Что квантового в квантовом разладе?

Фон для других посетителей

Дискорд определяется как разница между двумя величинами. Один количественно определяет общие корреляции между двумя подсистемами, а другой количественно определяет классические корреляции между двумя подсистемами. Таким образом, дискорд отличен от нуля только в том случае, если состояние имеет неклассические корреляции. Сепарабельные состояния не могут иметь неклассических корреляций (я покажу это ниже), но некоторые сепарабельные состояния имеют ненулевую диссонанс (я покажу пример).

Это звучит как противоречие, о чем и задается вопрос.

Решение состоит в том, что термин «неклассическая корреляция» перегружен: он имеет два неэквивалентных значения в предыдущем абзаце. Я отвечу на вопрос, объяснив, чем два значения «неклассической корреляции» отличаются друг от друга и как они соотносятся с несогласием и разделимостью.

Неэквивалентные значения «неклассической корреляции»

Позволять$\rho$обозначают состояние, представленное в виде матрицы плотности.

• Определение 1: Состояние$\rho$имеет неклассические корреляции, если никакая локальная модель скрытых переменных не может учесть все ожидаемые значения формы$\text{trace}(\rho'\, X\otimes Y)$где$X,Y$являются наблюдаемыми на первой и второй подсистеме соответственно, и где$\rho'$получается из$\rho$с использованием одноподсистемных измерений и постселекции. (Последняя уступка необходима для того, чтобы выявить скрытую нелокальность некоторых смешанных запутанных состояний.)

• Определение 2: Состояние$\rho$имеет неклассические корреляции, если его нельзя записать в виде смеси чистых состояний, каждое из которых является состоянием продукта, с использованием фиксированного ортогонального базиса для каждой подсистемы.

Эти два определения не эквивалентны: условие в определении 1 влечет за собой условие в определении 2, но не наоборот. Разделимость относится к определению 1. Разногласие относится к определению 2.

Разделимость и определение 1

Рассмотрим данную факторизацию гильбертова пространства,${\cal H}={\cal H}_A\otimes{\cal H}_B$. Смешанное состояние$\rho$называется сепарабельным , если его можно записать в виде взвешенной суммы сепарабельных чистых состояний,

$$\newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \rho = \sum_{s} w_s |s\ra\,\la s| \tag{1a}$$ с $$|s\ra = |s_A\ra\otimes |s_B\ra. \tag{1b}$$ Состояния первой подсистемы$|s_A\ra$не обязательно должны быть взаимно ортогональны, равно как и состояния второй подсистемы.$|s_B\ra$.

Состояние вида (1) удовлетворяет условию

$$\text{trace}(\rho\, X\otimes Y) = \sum_{s} w_s \la s_A|X|s_A\ra\,\la s_B|Y|s_B\ra. \tag{2}$$ Уравнение (2) можно использовать для построения модели локальных скрытых переменных для всех величин вида$\text{trace}(\rho\, X\otimes Y)$, поэтому сепарабельные состояния не имеют неклассических корреляций в смысле определения 1.

Раздор и определение 2

Точное определение раздора немного сложно. Чтобы этот ответ был кратким, вместо того, чтобы рассматривать точное определение, я приведу результат, который связывает его с определением 2.

Во-первых, еще немного предыстории. Штат$\rho$называется квантово-классическим (т. е. квантовым в первой подсистеме и классическим во второй подсистеме), если его можно записать в виде (1) так, что все$B$государства$|s_B\ra$взаимно ортогональны. Эта терминология исходит из того факта, что классическую физику можно рассматривать как частный случай квантовой физики, в которой все наблюдаемые коммутируют друг с другом и в котором состояние всегда является собственным состоянием всех наблюдаемых. В этом смысле состояния в классической физике всегда ортогональны друг другу (см. Что делает теорию «квантовой»? ).

Вот результат, который связывает разногласие с определением 2:

• Штат$\rho$является квантово-классическим тогда и только тогда, когда его диссонанс$D(A|B)$равен нулю.

Дискорд асимметричен: обычно$D(A|B)\neq D(B|A)$, что соответствует асимметрии между квантово-классическим и классически-квантовым. Опять же, «классический» понимается здесь как частный случай «квантового», поэтому множество квантово-классических состояний включает в себя множество классически-классических состояний, для которых$D(A|B)=D(B|A)=0$.

Этот результат кратко сформулирован в разделе 3.6.4 книги «Квантовые корреляции в составных системах при глобальном унитарном управлении» ( https://chaos.if.uj.edu.pl/~karol/prace/Luc18.pdf ), где цитируется более полный обзорный документ «Квантовый диссонанс и его союзники: обзор» ( https://arxiv.org/abs/1703.10542 ).

Сепарабельное состояние может иметь ненулевую дискордность

Чтобы доказать, что определения 1 и 2 не эквивалентны, вот разделимое двухкубитное состояние с ненулевым разногласием:

$$\rho \propto |x\ra\,\la x| + |y\ra\,\la y| \tag{3a}$$ с $$\begin{align} |x\ra &\propto |0\ra\otimes |0\ra \\ |y\ra &\propto |1\ra\otimes |+\ra \\ |+\ra &\propto |0\ra+|1\ra. \tag{3b} \end{align}$$ Это явно отделимо. Чтобы показать, что его разногласия$D(A|B)$отличен от нуля, я буду использовать условие, рассмотренное в уравнении (5) «Необходимое и достаточное условие для ненулевого квантового разлада» ( https://arxiv.org/abs/1004.0190 ), которое напрямую связано с определением 2: состояние$\rho$имеет ненулевую дискордность$D(A|B)$тогда и только тогда, когда существует множество взаимно ортогональных$1$-мерные проекционные операторы$P$для второй подсистемы такой, что $$\rho = \sum_P (1\otimes P)\rho (1\otimes P). \tag{4}$$ Для состояния (3) это условие влечет за собой пару условий $$\begin{align} \sum_P P|0\ra\,\la 0|P &= |0\ra\,\la 0| \\ \sum_P P|+\ra\,\la +|P &= |+\ra\,\la +|, \tag{5} \end{align}$$ что, в свою очередь, означает, что оба состояния$|0\ra$и$|+\ra$являются собственными состояниями обоих$P$s (чтобы убедиться в этом, умножьте оба уравнения влево на одно из$P$с), что невозможно, поскольку$|0\ra$и$|+\ra$не являются взаимно ортогональными. Это показывает, что состояние (3) имеет ненулевую дискордность, хотя и сепарабельно.

Как *следует* использовать термин «неклассические корреляции»?

Является ли определение 2 хорошим использованием термина «неклассические корреляции »? Это вопрос мнения, но лично я думаю, что язык сбивает с толку.

Если мы предпочитаем язык определения 1, то мы могли бы описать сепарабельное состояние с ненулевым разногласием как имеющее «классические корреляции между неклассическими подсистемами». Это кажется мне более понятным.

Независимо от того, описываем мы это как имеющее «неклассические корреляции», состояния с ненулевым разногласием действительно проявляют квантовые эффекты. Вопрос уже признал это, и я приведу пример: статья «Квантовый разлад как ресурс для квантовой криптографии» ( https://arxiv.org/abs/1309.2446 ) показывает, что ненулевой разлад — но не запутанность — является необходимым условием для безопасного распределения квантовых ключей. (Запутывание становится необходимым, если подслушиватель имеет доступ к источникам шума.) Причина связана с теоремой о запрете клонирования: подслушиватель может клонировать переданное состояние кубита, если оно ограничено ортогональным набором, но не в том случае, если оно взято из неортогональное множество.