Позволятьнα
— векторная плотность веса 1. Определить ковариантную производную∇
такое, что при преобразовании координатИксмю→Икс¯мю
∇рнα→∣∣∣дИкс¯мюдИксν∣∣∣∂Иксо∂Икс¯р∂Икс¯α∂Иксβ∇онβ
Является ли это правильной формой ковариантной производной?:
дαν≡∇νнα"="∂νнα+Гανβнβ−Грνрнα
Я пытаюсь вычислить действие коммутатора ковариантных производных на
нα
, и, в конечном счете, аналог того, что означает тензор Риччи для векторов. Вот что у меня есть до сих пор:
∇мюдαν−∇νдαмю= (∂мюдαν+Гαμ βдβν−Гомк νдαо−Грμ ρдαν) − (∂νдαмю+Гανβдβмю−Гоνмюдαо−Грνрдαмю)
= (∂мю(Гανβнβ−Грνрнα) +Гαμ βдβν−Грμ ρ(∂νнα+Гανβнβ) ) −(∂ν(Гαμ βнβ−Грμ ρнα) +Гανβдβмю−Грνр(∂мюнα+Гαμ βнβ) )
= (∂мюГανβнβ−∂мюГрνрнα+Гαμ β(Гβνγнγ−Грνрнβ) —Грμ ρГανβнβ) —(∂νГαμ βнβ−∂νГрμ ρнα+Гανβ(Гβμ γнγ−Грμ ρнβ) —ГрνрГαμ βнβ)
"="рαβмк νнβ+ ( -∂мюГрνрнα−Гαμ βГрνрнβ−Грμ ρГανβнβ) - ( -∂νГрμ ρнα−ГανβГрμ ρнβ−ГрνрГαμ βнβ)
∇мю∇νнα−∇ν∇мюнα"="рαβмк νнβ− (∂мюГрνр−∂νГрμ ρ)нα
∇мю∇νнмю−∇ν∇мюнмю= [рβν− (∂βГрνр−∂νГрβр) ]нβ
Может ли это быть правильным? Я подозреваю, что тензор в скобках на RHS имеет антисимметричную часть.
Росснг
Росснг