Что лежит в основе принципа Гюйгенса?

Основанием принципа Гюйгенса является, по сути, наблюдение, что функция Грина для волнового уравнения Гельмгольца является источником сферической волны.

$$\psi_G(\vec{r})=\frac{e^{i\,k\,r}}{r}$$

Поскольку примерно монотонные звуковые волны также удовлетворяют уравнению Гельмгольца, приведенные ниже рассуждения и, следовательно, принцип Гюйгенса применимы и к ним.

Простой расчет, показывающий, что можно суммировать влияние таких источников на волновой фронт и получить приблизительно правильный ответ, выглядит следующим образом. Смотрим на полубесконечную область$V$с границей$\partial V$. Только часть этой границы - апертура$A$- имеет значительно отличное от нуля возмущение$\psi(\vec{r})$. Мы хотим найти$\psi$в какой-то позиции$\vec{r}_0$подальше от диафрагмы. Рассмотрим две функции$\psi(\vec{r})$и функция Грина$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$и сформируем векторное поле$\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r})$а затем подключите этого маленького зверя к теореме Гаусса о дивергенции для поверхности, содержащей (1) границу$\partial V$, что, по предположению, для данного расчета равно просто апертуре$A$(поскольку поле по предположению мало в другом месте) и (2) малая сфера радиуса$\epsilon$который вырезает сингулярность в$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$в$\vec{r}_0$. Таким образом, мы применяем теорему о расходимости к той части объема,$\partial V$то есть за пределами маленькой «карантинной» сферы. Теорема о расходимости дает:

$$\int_{\partial V} (\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r}))\cdot \hat{n} \,\mathrm{d} S = -4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0) + \int_V (\psi(\vec{r})\,\nabla^2 \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla^2 \psi(\vec{r}))\,\mathrm{d} V + O(\epsilon) = -4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0) + O(\epsilon)$$

где$-4\,\pi\,\psi(\vec{r}_0)$срок (напомним, что$\psi(\vec{r}_0)$то, что мы хотим найти) получается из поверхностного интеграла маленькой изоляционной сферы, а интеграл по объему равен нулю, потому что оба$\psi$и$\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)$выполнить уравнение Гельмгольца вне сферы карантина. Таким образом, вы можете видеть, что у нас осталось то, что (после того, как мы возьмем предел как$\epsilon\to 0$):

$$\psi(\vec{r}_0) \propto \int_A (\psi(\vec{r})\,\nabla \psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)-\psi_G(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\nabla \psi(\vec{r}))\cdot \hat{n} \,\mathrm{d} S \approx \int_A \frac{\exp(i\,k|\vec{r}-\vec{r}_0|)}{|\vec{r}-\vec{r}_0|}(i\,k\,\psi(\vec{r})\,\cos(\theta(\vec{r}))-\nabla \psi(\vec{r})\cdot \hat{n}) \,\mathrm{d} A$$

что в различных приближениях приводит к принципу Гюйгена (вспомним первый член, суммирующий сферическую волну$\exp(i\,k|\vec{r}-\vec{r}_0|)/|\vec{r}-\vec{r}_0|$взвешено по значению поля$\psi(\vec{r})$на апертуре.$\cos(\theta(\vec{r}))$отвечает за так называемый коэффициент наклона .

---

Можете ли вы объяснить, пожалуйста, упрощенно до уровня средней школы? Прошу прощения, но я не могу следить за математикой.

Тогда извините с моей стороны. Это хорошая идея указать свой уровень в вопросе: ваш собственный вопрос хорошо и обдуманно поставлен, поэтому вы на самом деле производите впечатление человека более продвинутого, чем средняя школа. Опишите свой уровень с точки зрения того, что вы знаете, а не возраста, поскольку у нас есть несколько подростков-физиков на этом сайте, которые приближаются к уровню выпускника.

В любом случае вам придется довольствоваться объяснением, что принцип Гюйгенса был постулированГюйгенсом как «догадка» для объяснения природы волн. Он понял принцип линейной суперпозиции: возмущение, вызванное суммой волн, является суммой отдельных возмущений, и, таким образом, понял, например, что линия точечных излучателей может суммироваться, образуя плоский волновой фронт. В 19 веке математики придумали строгое описание этих мыслей - метод функций Грина, по сути, представляет собой построение общих решений линейных уравнений путем линейной суперпозиции «фундаментальных решений». О чудо, если разобраться, что представляет собой «фундаментальное решение» монохроматического волнового уравнения (уравнение Гельмгольца), оно окажется точечным излучателем со сферической волной, как и предполагал Гюйгенс.

Итак, принцип Гюйгенса работает для любого явления, описываемого уравнением Гельмгольца. Сюда входят световые, звуковые и водные волны (в определенных приближениях). Уравнение Гельмгольца - это еще одна форма волнового уравнения Даламбера , которая действительна, когда волны примерно монохроматичны или монотонны. Даже в современной квантовой теории поля, где соответствующие уравнения не являются волновыми уравнениями, некоторые интегралы по путям все еще вычисляются методами типа Гюйгенса.