Что неправильного в одновременном использовании двух формул для лоренцевского сокращения и замедления времени?

Две разные формулы основаны на разных предположениях.

Формула замедления времени предполагает, что в пространстве-времени есть два события и что эти два события находятся в одном и том же месте в одной системе отсчета. Формула сокращения длины предполагает, что в пространстве-времени есть две мировые линии и что эти две мировые линии покоятся в одной системе отсчета.

Для света (нулевая геодезическая) ни один из этих наборов предположений неприменим. Таким образом, вы не можете использовать ни одну из этих формул для света, и уж точно не обе вместе.

В общем случае работает формула преобразования Лоренца. Я рекомендую начинающим изучать теорию относительности не использовать упрощенные формулы сокращения длины и замедления времени. Просто используйте преобразование Лоренца. Он автоматически упростится до формул замедления времени и сокращения длины, когда это уместно, но вы избежите подобных ситуаций, возникающих из-за неправильного использования упрощенных формул, когда допущения нарушаются.

Исходя из этого и вашего предыдущего вопроса, я подозреваю, что ваше замешательство связано с интерпретацией$L$в формуле сокращения длины. На самом деле это то, что меня очень смущало, когда я только начинал.

Рассмотрим двух наблюдателей, прикрепленных к фреймам.$S$и$S^\prime$, с$S^\prime$движущийся со скоростью$v$относительно$S$в$x$-направление. Пусть их координаты совпадают в начале координат. Когда мы выводим формулу замедления времени, мы рассматриваем изменение времени$\Delta t=t_2-t_1$в$S$рамка. Выполнение преобразования Лоренца затем дает такое же изменение во времени в$S^\prime$кадр как$\Delta t^\prime=t_2^\prime-t_1^\prime=\gamma(t_2-t_1)=\gamma\Delta t$с$x=0$для наблюдателя в$S$. Итак, мы приходим к знакомому

$$\Delta t^\prime=\gamma\Delta t,\tag*{(1)}$$ что говорит нам о том, что время для наблюдателя в$S$достигать$t_2$видно, что он расширен для наблюдателя в$S^\prime$.

Наивно, мы могли бы попробовать сделать то же самое для пространственных координат. Скажем, мы рассматриваем длину$\Delta x=x_2-x_1$в$t_1=t_2=0$. Проделав те же движения, мы находим, что

$$\Delta x^\prime=\gamma\Delta x.\tag*{(2)}$$ Но ждать. Это неправильная форма формулы сокращения длины. Это действительно должно быть$\Delta x^\prime=\Delta x/\gamma$. Что дает?

Способ понять это — осознать, что$L$должна быть длина. Уравнение 2$x^\prime$расстояние между двумя точками (скажем, концами стержня) в разное время . Это явно нехорошо. В то время как для вывода формулы замедления времени можно было сравнить начальное и конечное время, несмотря на то, что каждый наблюдатель изменил пространственное положение с точки зрения другого, то же самое нельзя сделать для измерения длины стержня. Вам необходимо измерить пространственное положение любого конца одновременно.$t^\prime$координировать.

Это то, что можно прояснить с помощью пространственно-временной диаграммы:

(Р.Л. Герман, 2008 г.)

Если рассматривать схему справа, то$x^\prime$расстояние между парой диагональных пунктирных линий равно$\Delta x^\prime$в уравнении 2. Контрактная длина, однако,$\Delta x^\prime$показанное на диаграмме, представляет собой расстояние между точками при одновременном$t^\prime$.

Это может помочь рассмотреть случай, когда и сокращение длины, и замедление времени имеют значение при анализе движения света, и как формулы согласуются при правильном применении.

Рассмотрим «световые часы», канал, в котором световой импульс отражается туда и обратно. В системе покоя канал имеет длину$0.5$И поэтому свет требует времени$1$для завершения одного периода (туда и обратно), в единицах, где$c = 1$.

Теперь, каков период часов в кадре, где часы движутся со скоростью$v$?

Обычно это анализируется при движении перпендикулярно каналу, но для этого требуется по крайней мере два пространственных измерения. Если движение часов параллельно каналу, мы можем ограничить задачу одним измерением и получить «бонус» за счет введения формулы сокращения длины.

Контрактная длина канала$0.5/\gamma$, где$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2}$. Когда свет движется вправо, кажущаяся относительная скорость между светом и каналом в этом кадре равна$1 - v$, а когда свет движется влево, эта кажущаяся скорость равна$1 + v$. (Применяется обычное сложение, потому что мы просто выполняем кинематику в этой одной системе отсчета.)

Таким образом, общее время распространения с одной стороны на другую и обратно равно

$$t = \frac{0.5/\gamma}{1 - v} + \frac{0.5/\gamma}{1 + v} = \frac{1/\gamma}{1 - v^2} = \gamma.$$ Это растянуто по сравнению с периодом покоя$1$точно так, как ожидалось.

Это представляет собой правильное использование сокращения длины и замедления времени при оценке поведения света.