Вопрос о связях в общей теории относительности и физике элементарных частиц

1 Введение

Кажется, что когда вы изучаете общую теорию относительности, вся технология связок не имеет значения (по крайней мере, в элементарных дискуссиях, таких как [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] и другие). Но даже простейшая теория поля (электромагнетизм) на плоском фоне, таком как пространство-время Минковского, л "=" − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν , требуется (изогнутый) главный пучок волокон. Более того, мы можем мыслить глюонами л "=" − 1 4 г мю ν а г а мю ν , с а принимая значения алгебры лжи, делая использование расслоений еще более необходимым. Но мой вопрос заключается в концептуальном скачке в использовании и определении «связей в общей теории относительности и физике элементарных частиц».

2 Связи в пространстве-времени

С одной стороны, кажется, что в общей теории относительности нам просто нужно знать: многообразие М и метрический тензор г , ( М , г ) ; касательные пространства Т п М , и набор всех касательных векторов Икс ( М ) установить формальное понятие (аффинной) связи:

∇ : Икс ( М ) × Икс ( М ) → Икс ( М ) ,

а затем построить «ковариантную производную (общей теории относительности)»:

Учитывая график:

(1) ∇ Икс Д "=" [ Икс мю ∇ мю Д ν ] ∂ ∂ Икс ν "=" [ Икс мю ( ∂ мю Д ν + Г ν мю дельта Д дельта ) ] ∂ ∂ Икс ν

2.1 Соединения на основных пучках волокон

С другой стороны, кажется, что в физике элементарных частиц вам нужно:

  1. Установите свой любимый основной пучок волокон: п "=" ( Е , М , π , г , г )
  2. Построить касательное основное расслоение Т п
  3. Разделите касательное расслоение как Т п "=" ЧАС п ⊕ В п ⟹ Т п ( п ) "=" ЧАС п ( п ) ⊕ В п ( п )
  4. Используйте проталкивание вперед ( Φ г ) * «расталкивать» горизонтальные подпространства ЧАС п ( п ) по волокну: ( Φ г ) * [ ЧАС п ( п ) ] "=" ЧАС ( Φ г ) п ( п ) "=" ЧАС д ( п ) создание «связи подпространств» в расслоении.

после всего этого,

  1. Определите (убедите себя/осознайте) связь на п как «горизонтальное распределение».

Эквивалентно:

  1. Установите свой любимый основной пучок волокон: п "=" ( Е , М , π , г , г )
  2. Построить касательное основное расслоение Т п
  3. Разделите касательное расслоение как Т п "=" ЧАС п ⊕ В п ⟹ Т п ( п ) "=" ЧАС п ( п ) ⊕ В п ( п )
  4. Построить касательные пространства г , Т д г
  5. Используйте тот факт, что Т д г ≈ г .
  6. Использовать ЧАС п ( п ) проектировать в е Т п ( п ) в В п ( п )
  7. Используйте тот факт, что В п ( п ) "=" Т п г
  8. Осознайте, по 5 ) , 6 ) и 7 ) , существование 1-формы (или г -значная дифференциальная форма), ю п : Т п п → г , на п .
  9. Возьмите конкретное касательное пространство в личности е из г : Т е г
  10. Используйте факт 5 ) , Т е г ≈ г .
  11. Возьмите векторное пространство «всех левоинвариантных векторных полей». Икс л ( г )
  12. Возьмите ξ е г
  13. С использованием 11 ) и 12 ) смонтировать векторное поле Икс ξ е Икс л ( г ) , такой, что Икс ξ ( е ) "=" ξ (быть единственным потоком).
  14. Используйте технологию потоков в коллекторах [ 4 ] , чтобы описать единственную интегральную кривую Икс ξ проходящий в т "=" 0 через е е г : г ξ ( т ) .
  15. Установите известную экспоненциальную карту , чтобы определить фундаментальное векторное поле : А "=" ξ п ( п ) "=" д д т ( п ⋅ е Икс п [ т ξ ] ) | т "=" 0 "=" п ξ
  16. Возьмите вектор в е Т п ( п ) , а затем протолкнуть (вперед) его через волокно ( Φ г ) * | п ( в ) "=" ж .
  17. Затем возьмем определенную 1-форму 8 ) и образуем сопряженное действие: ю Φ г ( п ) [ ж ] "=" А д г [ ю п ( в ) ] "=" Φ г − 1 ю п ( в ) Φ г

после всего этого,

  1. Определите (убедите себя/осознайте) связь (Эресмана) на п как г -значная 1-форма ю п : Т п п → г что удовлетворяет для каждого п е п ,

ю п ( ξ п ( п ) ) "=" ξ ∀ ξ е г

А д г [ ю п ( в ) ] "=" Φ г − 1 ю п ( в ) Φ г ∀ в е Т п ( п ) , ∀ г е г

Мой вопрос

Итак, мой вопрос: почему учебники по общей теории относительности не определяют связь в главном расслоении? (или почему в общей теории относительности нам нужно «меньше математики», чтобы определить связь?).

