Глобальная и локальная калибровочная группа в математическом смысле - примеры физики?

Прочитав о принципиальном расслоении (квантовой) теории поля, я столкнулся с двумя разными определениями калибровочной группы:

  • Местная калибровочная группа грамм . Соответствует волокнам грамм -пучок. Локальные калибровочные преобразования соответствуют замене координат, в которых поля и форма записываются в тривиальных формах. Другими словами, насколько я понимаю, локальные калибровочные преобразования = функции перехода для тривиализации главного расслоения и связанных с ним расслоений.
  • Группа глобальных датчиков грамм знак равно А ты т ( п ) . Является группой диффеоморфизмов главных расслоений и, как утверждается, намного больше, чем грамм .

Я хотел бы понять, какие понятия в физике соответствуют этим двум, по-видимому, очень различным понятиям.

Во-первых, в физике есть понятие глобальной симметрии , насколько я понимаю, это не имеет никакого отношения к калибровке/расслоениям. Но, с другой стороны, предел калибровочной симметрии, когда параметр становится постоянным, является глобальной симметрией. Типичный U ( 1 ) пример: опыт ⁡ ( я α ( Икс ) ) знак равно U ( 1 ) калибровочное преобразование, но если α ( Икс ) знак равно α знак равно с о н с т . , то это глобальная симметрия. Есть ли более глубокая связь между глобальной симметрией и калибровочной «симметрией»/расслоениями?

Во-вторых, я был бы признателен за некоторые примеры, которые проясняют различие между локальными и глобальными калибровочными группами, упомянутыми выше. Если, например, мы возьмем прототип С U ( 2 ) калибровочная теория формы

л знак равно − 1 4 ( Ф мю ν а ) 2 + | ( Д мю ф ) а | 2 − В ( ф )
тогда мы можем поместить его в изображение пакета как С U ( 2 ) главный пучок, поля А мю а живущий в связанном расслоении
( п × с ты ( 2 ) ) / { ( п , А ) ∼ ( п грамм , А д грамм − 1 А ) }
и дублетное поле ф в фундаментальном представлении С U ( 2 ) живущий в связанном расслоении
( п × С 2 ) / { ( п , ф ) ∼ ( п грамм , р ( грамм − 1 ) ф ) } .
Итак С U ( 2 ) группа, о которой мы здесь говорим, — это локальная калибровочная группа. грамм выше, это правильно? Калибровочные преобразования применяются к координатным версиям полей в тривиализации связанных расслоений для переключения между разными координатами.

Теперь, если это так, какова глобальная калибровочная группа грамм тогда? В частности, я ищу ответы на следующие вопросы:

  • Применяются ли глобальные калибровочные преобразования к модели С U ( 2 ) теория выше?
  • В каком смысле глобальная калибровочная группа намного больше, чем локальная калибровочная группа?
  • Есть ли модельный пример, где можно четко записать локальную калибровочную группу и глобальную калибровочную группу?
  • Есть ли случаи, когда две группы совпадают?
  • Как это обсуждение относится к квантованию классических полей (если вообще относится)?

Редактировать

Я буду публиковать здесь ответы на различные вопросы в комментариях/ответах.

Об определениях, которые я использовал в своем тексте. Я взял их из своих конспектов лекций из курса математических калибровочных теорий, который читал математик. Хотя онлайн-версии этого курса нет, при необходимости я могу предоставить более подробные определения.

В частности, что касается различия между глобальным и локальным датчиком, я нашел эту информацию на nLab, которая, похоже, согласуется с моим определением: http://ncatlab.org/nlab/show/gauge+group . Хотя на этой странице приведены некоторые пояснения, на ней используется некоторая математическая терминология, с которой я не совсем знаком. Проблема как со страницей nLab, так и с лекцией, которую я посетил, заключается в том, чтобы установить связь с физикой (я физик).

Хорошо, я просто запишу определения из своих конспектов лекций.

