Что не так с этой процедурой нахождения уравнений преобразования Лоренца?

Question

Что не так с этой процедурой нахождения уравнений преобразования Лоренца?

Затвердевание

Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных наблюдателей. Это означает

\frac{г Икс}{г т} "=" \frac{г {Икс}^{'}}{г т^{'}} "=" с \Rightarrow {(с г т)}^{2} - г {Икс}^{2} "=" 0 "=" {(с г т^{'})}^{2} - {г {Икс}^{'}}^{2} .

$\frac{dx}{dt}=\frac{dx'}{dt'}=c\\ \Rightarrow {(c\,dt)}^2-dx^2=0={(c\,dt')}^2-{dx'}^2.$ Я думаю, что без дальнейшей работы не очевидно, что для произвольных ненулевых значений

{(c d t)}^{2} - d x^{2}

${(c\,dt)}^2-dx^2$ , равенство

{(с г т)}^{2} - г {Икс}^{2} "=" {(с г т^{'})}^{2} - {г {Икс}^{'}}^{2}

${(c\,dt)}^2-dx^2={(c\,dt')}^2-{dx'}^2$ будет соответствовать действительности.

Учитывая постулат о постоянстве скорости света, если бы нам нужно было найти, как $(t,x)$ должны преобразовываться, мы можем использовать только первое равенство — условие более слабое, чем второе равенство. Но обычно его выводят, используя более сильное условие (второе равенство), предполагающее равенство для произвольных значений ${(c\,dt)}^2-dx^2$ .

Если мы должны строго следовать постулату ИМО, мы должны вывести уравнения преобразования Лоренца в два шага следующим образом.

Шаг 1. Сначала полагаем

с т^{'} "=" А с т + Б Икс, {Икс}^{'} "=" К с т + Д Икс .

$c\,t'=A\,c\,t+B\,x,\quad x'=K\,c\,t+D\,x.$

Шаг 2 Затем используйте два условия ${(c\,dt')}^2-{dx'}^2=0$ и ${(c\,dt)}^2-dx^2=0$ .

Мы начинаем с

{(с г т^{'})}^{2} - {г {Икс}^{'}}^{2} "=" 0 \Rightarrow (А^{2} - К^{2}) с^{2} г т^{2} + (Б^{2} - Д^{2}) г {Икс}^{2} + 2 (А Б - К Д) с г т г Икс "=" 0

${(c\,dt')}^2-{dx'}^2=0\\ \Rightarrow (A^2-K^2)\,c^2dt^2 + (B^2-D^2)\,dx^2 + 2(AB-KD)\,c\,dt\,dx=0$ Теперь единственное условие, которое мы можем использовать, это

c d t = \pm d x

$c\,dt=\pm dx$ , чего недостаточно, чтобы найти все четыре неизвестные константы.

Значит ли это, что нельзя вывести уравнения преобразования Лоренца только из постоянства скорости света?

Томас

С

c > 0

$c>0$ и

d t > 0

$dt>0$ вам придется

c d t > 0

$cdt>0$ , поэтому ваше условие может быть только

c d t = d x

$cdt=dx$ . Переменная не может быть положительной и отрицательной одновременно.

Затвердевание

d x / d t = \pm c

$dx/dt=\pm c$ подразумевает, что свет движется вдоль

\pm x

$\pm x$ ось. Подумайте о диаграмме светового конуса. В самом деле, первый постулат подразумевает

d x / d t = \pm c = d x^{'} / d t^{'}

$dx/dt=\pm c=dx'/dt'$ .

Томас

Тогда вам нужно было бы написать

x_{1} = c t

$x_1=ct$ и

x_{2} = - c t

$x_2=-ct$ . Вы не можете предположить

x = c t

$x=ct$ и

x = - c t

$x=-ct$ в то же время. Вы могли бы также сказать, что

1 = - 1

$1=-1$

Затвердевание

Я не предполагаю этого. я буду использовать

d x = c d t

$dx=cdt$ и

d x = - c d t

$dx=-cdt$ , как два отдельных условия. Это очевидно. В любом случае, это не решает проблему.

