Является ли частная производная вектором или двойственным вектором?

Ниже следует несколько выдержек из книги Б. Косякова « Введение в классическую теорию частиц и полей» (2007).

Спорные/вводящие в заблуждение/неверные утверждения отмечены в$\color{Red}{\rm red}$. Мы согласны с ОП в том, что утверждения, отмеченные в$\color{Red}{\rm red}$противоречат стандартной терминологии/условиям. Некоторые (не все) правильные утверждения отмечены в$\color{Green}{\rm green}$.

1.2 Аффинные и метрические структуры

[...] Позволять${\bf e}_1$,$\ldots$,${\bf e}_n$а также${\bf e}^{\prime}_1$,$\ldots$,${\bf e}^{\prime}_n$— два произвольных основания. Каждый$\color{Green}{\rm vector}$последнего базиса можно разложить по$\color{Green}{\rm vectors}$прежней основы:

$${\bf e}^{\prime}_i ~=~ {\bf e}_j~L^j{}_i .\tag{1.37}$$

[...] Таким образом, линейные функционалы образуют двойственное векторное пространство$V^{\prime}$. Если$V$является$n$-размерный, так$V^{\prime}$. Действительно, пусть${\bf e}_1$,$\ldots$,${\bf e}_n$быть основой в$V$. Тогда любой$\omega\in V^{\prime}$определяется$n$вещественные числа$\omega_1=\omega({\bf e}_1)$,$\ldots$,$\omega_n=\omega({\bf e}_n)$, а значение$\omega$на${\bf a} = a^i {\bf e}_i$дан кем-то

$$\omega({\bf a}) ~=~ \omega_i a^i .\tag{1.52}$$ Мы видим, что $V^{\prime}$изоморфен $V$. Вот почему мы иногда называем линейные функционалы $\color{Green}{covectors}$. Более пристальный взгляд на (1.52) показывает, что $\color{Green}{\rm vector}$ ${\bf a}$можно рассматривать как линейный функционал на $V^{\prime}$. Можно показать (задача 1.2.3), что замена базиса (1.37) влечет преобразование $\omega_i$по тому же закону: $$\omega^{\prime}_i ~=~\omega_j ~L^j{}_i .\tag{1.53}$$ Обычно мы опускаем аргумент $\omega({\bf a})$, и определить $\omega$с его компонентами $\omega_i$. [...]

1.3 Векторы, тензоры и$n$-Формы

[...] Простым обобщением векторов и ковекторов являются тензоры. Алгебраически тензор$T$ранга$\color{Green}{(m,n)}$является полилинейным отображением

$$\color{Green}{T: \underbrace{V^{\prime} \times\ldots\times V^{\prime}}_{m\text{ times}} \times \underbrace{V \times\ldots\times V}_{n\text{ times}} \to \mathbb{R}}. \tag{1.112}$$ Мы уже встречались с примерами тензоров в предыдущем разделе: скаляр — это ранг $(0,0)$тензор, а $\color{Green}{\rm vector}$это ранг $\color{Green}{(1,0)}$тензор, а $\color{Green}{\rm covector}$это ранг $\color{Green}{(0,1)}$тензор, метрика $g_{ij}$это ранг $(0,2)$, пока $g^{ij}$это ранг $(2,0)$тензор и дельта Кронекера $\delta^i{}_j$это ранг $(1,1)$тензор. Как только $\color{Green}{\rm four~vectors}$можно рассматривать как объекты, которые изменяются по закону $$a^{\prime \mu} ~=~ \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}} ~a^{\nu} ,\tag{1.113}$$ куда $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$- матрица преобразования Лоренца, связывающая две системы отсчета, поэтому тензоры ранга $(m,n)$могут быть описаны в терминах представлений группы Лоренца требованием, чтобы их закон преобразования был $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ \color{Red}{\Lambda^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots\Lambda^{\beta_n}{}_{\nu_n}}. \tag{1.114}$$

[...] Дифференциальный оператор

$$\partial_{\mu}~=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \tag{1.140}$$ трансформируется как $\color{Green}{\rm covariant~vector}$. Чтобы увидеть это, воспользуемся цепным правилом дифференцирования: $$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}~=~\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime \nu}}, \tag{1.141}$$ и заметим, что для линейных преобразований координат $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$ $$\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}. \tag{1.142}$$ Мы всегда будем использовать сокращенную запись $\partial_{\mu}$, и рассматривать этот дифференциальный оператор как обычный $\color{Green}{\rm vector}$. [...]