Местный датчик

Позволять п → М директор грамм -пучок, ю соединение 1-форма на п . U я , U Дж ⊂ М такой, что U я ∩ U Дж ≠ ∅ над которым P тривиален:

ψ я : π − 1 ( U я ) → U я × грамм ψ Дж : π − 1 ( U Дж ) → U Дж × грамм
с переходными функциями
ψ я ∘ ψ Дж − 1 : ( U я ∩ U Дж ) × грамм → ( U я ∩ U Дж ) × грамм ψ я ∘ ψ Дж − 1 : Икс Икс Икс ( м , грамм ) ↦ ( м , ψ я Дж ( м ) грамм )
куда ψ я Дж : U я ∩ U Дж → грамм .

Используя эти упрощения, мы можем построить предпочтительные разделы следующим образом:

о я : U я → π − 1 ( U я ) о я : Икс м ↦ ψ я − 1 ( м , е ) .
Определять
ю я знак равно о я * ю ,
который является грамм -значная 1-форма на U я . Переключение между координатами на U я а также U Дж это то, что называется выбором местной калибровки. Мы хотели бы записать рецепт преобразования для ю я / Дж .

На G имеем каноническую 1-форму θ со значениями в грамм определяется следующим образом:

θ грамм ( Икс грамм ) знак равно А е грамм если  ( А * ) грамм знак равно Икс грамм
Посредством чего А * мы имеем в виду фундаментальное векторное поле на грамм соответствующий А . Можно показать, что 1-формы преобразуются следующим образом:
ю Дж знак равно А д ψ я Дж − 1 ю я + ψ я Дж * θ .
Мне это кажется калибровочным преобразованием калибровочных полей. А знак равно А мю д Икс мю в физике, где мы пишем
А ′ знак равно грамм А грамм − 1 + грамм д грамм − 1
и я даже считаю, что приведенное выше преобразование для ю Дж можно переписать как-то так
ю Дж знак равно А д ψ я Дж − 1 ю я + ψ я Дж − 1 д ψ я Дж ,
Тогда это выглядит как преобразование для А с грамм знак равно ψ я Дж − 1 .

Так много о локальном калибровочном преобразовании.

Группа глобальных датчиков

Группа глобального калибровочного преобразования грамм есть множество автоморфизмов главного расслоения P:

грамм знак равно А ты т ( п ) .
Это не следует путать со структурной группой грамм , которую иногда в литературе называют калибровочной группой, но она намного меньше.

(Глобальную) калибровочную группу можно описать тремя способами:

  1. грамм знак равно { ф : п → п | ф  является диффео.,  π ∘ ф знак равно π , ф ( п грамм ) знак равно ф ( п ) грамм ∀ грамм е грамм }
  2. грамм знак равно { ты : п → грамм | ты  гладкая ул.  ты ( п грамм ) знак равно грамм − 1 ты ( п ) грамм ∀ грамм е грамм } . Обратите внимание, что ф ( п ) знак равно п ⋅ ты ( п ) .
  3. грамм знак равно { разделы  с : М → Ф } , куда Ф знак равно ( п × грамм ) / ∼ с ( п , час ) ∼ ( п грамм , грамм − 1 п грамм ) ∀ грамм е грамм .

Если ю является 1-формой связности, которая соответствует выбору в горизонтальном касательном пространстве ЧАС на п , тогда ф * ю также является 1-формой связи, определяющей обратную связь

( ф * ЧАС ) п знак равно ( Д п ф ) − 1 ЧАС ф ( п ) ⇔ Д п ф ( ( ф * ЧАС ) п ) знак равно ЧАС ф ( п )
Мы заключаем, что грамм действует на соединения, но явная форма этого действия довольно сложна. Напротив, действие грамм на кривизне легко понять.

Из последнего уравнения выше мы заключаем, что ф карты ф * ЧАС к ЧАС , и поэтому он отображает Ом ~ , кривизна ф * ЧАС , к Ом , кривизна ЧАС :

ф ( Ом ~ ( Икс , Д ) ) знак равно Ом ( Икс , Д ) ∀ Икс , Д е Т м М .
Можно показать, что выполняется следующее соотношение преобразования:
Ом ~ знак равно А д ты − 1 Ом .
куда ты : п → грамм это карта из второго определения грамм выше соответствует ф .

Два подключения ЧАС 1 а также ЧАС 2 на P называются калибровочно эквивалентными, если ф е грамм с ф * ЧАС 2 знак равно ЧАС 1 .