Ответы (2)

Что не так с этой процедурой нахождения уравнений преобразования Лоренца?

С $c>0$ и $dt>0$ вам придется $cdt>0$ , поэтому ваше условие может быть только $cdt=dx$ . Переменная не может быть положительной и отрицательной одновременно.
$dx/dt=\pm c$ подразумевает, что свет движется вдоль $\pm x$ ось. Подумайте о диаграмме светового конуса. В самом деле, первый постулат подразумевает $dx/dt=\pm c=dx'/dt'$ .
Тогда вам нужно было бы написать $x_1=ct$ и $x_2=-ct$ . Вы не можете предположить $x=ct$ и $x=-ct$ в то же время. Вы могли бы также сказать, что $1=-1$
Я не предполагаю этого. я буду использовать $dx=cdt$ и $dx=-cdt$ , как два отдельных условия. Это очевидно. В любом случае, это не решает проблему.

Дж. Мюррей · Answer 1

Да, постоянства скорости света недостаточно. Вам нужны дополнительные предположения. Эти заметки Виктора Яковенко дают вывод общего преобразования координат

(\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ т^{'} \end{matrix}) "=" \frac{1}{\sqrt{1 + в^{2} / а}} (\begin{matrix} 1 & - в \\ в / а & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} Икс \\ т \end{matrix})

$\pmatrix{x'\\t'}=\frac{1}{\sqrt{1+v^2/a}} \pmatrix{1 & -v\\v/a & 1}\pmatrix{x\\t}$

где $a$ — некоторый параметр с размерностью квадрата скорости. Этот вывод делает следующие предположения:

Преобразование координат должно быть линейным (вы уже предполагали это на шаге 1)
Пространство изотропно, поэтому, например, длина движущейся линейки такая же, если она движется влево, как если бы она двигалась вправо.
Композиция двух преобразований — это еще одно преобразование
Преобразования зависят только от относительной скорости между кадрами

Это дает 3 жизнеспособные возможности. Или $a>0$ , $a<0$ , или $a\rightarrow \infty$ (последний случай приводит к преобразованиям Галилея). Однако если дополнительно потребовать существования инвариантной скорости $c$ так, чтобы предметы, движущиеся со скоростью $c$ в одном кадре движутся с одинаковой скоростью в каждом другом кадре, то единственная возможность состоит в том, что $a = -c^2 < 0$ .

Есть много путей к преобразованиям Лоренца, которые делают разные предположения, но смысл моего ответа в том, что предположение о постоянстве скорости света само по себе недостаточно . Должны быть другие (разумные) физически мотивированные предположения о структуре и симметрии пространства-времени, чтобы согласиться с этим.