1.4 Линии и поверхности

[...] Мы определяем гиперповерхность$M_{n−1}$по

$$F(x) ~=~ C , \tag{1.176}$$ куда $F$— произвольная гладкая функция $\mathbb{M}_4 \to \mathbb{R}$. Дифференцирование (1.176) дает $$(\partial_{\mu}F) dx^{\mu} ~=~ 0 . \tag{1.177}$$ Можно просмотреть $dx^{\mu}$как $\color{Green}{\rm covector}$, а также $\partial_{\mu}F$как $\color{Red}{\rm vector}$. Верно, $dx^{\mu}$трансформируется как $\color{Red}{\rm covector}$при линейных преобразованиях координат $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$, $$dx^{\prime\mu} ~=~ \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^{\nu}}dx^{\nu} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~dx^{\nu}, \tag{1.178}$$ а также $\partial_{\mu}F$трансформируется как $\color{Red}{\rm vector}$: $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}\color{Red}{\Lambda^{\nu}{}_{\mu}}. \tag{1.179}$$ В пространстве Минковского векторы и ковекторы могут быть преобразованы друг в друга согласно (1.121). По этой причине мы часто будем рассматривать $dx^{\mu}$как векторы. [...]

А. Дифференциальные формы

[...] Эли Картан предложил использовать дифференциальные координаты$dx^i$в качестве удобной основы$\color{Green}{\rm one~forms}$. Дифференциалы$dx^i$трансформироваться как$\color{Red}{\rm covectors}$при локальной замене координат,

$$dx^{\prime j}~=~ \frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}dx^i. \tag{A.1}$$ [Если изменение координат специализировано для евклидовых преобразований $x^{\prime j} =\color{Red}{L^j{}_i} ~x^i + c^j$, тогда $\partial x^{\prime j} /\partial x^i$сводится к $\color{Red}{L^j{}_i}$, ортогональная матрица с постоянными элементами, и (A.1) $\color{Red}{\rm becomes}$(1.53), закон преобразования для $\color{Green}{\rm covectors}$.] [...]

Заметки:

1. Исправленное уравнение (1.114) читается

   $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ (\Lambda^{-1})^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots(\Lambda^{-1})^{\beta_n}{}_{\nu_n}. \tag{1.114}$$

2. Исправленное уравнение (1.179) читается

   $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}(\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\mu}. \tag{1.179}$$

3. Чтобы объяснить, почему (П.1) не превращается в (1.53), пусть${\bf e}^1$,$\ldots$,${\bf e}^n$, быть (дуальным) базисом в$V^{\prime}$. В свете (1.53) для того, чтобы ковектор$\omega=\omega_i{\bf e}^i\in V^{\prime}$чтобы быть независимым от выбора базиса, дуальный базис должен преобразовываться как

   $${\bf e}^{\prime i} ~=~ M^i{}_j ~{\bf e}^j, \tag{*}$$ куда $$M~=~L^{-1}. \tag{1.45}$$ Определение двойных оснований${\bf e}^i\leftrightarrow dx^i$, приведенное выше уравнение (*) становится (A.1). Более того, в предложении ниже ур. (А.1),$L$матрицу следует заменить на$M$матрица в двух местах.

4. Наконец, давайте ответим на вопрос заголовка ОП: Частная производная$\partial_{\mu}F$(скалярной функции$F$) является компонентой кокасательного вектора$dF=(\partial_\mu F)dx^\mu$, а непримененная частная производная$\partial_{\mu}$является локальным базисным элементом касательного вектора. Оба$\partial_{\mu}F$а также$\partial_{\mu}$преобразуются как ковекторы.

Я быстро просмотрел страницы 59 и 60 «Гравитации», раздел 2.6 «Градиенты и производные по направлениям», чтобы посмотреть, есть ли там что-нибудь, что мы можем использовать для прояснения этого вопроса.

В этом разделе градиент$f$является$\mathbf df$, производная по направлению вдоль вектора$\mathbf v$является$\partial_{\mathbf v}f$и выполняется следующее соотношение:

Тогда, предполагая набор базисных форм$\mathbf dx^{\mu}$и дуальные базисные векторы$\mathbf e_{\mu}$у нас есть

Итак, согласно MTW в этом разделе,$\partial_{\mu} f$являются компонентами _$\mathbf df$на основании этого.

Таким образом, должно быть так, что согласно второму уравнению вопроса

это просто расширение формы$\mathbf df$на основе форм$\mathbf dx^{\mu}$

Почему Косяков идентифицировал это как сокращение формы и вектора, я понятия не имею.

Я считаю, что это просто неточное использование языка автором - ничего таинственного не происходит, просто это не очень хорошо сказано:

Как указано в вопросе, для гиперповерхности$\Sigma$определяется

мы находим, что

должен держаться$\Sigma$. Это важно - это означает, что 1-форма$\mathrm{d}F$действующие на касательные векторы $\Sigma$должны исчезнуть тождественно:

Но мы можем распознать$(\partial_\mu F)v^\mu$как скалярное произведение векторов$v$а также$g(\mathrm{d}F,\dot{})$, причем последний является обычным двойником$\mathrm{d}F$с компонентами$\partial^\mu F$. С$T_x\Sigma \subset T_x\mathbb{M}^4$естественно, это означает, что$\mathrm{d}F = 0$действительно выметает гиперповерхность в касательном пространстве, которая, говоря небрежным языком, имеет градиент в качестве своей нормали (хотя на самом деле она двойственна ей).