Одна из вещей, которые мне любопытны, это то, что из локальных калибровочных преобразований закон преобразования для 1-формы ю похоже, это то, что мы называем калибровочным преобразованием калибровочных полей А (см. выше), но из глобального преобразования калибровочной группы преобразование кривизны — это то, что мы видим в физике, а именно, если Ф напряженность поля, соответствующая А , а также грамм элемент калибровочной группы, то

Ф → Ф ′ знак равно грамм Ф грамм − 1 .
Кроме того, как я сказал в самом начале, я хотел бы уточнить, чему соответствуют эти математические определения в том, что мы изучаем в физике. В физике, когда мы обсуждаем определенную калибровочную теорию, существует калибровочная группа, такая как U ( 1 ) , С U ( 2 ) и т. д., при которых поля преобразуются в определенных представлениях, а также сами калибровочные поля, преобразующиеся в присоединенном представлении. Теперь в математике я вижу различие локальной/глобальной калибровочной группы. Суть моего вопроса в том, чтобы понять это различие и связать его с физикой.

Комментарий к вопросу (v2): Подумайте о том, чтобы дать ссылку на приведенное выше определение глобальной калибровочной группы, поскольку традиционное определение в физике отличается. Подробнее о глобальном и локальном: физика.stackexchange.com /q/48188/2451
На нашем языке калибровочная симметрия подразумевает инвариантность относительно локальных непрерывных преобразований. Следовательно, выражение «глобальная шкала» является своего рода оксюмороном; Достаточно одного «глобального».
Обратите внимание, что, например, в КЭД глобальное калибровочное преобразование является особым видом калибровочного преобразования, а также особым видом глобального преобразования.

Ответы (3)

Признаюсь, меня немного смущает ваша терминология, но вот как я ее выучил: пусть п быть грамм -основной пучок и Σ пространство-время.

  • Калибровочная группа : волокна грамм -главный пучок над пространством-временем, т.е. группа грамм .
  • (Локальная) группа калибровочных преобразований : Группа диффеоморфизмов т : п → п , которые сохраняют волокна и грамм -эквивариантно, т.е. если π : п → Σ это проекция тогда π ∘ т знак равно π , а также т коммутировать с групповым действием на п .

Теперь в силу транзитивности группового действия на слоях можно определить функцию грамм т : п → грамм по т ( п ) знак равно п грамм т ( п ) ∀ п е п , и такие функции грамм : п → грамм обратно определить калибровочное преобразование с помощью т грамм ( п ) знак равно п грамм ( п ) пока они выполняют грамм т ( п час ) знак равно час − 1 грамм т ( п ) час ∀ час е грамм , поэтому у нас есть две альтернативные характеристики локальных калибровочных преобразований:

грамм знак равно { т | т е Д я ф ф ( п ) ∧ π ∘ т знак равно т ∧ т ( п час ) знак равно т ( п ) час ∀ час е грамм } знак равно { грамм | грамм е М а п с ( п , грамм ) ∧ грамм ( п час ) знак равно час − 1 грамм ( п ) час ∀ час е грамм }

Эквивариантные диффеоморфизмы п называются локальными, поскольку они применяют разные групповые элементы к каждой точке пространства-времени.

Теперь связанные связки будут затронуты следующим образом: пусть ф : Σ → п × грамм В быть разделом связанного пакета, т. е. полем. Согласно аргументу, аналогичному приведенному выше, они находятся в биекции с грамм -эквиариантные функции ф ф : п → В удовлетворяющий ф ф ( п грамм ) знак равно р ( грамм − 1 ) ф ф ( п ) . Это, по сути, причина того, что в U ( 1 ) симметрия, калибровочное преобразование е я α ( Икс ) действует на поля как ф ( Икс ) ↦ е − я α ( Икс ) ф ( Икс ) .