Забавно это видеть, так как Яковенко научил меня c. курс меха в аспирантуре, и поэтому я видел, как он дал именно этот вывод.
Вы сказали, что если мы дополнительно потребуем, чтобы существовала инвариантная скорость c такая, что объекты, движущиеся со скоростью c в одном кадре, будут двигаться с той же скоростью во всех остальных кадрах . На самом деле объекты не движутся с одинаковой скоростью в разных системах отсчета, только свет. И проблема с выводом, на который вы ссылаетесь, заключается в том, что на самом деле нет никакого способа ввести скорость света естественным образом. Это очень похоже на обратный инжиниринг для получения желаемого результата.
@Thomas Томас Непонятно, что вы подразумеваете под «на самом деле нет никакого способа увеличить скорость света естественным путем». Постоянство скорости света является независимым предположением. Цель вывода, начиная с пунктов 1, 2, 3, 4, — показать, что можно отложить предположение о постоянстве скорости света до самого последнего шага. Это свидетельствует о независимости. Похоже, вы квалифицируете выбор между тремя возможностями как «неестественное увеличение скорости света», но неясно, как это должно представлять собой что-то «неестественное».
@zeldredge Он тоже научил меня 🙂 Думаю, мы с тобой встречались раз или два.
@Cleonis Выбор подходящей вам возможности из 3-х вариантов нельзя назвать выводом. В www2.physics.umd.edu/%7Eyakovenk/teaching/Lorentz.pdf нет строгой причины , по которой преобразование Галилея не должно быть решением.
@Thomas Я знаю, что массивные объекты движутся с разной скоростью в разных кадрах. Я сказал, что если вы хотите, чтобы была неизменная скорость, то это исправляет $a$ быть минус квадрат этой скорости. Эмпирически мы заметили, что Вселенная, в которой мы живем, действительно имеет такую скорость — скорость света, — которая является последней частью, необходимой для вывода формулы преобразования Лоренца.
@Thomas RE последний комментарий - да, конечно. Тот факт, что такая скорость существует, является физическим, эмпирически наблюдаемым вкладом в вывод. Это физика, а не математика, и физика не является аксиомой — эмпирический ввод является абсолютной необходимостью в каждом нашем выводе.
@Thomas Томас, эмм ... весь смысл вывода состоит в том, чтобы продемонстрировать, что ограничения 1. 2. 3. 4. не исключают преобразования Галилея. Есть только один способ установить, какое преобразование применимо: физический эксперимент. Данные экспериментов указывают нам в ту или иную сторону. Гипотеза: у вас сложилось впечатление, что можно исключить трансформацию Галилея с помощью чисто логических рассуждений. Отказ от такого представления и есть та самая причина, по которой вывод, начинающийся с ограничений 1, 2, 3, 4, ценен.
Дело в том, что в уравнениях этого вывода нет физического входа. Это математическое преобразование координат, но не указано, к чему эти координаты относятся физически. Относятся ли они к пути объекта? Или они относятся к пути светового сигнала? И почему вы предполагаете, что решение будет одинаковым в обоих случаях?
@Thomas Мой ответ считает само собой разумеющимся, что вы знаете, что такое инерциальная система отсчета и что указывают соответствующие координаты, поскольку это контекст, в котором был задан вопрос. Ваши вопросы не маловажны, но ответы на них являются предпосылками для этого.
@Cleonis Позвольте мне сказать так: если бы мы вообще ничего не знали о скорости света, на каком основании вы пришли бы к выводу, что мы должны исследовать распространение световых сигналов, чтобы получить ответ на вопрос, как координаты некоторого объекта преобразуются между двумя системами отсчета, движущимися относительно друг друга?
@Thomas Действительно: как следствие возникают свойства распространения света ; они не являются причиной. Ключевым понятием является метрика пространства-времени. Переход от ньютоновской динамики к релятивистской динамике был изменением концептуализации пространства и времени: ньютоновская: евклидова метрика; релятивистская: метрика Минковского. Метрика Минковского является принципом, поскольку описывает природу пространства-времени. Метрика Минковского выражает следующее физическое свойство: существует верхний предел скорости любого распространения. И материя, и распространение волн подчиняются этому верхнему пределу.
@Thomas stackexchange разработан специально для того, чтобы не быть многопоточным форумом. Раздел комментариев не для обсуждения. Рекомендуемый способ действий: если вы обнаружите, что пишете вопрос в разделе комментариев, перепишите этот вопрос, чтобы отправить его как отдельный вопрос. (Для контекста вы, конечно, можете обратиться к ответу, который его вызвал.)

Томас · Answer 2

Я видел преобразование Лоренца, полученное очень похоже на то, как вы подошли к нему:

Позвольте мне сначала переписать ваше окончательное уравнение без дифференциалов (в их использовании мало смысла, если скорость света считается постоянной)

(1) (А^{2} - К^{2}) с^{2} т^{2} + (Б^{2} - Д^{2}) {Икс}^{2} + 2 (А Б - К Д) с т Икс "=" 0

$(1)\:\:\:(A^2-K^2)c^2t^2 +(B^2-D^2)x^2 +2(AB-KD)ctx =0$

Если еще вычесть уравнение $c^2t^2-x^2=0$ из этого вы получаете

(2) (А^{2} - К^{2} - 1) с^{2} т^{2} + (Б^{2} - Д^{2} + 1) {Икс}^{2} + 2 (А Б - К Д) с т Икс "=" 0