Я полагаю, вы запутались, потому что вы смешиваете родственные, но немного разные количества.

Да, частная производная — это вектор, и да, вектор — это объект с верхним индексом.

Приведенное выше утверждение может показаться противоречивым, но на самом деле это не так по следующей причине. Вектор — это абстрактная величина, являющаяся элементом «векторного пространства». В этом случае обсуждаемое векторное пространство является касательным пространством. В векторном пространстве можно выбрать базис, любой базис. Как только базис выбран, любой другой вектор в векторном пространстве может быть описан простым набором чисел. Например, в${\mathbb R}^2$(скорее соответствующее аффинное пространство), можно выбрать базис векторов как${\hat x}$а также${\hat y}$. Как только это будет сделано, любой другой вектор можно будет описать просто двумя числами. Например, числа$(1,2)$действительно подразумевает, что речь идет о векторе${\hat x} + 2 {\hat y}$.

Как здесь применимо обсуждение выше?

В касательном пространстве естественным выбором базиса является набор частных производных$\partial_\mu = \{ \partial_0 , \partial_1 , \partial_2 , \partial_3 \}$(при условии, что мы находимся в$M_4$. Каждая частная производная сама по себе является вектором.

Теперь, когда этот базис выбран, любой другой вектор можно описать набором из 4 чисел.$v^\mu = (v^0 , v^1 , v^2 , v^3)$что соответствует вектору$v^\mu \partial_\mu$. Именно в этом смысле смелое утверждение, приведенное выше, верно. Часто, поскольку основа частных производных очевидна, вектор просто описывают как объект с верхним индексом$v^\mu$.

Далее обсудим ковекторы (величины с меньшим индексом). Это элементы двойственного векторного пространства (которое является пространством линейных функций на векторном пространстве) касательного пространства. Учитывая базис частных производных на касательном пространстве, тогда можно иметь естественный базис в кокасательном пространстве, обозначаемый$dx^\mu = \{ dx^0 , dx^1 , dx^2 , dx^3 \}$. Обратите внимание, что каждый дифференциал сам по себе является ковектором. Этот естественный базис определяется соотношением$dx^\mu (\partial_\nu ) = \delta^\mu_\nu$. Как и прежде, после выбора этого естественного базиса любой элемент кокасательного пространства можно описать четырьмя числами, а именно$v_\mu = \{ v_0, v_1 , v_2 , v_3 \}$что соответствует ковектору$v_\mu dx^\mu$.

Таким образом ,$\partial_\mu$для каждого$\mu$соответствует 4-мерному вектору, тогда как$v^\mu$для каждого$\mu$соответствует 4 компонентам одного вектора. Сходным образом,$dx^\mu$для каждого$\mu$соответствует 4-мерному ковектору, тогда как$v_\mu$для каждого$\mu$соответствует 4 компонентам одного ковектора.

PS 1 - Иногда людям нравится использовать базы, отличные от$\partial_\mu$а также$dx^\mu$на касательном и кокасательном пространствах соответственно. Они известны как некоординатные базы.

PS 2 - Просто для ясности,$\partial_\mu$является вектором, но$\partial_\mu F$это функция

Интересно отметить, что Эли Картан не писал$dx^i$как мы делаем сегодня. Он еще не усвоил осторожных, Риччи-подобных различий с индексами. для него,$x_i$не была компонентой или координатой чего-либо: это была функция на многообразии или, по крайней мере, на малой окрестности, поэтому она была формой нулевой степени, не имела вообще никаких компонент, не была ни ковариантной, ни контравариантной, это все равно в качестве$x$или же$X$или же$Z$. Теперь «d» — это оператор, который при применении к p-формам дает$(p+1)$формы, поэтому применительно к$x_1$, это дает 1-форму, которая является кокасательным вектором в каждой точке многообразия. Итак, ковектор, значит, ковариант. Так$dx_i$имеет ковариантные компоненты. Но это ковектор. Его компоненты$\partial x_i\over \partial x_1$и т.д. Теперь таким же образом,$\partial _{x_i}$есть вектор (поле, т. е. вектор, зависящий от точки многообразия). Он не является компонентом чего-либо, но имеет компоненты. Это должно исправить пункт 4 @Qmechanic .

Ваше недоумение разрешится, если вы не будете использовать индексы для координатных функций, а назовете их x, y и z. Или даже просто х и у. Двух измерений часто бывает достаточно, чтобы прояснить большинство вещей. И забудьте об эйнштейновском соглашении или знаках суммирования, выпишите суммы явно. Использование индексов для обозначения различных объектов, в данном случае функций, может вызвать серьезную путаницу с использованием индексов для обозначения различных компонентов объекта. Картан поставил индексы под х,$x_i$, потому что мы думали о$n$различные объекты, а не$n$компоненты одного объекта. Скалярнозначные функции вообще не имеют компонентов....