Итак, вы видите, локальная группа калибровочных преобразований намного больше, чем глобальная калибровочная группа, поскольку она допускает гораздо больше функций, чем только константные. Вы всегда можете четко записать глобальную калибровочную группу (она определяет вашу теорию!), но записать локальную более явно, чем я сделал выше, сложно. За U ( 1 ) , впрочем, это всего лишь { Икс ↦ е я α ( Икс ) Икс | α : п → U ( 1 ) гладко (достаточно) } , Я думаю. Я предполагаю, что случаи, когда две группы совпадают, требуют пространства-времени, которое является точкой, но я не совсем уверен в этом.

Кроме того, все это можно сделать классически, в калибровочных теориях нет ничего квантового по своей сути.

РЕДАКТИРОВАТЬ :

Хорошо, ваше редактирование очень помогло понять, что на самом деле здесь происходит.

Ваша глобальная калибровочная группа — это то, что физики называют группой калибровочных преобразований. Калибровочная группа калибровочной теории — это то, что вы называете локальной калибровочной группой (и то, что nLab также называет локальной калибровочной группой). Когда физики говорят, что калибровочная группа С U ( Н ) , они имеют в виду, что это то, что вы называете локальной калибровочной группой.

Глобальная калибровочная группа nLab — это просто группа преобразований (не обязательно калибровочных преобразований, терминология здесь ужасна, я знаю), которая оставляет все наблюдаемые инвариантными, т. е. это группа симметрий теории ( а не группа симметрий теории). лагранжиана), группа калибровочных преобразований, естественно, является его подгруппой. Разница в том, что эта глобальная калибровочная группа может содержать преобразования, которые на самом деле не имеют ничего общего со структурой локальной калибровочной группы, и могут содержать вещи, которые не являются калибровочными преобразованиями. Эта глобальная калибровочная группа может существовать даже в том случае, если у вас нет явной калибровочной теории, и она по своей сути является концепцией КТП.

В других новостях, вы правы, ваша форма подключения ю калибровочное поле А физической калибровочной теории, и она преобразуется именно так, как вы написали. Теперь проблема с калибровочным полем заключается именно в этом уродливом преобразовании, поэтому мы строим преобразование кривизны в присоединенном представлении и называем его напряженностью поля Ф . Тогда действие чистой (Янг-Миллса) калибровочной теории (с точностью до префакторов) определяется выражением

∫ Σ Т р а д ( Ф ∧ ⋆ Ф )

так как действие должно быть инвариантным относительно калибровочных преобразований и Т р а д ( Ф ∧ ⋆ Ф ) практически единственный объект, который мы можем построить из калибровочных полей, который является инвариантным и может быть проинтегрирован по пространству-времени.

Привет, ACuriousMind, спасибо за разъяснения! Думаю, теперь я лучше понимаю, что происходит. Особенно был полезен ваш комментарий о том, что глобальная калибровочная группа на самом деле не обязательно должна иметь отношение к калибровочной теории, а скорее выражает все возможные симметрии теории. А написал несколько комментариев к ответу Кристофа, если хотите можете кинуть их посмотреть и мы можем обсудить дальше.

Названия этих существ — настоящая каша, и в основном существуют две независимые схемы записи: математическая и физическая.

Позволять п → М быть грамм -основной пучок. затем

  • грамм математики называют структурной группой, а медики — калибровочной группой.
  • (бесконечномерная) группа автоморфизмов п , или, что то же самое, группа секций А д ( п ) , называется калибровочной группой (в математике) или группой калибровочных преобразований (в физике).
  • Если у вас тривиальный пакет п знак равно М × грамм , группу автоморфизмов можно отождествить с отображениями из М к грамм (поскольку А д ( п ) знак равно М × грамм в таком случае). Следовательно, имеет смысл говорить о постоянных калибровочных преобразованиях, которые часто называют глобальными калибровочными преобразованиями.

Обратите внимание, что нет никакой разницы между тем, что вы называете локальными и глобальными калибровочными преобразованиями. Это одно и то же, просто рассматриваемое с разных точек зрения. Калибровочное преобразование по определению является автоморфизмом вашего расслоения п . Если вы посмотрите на это преобразование в локальной тривиализации ( U , т ) то вы видите, что калибровочное преобразование в точности соответствует функции U → грамм которые действуют на тривиализацию (и на других существ, живущих на U такие как соединения, формы кривизны и локальные сечения). Следовательно, калибровочное преобразование можно интерпретировать как изменение тривиализации (с тем же открытым покрытием) или, на языке физики, как изменение координаты. И наоборот, семейство карт U я → грамм на тривиальных множествах U я ⊆ М удовлетворяющие определенным соотношениям совместимости на пересечениях, порождают глобальный раздел А д ( п ) , то есть калибровочное преобразование. Таким образом, ваши «локальные калибровочные преобразования» - это просто «глобальные преобразования» в участках координат.