$(2)\:\:\:(A^2-K^2-1)c^2t^2 +(B^2-D^2+1)x^2 +2(AB-KD)ctx =0$

Если предполагается, что это верно для всех x при данном t, каждый из коэффициентов при разных степенях x должен быть равен нулю отдельно, поэтому

(3) А^{2} - К^{2} - 1 "=" 0

$(3)\:\:\:A^2-K^2-1=0$

(4) Б^{2} - Д^{2} + 1 "=" 0

$(4)\:\:\:B^2-D^2+1=0$

(5) А Б - К Д "=" 0

$(5)\:\:\:AB-KD=0$

Теперь дополнительно вам, очевидно, придется использовать ограничение, что заштрихованные и незагрунтованные кадры перемещаются относительно друг друга (в конце концов, именно поэтому мы делаем это в первую очередь). Таким образом, дополнительные условия у нас есть

(6) {Икс}^{'} "=" 0 => Икс "=" в т

$(6)\:\:\:x'=0 => x=vt$

(7) Икс "=" 0 => {Икс}^{'} "=" - в т

$(7)\:\:\:x=0 => x'=-vt$

Вставка этого в вашу трансформацию

(8) {Икс}^{'} "=" Д Икс + К с т

$(8)\:\:\:x'=Dx+Kct$

(9) с т^{'} "=" А с т + Б Икс

$(9)\:\:\:ct'=Act+Bx$

дает тогда

(10) К "=" - \frac{в}{с} Д

$(10)\:\:\:K=-\frac{v}{c}D$

(11) А "=" Д

$(11)\:\:\:A=D$

(12) Б "=" К

$(12)\:\:\:B=K$

Вставка этого в (3) и (5) дает

(13) Д^{2} (1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}) - 1 "=" 0 => Д "=" \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}}

$(13)\:\:\:D^2(1-\frac{v^2}{c^2})-1=0 => D=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

(14) Б "=" - \frac{в}{с} \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}}}

$(14)\:\:\:B=-\frac{v}{c}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ .

Однако, на мой взгляд, есть проблема с этим выводом:

Квадратные уравнения, которые приводят к уравнению (1)

(15) {Икс}^{2} "=" с^{2} т^{2}; {Икс}^{' 2} "=" с^{2} т^{' 2}

$(15)\:\:\: x^2=c^2t^2 ;\:\:\: x'^2=c^2t'^2$ есть решения

(16) {Икс}_{1} "=" с т; {Икс}_{1}^{'} "=" с т^{'}

$(16)\:\:\: x_1=ct ;\:\:\: x_1'=ct'$

(17) {Икс}_{2} "=" - с т; {Икс}_{2}^{'} "=" - с т^{'}

$(17)\:\:\: x_2=-ct ;\:\:\: x_2'=-ct'$

так

(18) {Икс}_{2} "=" - {Икс}_{1}

$(18)\:\:\: x_2= -x_1$

(19) {Икс}_{2}^{'} "=" - {Икс}_{1}^{'}

$(19)\:\:\: x_2'= -x_1'$

Мы можем переписать преобразование (8) для двух решений в виде

(20) {Икс}_{1}^{'} "=" Д {Икс}_{1} + К с т

$(20)\:\:\:x_1'=Dx_1+Kct$

(21) {Икс}_{2}^{'} "=" Д {Икс}_{2} + К с т

$(21)\:\:\:x_2'=Dx_2+Kct$

Однако, подставляя (18), (19) в (21), получаем

(22) - {Икс}_{1}^{'} "=" - Д {Икс}_{1} + К с т

$(22)\:\:\:-x_1'=-Dx_1+Kct$ то есть

(23) {Икс}_{1}^{'} "=" Д {Икс}_{1} - К с т

$(23)\:\:\:x_1'=Dx_1-Kct$

что противоречит (20), если только $K=0$ т.е. если $v=0$ , что не имеет никакого смысла.

