathcal{D}A$теперь распространяется на все пространство соединений.

Из этого может следовать развитие других теорий, например, теперь можно попытаться продвигать$\theta$себя в динамическое поле, которое тогда называлось аксионом в теории Печчеи-Куинна .

Однако при попытке выполнить эту сумму в теориях, связанных с фермионами, возникает проблема, заключающаяся в появлении квантовой аномалии.

1.3 Инстантоны и квантовые аномалии

Мы рассматриваем теорию квантовых фермионных полей, связанную с классическим фоном калибровочного поля (т. е. с инстантоном).

$$S_\text{Dirac}[\psi,A] = \bar\psi (\mathrm{i}D - m)\psi - \frac{1}{4}F\wedge\ast F$$ куда $D$является оператором Дирака $D = D_\mu\gamma^\mu$с $D_\mu$ковариантная производная, принадлежащая $A$а также $\gamma^\mu$обычные гамма-матрицы, действующие на спиноры $\psi$. Мы хотели бы написать $$Z[A] = \int\mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar\psi \mathrm{e}^{-S_\text{Dirac}[\psi,A]}$$ но есть проблема с обычным определением $\mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar\psi$в терминах предела интегрирований по модам поля. См. этот мой ответ для определения и регуляризации меры и этот мой ответ для того, как, в конце концов, аномалия - то есть проблема определения меры инвариантным образом при больших калибровочных преобразованиях - связана с индексом $D$, который по теореме об индексе Атьи-Зингера тесно связан с инстантонным числом $k$как класс Черна.

---

^{1 На самом деле мы рассматриваем так называемое евклидово действие , с которым реальное действие связано вращением Вика}

^{2 Пертурбативно состояния, принадлежащие таким разным секторам, не связаны, но с теорией инстантонов можно увидеть, что между ними есть непертурбативные амплитуды, см. этот мой ответ}

^{3 Может быть несколько инстантонов с одним и тем же номером, тогда сумма рассчитывается по каждому из них (поскольку в общем случае не гарантируется, что они связаны калибровочным преобразованием)}

---

2. Инварианты Дональдсона

^{Этот раздел представляет собой краткий пересказ «Топологической квантовой теории поля» Виттена.}

2.1 Скрученный$\mathcal{N}=2$суперсимметричная теория Янга-Миллса

Физическая среда, в которой появятся инварианты Дональдсона, представляет собой теорию Янга-Миллса, живущую на четырехмерном многообразии.$M$связаны с определенными полями так, что полное действие обладает суперсимметрией. Действие этой теории выглядит, по общему признанию, ужасным:

$$S_\text{SYM} = \int_M \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}\left(\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{4}F_{\mu\nu}(\ast F)^{\mu\nu} + \frac{1}{2}\phi D_\mu D^\mu \lambda - \mathrm{i}\eta D_\mu \psi^\mu + \mathrm{i}D_\mu\psi_\nu \chi^{\mu\nu} - \frac{\mathrm{i}}{8}\phi[\chi_{\mu\nu},\chi^{\mu\nu}] - \frac{\mathrm{i}}{2}\lambda[\psi_\mu,\psi^\mu] - \frac{\mathrm{i}}{2}\phi[\eta,\eta] - \frac{1}{8}[\phi,\lambda]^2 \right)\sqrt{g}\mathrm{d}^4 x$$ Здесь $D_\mu = \nabla_\mu + [A_\mu,\dot{}]$калибровочная ковариантная производная (с $\nabla$обычная риманова ковариантная производная) и все поля $\mathfrak{g}$-ценный. Eсть $\mathbb{Z}_2$-градуировка на пространстве полей, где мы называем разные классы «бозонными» (или четными) и «фермионными» (или нечетными). Бозонные поля $\phi,\lambda$, фермионные $\eta,\psi,\chi$, а также $\chi$дополнительно ограничивается самодвойственностью. Это действие инвариантно относительно инфинитезимальной симметрии $$\begin{align} \delta_\epsilon A = \mathrm{i}\epsilon\psi \quad \delta_\epsilon\phi = 0 \quad \delta_\epsilon\lambda = 2\mathrm{i}\epsilon\eta \\ \delta_\epsilon\psi = -\epsilon D\phi \quad \delta_\epsilon\eta = \frac{1}{2}\epsilon[\phi,\lambda] \quad \delta_\epsilon \chi = \epsilon(F + \ast F) \tag{1} \end{align}$$ с $\epsilon$фермионный бесконечно малый параметр. Как и в случае со всеми трансформациями, мы думаем об этом как о наличии генератора — его суперзаряда — $Q$, что дает все преобразования как $\delta \alpha = -\mathrm{i}\epsilon Q(\alpha)$куда $\alpha$любое поле. В гамильтоновой формулировке $Q(\alpha)$будет скобка Пуассона $\{Q,\alpha\}$, но на общем коллекторе у нас нет такой возможности. Явным вычислением находим, что $$\delta_\epsilon\delta_\zeta X - \delta_\zeta\delta_\epsilon X = -2\mathrm{i}\epsilon\zeta\phi$$ для каждого поля $X$кроме $A$, где это $-D \phi$. Это справедливо только в оболочке для $\chi$, но вне оболочки для всех остальных. Следовательно, коммутатор двух таких преобразований является калибровочным преобразованием и, следовательно, не имеет физического влияния. В формулировке Гамильтона мы бы написали это $\{Q,Q\} = 0$(по модулю калибровочных преобразований), т. е. $Q$сродни заряду BRST . Сохраняющийся ток, связанный с этой симметрией, равен $$J = \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}\left((F_{\mu\nu} + (\ast F)_{\mu\nu})\psi^\nu - \eta D_\mu \phi - D^\nu\phi \chi_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\psi_\mu[\lambda,\phi]\right)\mathrm{d}x^\mu$$ где сохранение означает, что $\ast J$замкнут, поэтому для любого гомологического 3-цикла $\gamma$, интеграл $$Q[\gamma] = \int_\gamma \ast J$$ зависит только от класса гомологии $\gamma$. Кроме того, можно показать, что тензор энергии-импульса $T_{\mu\nu} = 2 \frac{\delta S_\text{SYM}}{\delta g^{\mu\nu}}$этой теории является бесконечно малым преобразованием $T_{\mu\nu} = \{Q,\lambda_{\mu\nu}\}$для другого уродливого выражения $\lambda$(см. уравнение Виттена (2.34)).

2.2 Инварианты Дональдсона как интегралы по траекториям

В дальнейшем мера интеграла по путям$\mathcal{D}X$включает все поля, а также намеревается выделить классы калибровочной эквивалентности. Общий объект, который мы рассматриваем, представляет собой (ненормализованное) математическое ожидание любого наблюдаемого объекта.$\mathcal{O}$, куда$\mathcal{O}$любой приятный функционал в полях:

$$Z(\mathcal{O}) = \int \mathcal{O}\mathrm{e}^{-S_\text{SYM}/e^2}\mathcal{D}X$$ Если преобразование суперсимметрии неаномально, то $Z(\{Q,\mathcal{O}\}) = 0$для каждого наблюдаемого. Теперь мы утверждаем, что $Z = Z(1)$является гладким инвариантом и, в частности, окажется инвариантом Дональдсона. За $Z$чтобы быть гладким инвариантом, он должен быть инвариантным относительно изменений в метрике. Изменение действия при изменении метрики по определению $\delta S = \frac{1}{2}\int_M \sqrt{g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$и это приводит к $$\delta Z(1) = -\frac{1}{e^2}Z(\{Q,\int_M \sqrt{g}\delta g^{\mu\nu}\lambda_{\mu\nu}\}) = 0$$ так $Z(1)$инвариантен относительно изменений метрики. Аналогично, он инвариантен относительно изменений калибровочной константы связи $e$, пока он остается ненулевым. Но в пределе малой связи в интеграле по траекториям сильно преобладают классические минимумы свободных теорий ... а классические минимумы свободной калибровочной теории - это антисамодуальные инстантоны! Самодвойственные не являются минимумами , потому что мы добавили топологический $F\wedge F$к лагранжиану. Таким образом, мы можем оценить $Z$глядя на вклад инстантона. Однако , как и в 1.3 выше, интегральная мера пути не является инвариантной , если фермионные нулевые моды не совпадают. Уравнения для $\psi$нулевые моды оказываются тем же самым уравнением, что и для бесконечно малого возмущения $\delta A$к инстантонной конфигурации $A$быть инстантоном: $$D_\mu Y_\nu - D_\nu Y_\mu + \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}D^\sigma Y^\rho \quad\land\quad D_\mu Y^\mu = 0$$ за $Y$либо $\delta A$или же $\psi$. Но число возможных независимых возмущений инстантона, которые снова являются инстантоном, есть именно то, что можно было бы назвать размерностью $\dim(\mathcal{M})$пространства модулей в точке $A$если бы это было собственное гладкое неособое пространство, то число $\psi$нулевых мод совпадает с размерностью пространства модулей инстантонов. В общем, кажется, существует теорема об индексе, которая говорит, что общее количество нулевых мод равно формальной размерности пространства модулей, но Виттен не дает здесь ее названия или применения.