Здравствуйте, Тобиас, я понимаю вашу точку зрения о том, что локальное и глобальное калибровочное преобразование в принципе одно и то же, я на самом деле подозревал одно и то же. Однако как насчет утверждения, что группа глобальных калибровочных преобразований намного больше, чем группа локальных калибровочных преобразований?
Хорошо, я понял, что имеется в виду, что группа калибровочных преобразований намного больше, чем группа структур, но это очевидно.

Это не совсем полный ответ, а скорее слишком большой комментарий к терминологии.

Определения от nLab не согласуются с Giovanni Giachetta, Luigi Mangiarotti, Gennadi Sardanashvily: Advanced Classical Field Theory , которые я кратко резюмирую:

Авторы называют группу грамм (принципал) грамм -комплект структурной группы . Это стандартная терминология, которую также можно найти в учебниках Кобаяси, Номидзу и других учебниках по дифференциальной геометрии. В литературе по физике эту группу можно назвать «калибровочной группой».

Группа калибровочных преобразований — это группа автоморфизмов эквивариантных расслоений, а калибровочная группа — группа автоморфизмов вертикальных эквивариантных расслоений (т. е. покрывающих единицу на базовом пространстве). Последнее - это то, что вы назвали «глобальной калибровочной группой». Проведение этого различия может быть нестандартным - я полагаю, что большинство авторов требуют, чтобы калибровочные преобразования были вертикальными. Поскольку калибровочная группа дает калибровочные симметрии соответствующей лагранжевой теории поля, это определение кажется разумным.

Как вы правильно заметили, калибровочная группа изоморфна группе глобальных сечений грамм -расслоение, связанное с основным расслоением посредством сопряжения. Теперь карты переходов между локальными тривиализациями также задаются секциями того же расслоения, но локальными. Это может мотивировать термин «локальная калибровочная группа», который будет отличаться от (обычно конечномерной) структурной группы.

Локально «глобальное калибровочное преобразование», конечно, должно быть выражено как семейство «локальных калибровочных преобразований». Если физическая теория калибровочно-инвариантна, на самом деле не имеет значения, имеете ли вы дело с «локальным» или «глобальным» калибровочным преобразованием. По той же причине общая ковариантность общей теории относительности означает, что ничего плохого не произойдет, если мы объединим координатные преобразования и диффеоморфизмы.

Спасибо за ответ. Это поддерживает мысли, которые у меня были по этому поводу. Таким образом, если предположить, что физик почти всегда работает с координатами, для него оба преобразования действительно выглядят одинаково, так как оба сводятся к преобразованию предпочтительных сечений и, следовательно, к изменению компонент поля, которые являются не чем иным, как координатами по отношению к этим предпочтительным сечениям. .
Учитывая, что единственная причина различия, которую я вижу, заключается в том, что глобальное калибровочное преобразование действительно является чем-то вроде роскоши, которую мы можем себе позволить, и просто отражает свободу выбора координат. Это можно сделать и на тривиальном расслоении / с обычными функциями и ничего не говорит о «скручивании» слоев. Локальные калибровочные преобразования, напротив, выражают невозможность найти глобальные координаты в скрученных системах, они являются переходными функциями. Совокупность всех локальных калибровочных преобразований содержит информацию о скручивании (реконструкционная теорема). Правильный?
Еще одна мысль, которая только что пришла мне в голову: глобальные калибровочные преобразования — это просто общие симметрии теории, НО с тем ограничением, что они сохраняют локальную калибровочную структуру. Именно это и обеспечивает условие эквивариантности автоморфизмов расслоения.
Глобальная и локальная калибровочная группа в математическом смысле - примеры физики?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v