Исходные уравнения, которые привели к (1), включают $ct' = Act + Bx$ и $x' = Kct + Dx$ , которые не инвариантны относительно $(x,x')\rightarrow(-x,-x')$ .
@J.Murray J.Murray Вы пытаетесь найти линейное преобразование, совместимое с $x^2=c^2t^2$ , $x'^2=c^2t'^2$ Последние уравнения инвариантны относительно $(x,x′)→(−x,−x′)$
Правильно ... но почему вы ожидаете, что ваше линейное преобразование будет? $x^2=4$ инвариантен относительно $x\rightarrow -x$ , но $x=2$ явно нет и нет $x=-2$ .
@ J.Murray Вы пропустили важную часть: от $x'^2=4$ у вас есть также два решения $x_1'=2$ и $x_2'=-2$ , то есть переменная со штрихом меняет знак, когда переменная без штриха меняет знак
Я думаю, возможно, вы упускаете важную часть. $x' = \gamma(x-vt)$ и $-x' = \gamma (-x -vt) \iff x' = \gamma(x+vt)$ оба являются совершенно действительными повышениями. Это не то же самое усиление, как и $x=2$ и $x=-2$ не одинаковые решения $x^2=4$ .
@ J.Murray Пожалуйста, посмотрите мой отредактированный ответ, который должен прояснить мою точку зрения.
Не имеет смысла требовать, чтобы оба $x’=0$ и $x=0$ . Есть только одно событие, для которого $x$ и $x’$ оба равны нулю, и это в $t=t’=0$ .
@ J.Murray J.Murray Не имеет смысла требовать, чтобы и x′=0, и x=0 Не знаю, почему вы говорите, что такое требование (или любое требование в этом отношении) было сделано. Уравнения, как написано выше, просто оценивают уравнение преобразования отдельно для светового сигнала на положительной и отрицательной оси X, предполагая, что световой сигнал, отправленный в момент t=t'=0, распространяется симметрично относительно начала координат в любой системе отсчета (как требуется принцип инвариантности скорости света). Пожалуйста, обратитесь непосредственно к алгебраическим уравнениям выше, если вы где-то обнаружите какие-либо проблемы.
Ваше редактирование делает недоразумение более ясным, и оно связано с вопросом, который вы задали в комментарии к моему ответу. Преобразования Лоренца связывают координаты событий в одном кадре с координатами того же события в другом. Если вы хотите выразить траекторию частицы (или луча света) в новом кадре, вам необходимо преобразовать координаты положения и времени. Другими словами, ваши условия (18/19) должны быть $x_2(t) = -x_1(t)$ и $x_2'(t')=-x_1'(t')$ . Выражение $x_1'$ и $x_2'$ с точки зрения $t'$ решить ваши проблемы. Если вы по-прежнему сбиты с толку, спросите [...]
[...] новый вопрос об этом, потому что ветки комментариев не предназначены для расширенного обсуждения.
@ J.Murray Я не пытаюсь ничего обсуждать и задавать вопросы. Я просто сообщаю вам, что ваш комментарий не относится к моему ответу. Если бы вы проверили уравнения (16), (17), вы бы увидели временную зависимость $x_1'$ и $x_2$ ', а также что, следовательно, (18), (19) выполняются независимо от $t$ и $t'$ '. Опять же, пожалуйста, придерживайтесь приведенных выше уравнений и не придумывайте несвязанные аргументы.
И я сообщаю вам, что вы ошибаетесь в этом. Я взял на себя смелость подробно объяснить, почему и как, в этом чате , на который вы можете ответить, если вы продолжаете думать, что я не прав.

Что не так с этой процедурой нахождения уравнений преобразования Лоренца?

Затвердевание

Томас

Затвердевание

Томас

Затвердевание

Ответы (2)

Дж. Мюррей

Томас

Дж. Мюррей

Зелдридж

Томас

Клеонис

Дж. Мюррей

Томас

Дж. Мюррей

Дж. Мюррей

Клеонис

Томас

Дж. Мюррей

Томас

Клеонис

Клеонис

Томас

Дж. Мюррей

Томас

Дж. Мюррей

Томас

Дж. Мюррей

Томас

Дж. Мюррей

Томас

Дж. Мюррей

Дж. Мюррей

Томас

Дж. Мюррей