Что на самом деле происходит в эргосфере черной дыры Керра?

Рассмотрим пространство-время Керра в координатах и ​​единицах Бойера-Линдквиста, где$G=M=c=1$.

4-скорость любого наблюдателя должна быть времениподобна,$u^\mu u^\nu g_{\mu\nu} = -1$. Это сразу приводит к тому, что ни один наблюдатель не может зависнуть на эргосфере или внутри нее.

Для статического наблюдателя (т.е. того, кто зависает на фиксированной$r$,$\theta$,$\phi$), приведенная выше нормализация требует$g_{tt}(u^t)^2 = -1$. На так называемом «статическом пределе» (край эргосферы)$g_{tt}=0$, а внутри этой поверхности$g_{tt} > 0$. Поэтому никаких статических наблюдателей здесь быть не может. Вы можете думать об эргосфере как о области, где вам нужно двигаться быстрее скорости света, чтобы стоять на месте.

Внутри эргосферы наблюдатели вынуждены вращаться вместе с черной дырой.

Полезной концепцией для размышлений о траекториях в пространстве-времени Керра являются ортонормированные кадры «наблюдателя с нулевым угловым моментом» (ZAMO). См. http://cdsads.u-strasbg.fr/abs/1972ApJ...178..347B , где они упоминаются как «локально невращающиеся наблюдатели».

Существование вектора Киллинга, связанного с осевой симметрией, позволяет нам определить сохраняющийся угловой момент (на единицу массы)$l=u_\phi$. ЗАМО имеет$l=0$и вращается вокруг черной дыры с угловой скоростью$u^\phi/u^t=-g_{t\phi}/g_{\phi\phi}$. Это называется перетаскиванием кадра.

В локальном ортонормированном базисе ЗАМО метрика принимает вид$\text{diag}(-1,1,1,1)$. Давайте определим$\beta^\phi=u^\phi/u^t$и$\Omega=-g_{t\phi}/g_{\phi\phi}$. Преобразование базиса координат Бойера-Линдквиста в базис ZAMO дает

$$\beta^{\phi^\prime}=\frac{\left(\beta^\phi-\Omega\right)\sqrt{g_{\phi\phi}}}{\alpha}$$

где$\alpha=\sqrt{-g_{tt}+\Omega^2 g_{\phi\phi}}$, а штрих на индексе обозначает количество в системе ZAMO. Из требования, что$-1\leq\beta^{\phi^\prime}\leq 1$, мы находим, что

$$\Omega-\alpha/\sqrt{g_{\phi\phi}}\leq \beta^\phi \leq \Omega+\alpha/\sqrt{g_{\phi\phi}}$$

В эргосфере,$\beta^\phi\geq 0$для всех$\beta^{\phi^\prime}$. Также обратите внимание, что на горизонте$\alpha=0$,$\Omega\equiv\Omega_H$, и так$\beta^\phi=\Omega_H$. То есть наблюдатели (и частицы) вынуждены вращаться с той же угловой скоростью, что и горизонт.