Специализируясь на ситуации в вопросе, когда пространство инстантонных модулей дискретно и имеет нулевую размерность, мы, таким образом, имеем, что$Z$является гладким инвариантом. Для фиксированного инстантонного фона и в пределе слабой связи достаточно посмотреть на члены низшего порядка в полях. Это квадратичные члены вида$\Phi \Delta \Phi$а также$\Psi \mathscr{D} \Psi$куда$\Delta$— эллиптический оператор второго порядка на бозонных полях$\Phi = (A,\phi,\lambda)^T$а также$\mathscr{D}$является действительно кососимметричным первого порядка на фермионных полях$\Psi = (\eta,\psi,\chi)^T$. Это означает, что интеграл по путям по$\Phi$а также$\psi$вырождается в интеграл Гаусса.

Кроме того, их собственные значения связаны суперсимметрией: Глядя на преобразование суперсимметрии$(1)$, мы видим, что классические решения$F = -\ast F$а также$\phi,\lambda,\eta,\psi,\chi = 0$инвариантны относительно суперсимметрии, поэтому квантовые возбуждения при расширении вокруг них тоже связаны суперсимметрией. Для каждого ненулевого$\lambda$это собственное значение$\mathscr{D}$(которые идут парами, поскольку он кососимметричен), существует собственное значение$\lambda^2$из$\Delta$. ^{Это показано у Д'Адда, ДиВеккья, "Суперсимметрия и инстантоны" .}

Теперь интеграл Гаусса по траекториям$\int_M \left(\Phi \Delta \Phi + \mathrm{i}\Psi \mathscr{D} \Psi \right)\sqrt{g}$урожаи$\mathrm{Pf}(\mathscr{D}) / \sqrt{\det(\Delta)}$, а пфаффиан и определитель отличаются только знаком, так что это становится$\pm \prod_i \mathrm{sgn}(\lambda_i)$, где произведение пробегает все ненулевые собственные значения. $\pm$происходит из-за того, что нам приходится выбирать ориентацию, определяющую знак пфаффиана. Итак, мы выбираем любой инстантон$A_0$и заявить, что этот продукт$+1$для этого. Теперь можно выбрать любой другой инстантон$A_i$и определяет, как часто$\mathscr{D}$имеет нулевое собственное значение вдоль гомотопии$A_t = t A_0 + (1-t) A_i$. Каждый раз, когда он получает нулевое собственное значение, знак$\mathrm{Pf}(\mathscr{D})$определяется для изменения. (Я думаю , что это в основном транспортировка$\mathscr{D}$по кривой$A_t$в пространстве$\mathcal{A}/\mathcal{G}$, куда$\mathcal{A}$пространство связностей.) Это дает четко определенный способ определить знак пфаффиана для$A_i$если она дает один и тот же знак независимо от того, какая гомотопия$A_t$выбран - и поскольку объединение двух из них дает преобразование$A_0$на себя, это равносильно требованию, чтобы знак не менялся ни на одном цикле в$\mathcal{A}/\mathcal{G}$на базе$A_0$.

Если это задано, то мы получаем, что$Z = \sum_i(-1)^{n_i}$, где сумма по всем инстантонам и$n_i$определяются вышеуказанным способом. Это теперь, наконец, точно такой же схематично определенный-инвариант, как и в вопросе.