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

[ 1 ] Кэррол.С. Пространство-время и геометрия

[ 2 ] Вайнберг. S. Гравитация и космология

[ 3 ] д'Инверно.Р. Знакомство с теорией относительности Эйнштейна

[ 4 ] Накахара.М. Геометрия, топология и физика

Что ж, вы можете определить общую теорию относительности на языке основных расслоений, который обычно называют «тетрадическим формализмом Палатини». Вы всегда можете переключаться между векторным и основным набором (определить связанный векторный пакет из некоторого заданного основного пакета и, наоборот, набор фреймов из некоторого заданного векторного пакета). Все такие понятия, как связи, кривизна, могут быть непосредственно связаны друг с другом через это соответствие.
С другой стороны, вы, конечно, также можете обсудить теорию Янга-Миллса на языке векторных расслоений...
Суть ответов говорит вам, что вы можете выполнять GR без явного использования пучков волокон (основной и ассоциированный). Однако они неизбежны при попытках поместить спинорные поля в искривленное пространство-время, что является математической основой так называемых теорий супергравитации. См. главу 13 классической книги Уолда по ОТО.

Ответы (4)

Это потому, что для того, чтобы добраться туда, как вы только что обрисовали, требуется значительное количество математики. Им нужно узнать о топологии, гладких структурах, многообразиях, связностях, расслоениях, расслоениях реперов, главных расслоениях и так далее.

Вместо этого они используют традиционный физический язык компонентов, который имеет свои преимущества, хотя и избегается математиками.

Это позволяет им быстро добраться до физики. Он также освящен как метод, используемый самим Эйнштейном.

Несомненно, это изменится в будущем, но не в ближайшее время. Речь идет об изменении физической педагогики с учетом всех математических технологий, позволяющих нам мыслить о физике более инвариантно. Это займет время.

Меня всегда бесило, как физики систематически закрывают «математическую» главу, чтобы быстро вернуться к физическим вещам. Например, изучая законы Ньютона, мы понятия не имели об интегралах. Но мы (слишком) быстро выучили интегралы на курсе физики.
@Stephen: Ну, в школе вас учат, что интегралы описывают площадь, и это интуитивно понятный способ думать о пределах, не вдаваясь в тонкости пределов и определение интеграла Римана или Лесбега. Более того, хотя площадь рассматривается как геометрическая единица, она также является очень физической вещью.
@MoziburUllah Зависит от того, что вы подразумеваете под «школой». Если это средняя школа, то исчисление может вообще не входить в учебную программу. Если физика бакалавриата, то интегралы Римана и Лебега, а также некоторое введение в теорию меры часто являются частью математической части курса. Но вы никогда не сможете научить всему. Кто-то будет жаловаться, что теорию множеств не преподавали. Другой человек будет жаловаться, что числовая математика и различные более глубокие теоретические аспекты методов конечных элементов и различные границы существования и ошибки для дифференциальных уравнений не преподавались.
Также помните, что многие физики элементарных частиц будут заниматься экспериментальной физикой, и их хлеб насущный будет статистикой и хостограммами. Не QFT и уж точно не соединения.
@Vladimir: Ну, моя школа, как и большинство школ в Великобритании, которые сдавали A-level, предлагала математику в учебной программе. Конечно, можно не заниматься математикой или даже естественными науками и выбрать, например, английский язык, географию и искусство. Тем не менее, выбор есть. Студенты должны сдавать GCSE (это первые экзамены, которые они сдают), и обычно математика и английский язык являются там основными предметами, а математика GCSE обычно включает введение в исчисление. Я ожидаю, что большинство учебных программ по математике во всем мире похожи, плюс-минус уровень ...
@Vladimir: ... Также я не понимаю, почему вы напоминаете мне, что некоторые физики не будут знакомы ни с QFT, ни с соединениями, поскольку примерно это то, что я говорю ...

Я не уверен, что понимаю, в каком смысле технология связок неактуальна в GR. Векторные поля на гладком многообразии М являются сечениями касательного расслоения Т М , который связан с (обычно искривленным) набором фреймов л М ; связь Г и кривизна р я е м являются (локальными представлениями) 1-формы связности ю и его кривизна Ом на л М .

В типичном низкоуровневом введении в ОТО связь возникает из-за того, что мы хотели бы определить дифференцирование векторных полей таким образом, который не зависит от базиса. Это требует введения вспомогательного поля Г с кривизной р я е м "=" д Г + Г ∧ Г . Вы, кажется, спрашиваете, почему это низкоуровневое введение не требует языка основных связок, но на самом деле мы проделали всю работу по построению связи главных связок и просто не формализовали ее настолько эффективно, насколько это возможно.

В конце концов, вам, конечно, не нужно говорить о главных связках, чтобы заниматься электромагнетизмом (иначе бы студенты мёрзли как мухи). Это правда, что электромагнетизм можно очень элегантно понять с помощью теории Янга-Миллса со структурной группой U ( 1 ) , но это не значит, что его нужно вводить на этом языке.

