Как использование состояния Белла приводит к cos(18π)cos⁡(18π)\cos\left(\frac{1}{8}\pi \right) вероятности выигрыша в игре CHSH?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$

Действительно, рассказ о$\cos\frac{\pi}{8}$, не часто говорят, за исключением уроков квантовой механики, и даже там его часто оставляют как «упражнение, оставленное читателю». Это число не очевидно на первый взгляд, но является результатом оптимизации и прямого применения правил вычисления квантовой механики. Чего, по-видимому, не хватает в вашем описании, чтобы найти его, так это описания измерений.

Чтобы все было (относительно) просто, я предположу, что мы имеем дело с одиночными фотонами, запутанными в поляризации, и я буду рассматривать только линейную поляризацию. Обозначим через$α$(реп.$β$) угол, определяющий измерение Алисы (соответственно Боба). Измерение поляризации одиночного фотона в направлении$α$, представляет собой бинарное измерение, дающее$0$если фотон ориентирован вдоль$α$, и$1$если он ориентирован вдоль$α+\frac{π}{2}$. Измерение в этом направлении эквивалентно первому повороту фотона на угол$-α$, а затем измерьте его в вертикально-горизонтальном (он же$α=0$) основа. Это вращение представляет собой линейное преобразование, преобразующее состояние Алисы следующим образом:

$$\ket{0}:↦\cosα\ket0 - \sinα \ket1$$ $$\ket{1}:↦\sinα\ket0 + \cosα \ket1$$ Состояния Боба преобразуются аналогичным образом, что приводит для глобального состояния к $$\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}:↦\\(\cosα\cosβ+\sinα\sinβ)\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}+(-\cosα\sinβ+\sinα\cosβ)\frac{\ket{01}-\ket{10}}{\sqrt2}$$

Чтобы найти оптимальное измерение для игры CHSH, вам нужно оптимизировать возможные наборы углов.$(α,α',β,β')$. Конечно, в такой оптимизации помогает сообразительность и знание тригонометрических формул. (Зная, что ответ$(0,\frac{π}{4},\frac{π}{8},\frac{3π}{8})$тоже помогает!)

Следуя привычкам в этой области, я оставляю полное вычисление в качестве упражнения читателю ;-).

Между прочим, это только показывает, что игру CHSH можно выиграть с вероятностью успеха 85% с квантовой запутанностью. Тот факт, что нельзя сделать лучше, известен как граница Цирельсона и включает в себя линейную алгебру.

Сноски

¹: *Если бы это было более очевидно, многие дискуссии о природе запутанности могли бы иметь место задолго до 1960-х годов *