К тому времени, когда вы начинаете заниматься физикой элементарных частиц, можно было бы более разумно ожидать, что они столкнулись с подобными структурами в разных областях (например, при сравнении электромагнетизма и ОТО существует соответствие между А ↔ Г и Ф ↔ р я е м ). Следовательно, самое время формализовать идею калибровочной инвариантности с помощью основных расслоений, понять через эту призму теории прошлого (ОТО и ЭМ), а затем ожидать более сложных и абстрактных калибровочных теорий, содержащихся в стандартной модели (и расширениях). из них).

  1. Утверждения в вопросе очень странные: многие люди занимаются физикой элементарных частиц, даже не упоминая слово «связка». В физике совершенно принято обходить понятие пучка для калибровочного поля, говоря о поведении калибровочного поля «на бесконечности». См., например, этот вопрос для примеров этого языка. С практической точки зрения совершенно не так , что язык расслоений был бы более «требуемым» для физики элементарных частиц, чем для общей теории относительности. Как в GR, так и в не-GR вы можете просто определить ковариантную производную/соединение/параллельный транспорт, написав ∇ мю "=" ∂ мю + р ( А мю ) для А калибровочное поле со значениями в алгебре Ли и р представление калибровочного поля на дифференцируемом поле. В случае ОТО вы просто имеете символы Кристоффеля, рассматриваемые как г л ( н ) -значная 1-форма: Г мю е г л ( н ) с матричными компонентами ( Г ν о ) мю , действующий естественным образом на тензоры в н размеры.

  2. Однако в идее о том, что для общей связи, связанной с калибровочной теорией, требуется «больше математики», чем для связи Леви-Чивиты в общей теории относительности: в общей теории относительности связь живет непосредственно на касательном расслоении . многообразия, а связанное с ним «главное расслоение» - это просто (ортогональное) реперное расслоение многообразия. То есть даже при использовании языка расслоений нет необходимости обобщать на абстрактный случай основных расслоений и связанных с ними связок и представлений и еще много чего — все, что вам нужно, уже «естественно» дано вам стандартной дифференциальной геометрией: (ко)касательные расслоения, расслоение репера и их тензорные степени.

    На языке калибровочных теорий общего положения особенность ОТО как теории связности на главных расслоениях состоит в том, что калибровочная теория здесь не «абстрактна», а припаяна к касательному расслоению многообразия. Степени свободы, на которые действует соединение, не являются «внутренними», полностью отделенными от чего-либо более интуитивно геометрического, вместо этого они представляют собой ту же степень свободы обычных геометрических векторов. Следовательно, вам не нужно развивать общую теорию соединений, чтобы сформулировать соединение Леви-Чивиты GR - вам нужно только понять этот частный случай полностью спаянного соединения.

Как уже упоминалось в некоторых других ответах, это в основном вопрос педагогического выбора. В глубине души для определения связи действительно используется весь механизм пучков волокон, но в конкретном контексте общей теории относительности можно использовать несколько сокращений, даже когда речь идет о текстах, которые математически точны и избегают работы с компонентами. Для некоторых примеров Общая теория относительности Вальда, например, вводит понятие, вводя «производный оператор», а затем продолжает использовать метрику, чтобы выделить связь Леви-Чивиты — он кратко обсуждает этот педагогический выбор в справочном письме под названием Teaching General . Относительность (см. arXiv: gr-qc/0511073 ), с. 8. Если я правильно помню, Хокинг и ЭллисАналогичный подход используется в крупномасштабной структуре пространства-времени .

В частности, позвольте мне выделить немного Учения Уолда по общей теории относительности , с. 8, который, я считаю, дает прямой ответ на ваш вопрос:

В математических исследованиях понятие параллельного переноса обычно вводится в более общем контексте соединения на пучке волокон. Общие понятия расслоений и связностей имеют много важных приложений в математике и физике (в частности, для описания калибровочных теорий), но обычно требуется слишком обширный математический экскурс, чтобы включить общее обсуждение этих тем в общий обзор. курс относительности, даже на уровне выпускника.

Хотя в совершенно общем контексте не существует уникального понятия дифференцирования тензоров, при наличии метрики уникальное понятие дифференцирования выбирается путем наложения дополнительного требования, согласно которому производная метрики должна быть равна нулю. В евклидовой геометрии (или в специальной теории относительности) это понятие дифференцирования тензоров соответствует частичному дифференцированию компонент тензоров в декартовых координатах (или в глобальных инерциальных координатах). Однако в неплоских геометриях это понятие дифференцирования, называемое ковариантной производной, не соответствует частичному дифференцированию компонентов тензоров в любой системе координат.

В качестве примера справочника, использующего другой подход, я бегло просмотрел книгу Baez & Muniain « Калибровочные поля, узлы и гравитация» . не знаю ссылку в деталях, но я быстро просмотрел ее, так как она обсуждает калибровочную теорию перед обсуждением гравитации, и, похоже, следует такому подходу).

Вопрос о связях в общей теории относительности и физике элементарных частиц
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v