Преобразования Лоренца с участием двух измерений пространства

Поскольку вы пытаетесь понять, я покажу вам, как это понять, вместо того, чтобы просто дать вам ответ. Вам не нужно знать, что такое матрица, и вам не нужна тригонометрия. Алгебры достаточно.

Чтобы не отвлекаться, я буду использовать единицы, в которых скорость света равна$c=1$. Если вы хотите восстановить факторы$c$, просто замените каждый$t$в следующих уравнениях с$ct$. Преобразование Лоренца относительно начала координат — это линейное преобразование, оставляющее величину

$$t^2-(x^2+y^2+z^2) \tag{1}$$ без изменений. Я покажу пару примеров и покажу, как их комбинировать, чтобы генерировать больше примеров, включая тот, который вы просили.

Обычное вращение

Одним из примеров преобразования Лоренца является обычное вращение, которое смешивает две пространственные координаты:

$$\begin{align} t &\to t\\ x &\to ax-by \\ y &\to bx+ay \\ z &\to z \tag{2} \end{align}$$ с $$a^2+b^2=1 \tag{3}$$ Уравнение (3) равносильно утверждению$a=\cos\theta$и$b=\sin\theta$для некоторых$\theta$, но нам это знать не обязательно. Используя (3), вы можете подтвердить, что замена (2) оставляет (1) без изменений: $$t^2-\big((ax-by)^2+(bx+ay)^2+z^2\big) = t^2-(x^2+y^2+z^2). \tag{4}$$

Способствовать росту

Другим примером преобразования Лоренца является повышение, которое смешивает одну пространственную координату с временной координатой:

$$\begin{align} t &\to At+Bx\\ x &\to Bt+Ax \\ y &\to y \\ z &\to z \tag{5} \end{align}$$ с $$A^2-B^2=1. \tag{6}$$ Уравнение (6) равносильно утверждению$A=\cosh\theta$и$B=\sinh\theta$для некоторых$\theta$, но нам это знать не обязательно. Используя (6), вы можете подтвердить, что замена (5) оставляет (1) без изменений: $$(At+Bx)^2-\big((Bt+Ax)^2+y^2+z^2\big) = t^2-(x^2+y^2+z^2). \tag{7}$$

Составление преобразований Лоренца

Вот ключ: при любых двух преобразованиях, которые оба оставляют (1) без изменений, очевидно, что их композиция также оставляет (1) без изменений. «Композиция» просто означает выполнение одной замены за другой. В частности, выполнение замены (5), за которой следует замена (2), эквивалентно выполнению единственной замены

$$\begin{align} t &\to At+B(ax-by)\\ x &\to Bt+A(ax-by) \\ y &\to bx+ay \\ z &\to z. \tag{8} \end{align}$$ Еще лучше, мы можем сначала сделать (2), затем сделать (5), а затем сделать (2) с обратным знаком для$b$. Результат $$\begin{align} t &\to At+B(ax+by)\\ x &\to a(Bt+A(ax+by))-b(ay-bx) \\ y &\to b(Bt+A(ax+by))+a(ay-bx) \\ z &\to z \tag{9} \end{align}$$ Ну вот. Это ускорение Лоренца вдоль произвольного направления в$x$-$y$самолет. Обратите внимание, что он оставляет два исходных пространственных направления неизменными, а именно$z$и$ay-bx$, так что это квалифицируется как повышение в$ax+by$направление.

Связанный$A,B$скорость

Я использовал обозначение, которое подчеркивает простоту концепций. Чтобы связать мои количества$A,B$к скорости наддува, используйте$v=B/A$. В случае (9) компоненты скорости равны$v_x=Ba/A$и$v_y=Bb/A$. Если вы хотите использовать стандартные международные единицы, просто умножьте эти скорости на$c$.

Перспектива

В начале этого ответа я сказал, что вам не нужно знать, что такое матрица, и вам не нужна тригонометрия. Может быть, мне следовало сказать, что вы уже знаете все, что нужно знать о матрицах и тригонометрии! Идея составления двух линейных преобразований для получения другого линейного преобразования — это то, что представляет собой матричная алгебра. Переход от (2) и (5) к (8) является примером матричного умножения, хотя мы и не использовали матричные обозначения. Уравнение (3) лежит в основе обычной тригонометрии, а уравнение (6) — в основе гиперболической тригонометрии.

Что касается повышения Лоренца в произвольных направлениях, вас может заинтересовать связанный с этим вопрос Матрица повышения Лоренца для произвольного направления с точки зрения быстроты , но вы уже знаете все, что вам нужно знать: начните с повышения (5) и скомпонуйте его с чем угодно поворот(ы) вы хотите указать скорость в нужном направлении.

Самый первый шаг, когда вы предполагаете, что можете применить трансформацию одновременно в двух направлениях, неверен. Если вы сначала превратились из$(t,x,y,z)$к$(t',x',y',z')$, а затем применил второй импульс с новым$t'$, то, по крайней мере, вы будете знать, что ваш результат был физическим, даже если общий прирост, который вы получаете, неверен. Но вы пытались совместить два усиления в один шаг, и нет никакой гарантии, что то, что вы получили, имеет какой-то физический смысл. Теперь, даже если вы сделаете два ускорения по отдельности в соответствии с вашим планом, вы окажетесь в кадре, движущемся с неправильной скоростью, но, по крайней мере, это четко определенный кадр, чтобы мы могли видеть, что пошло не так.

Подумайте, что значит разогнаться до скорости. Это означает, что объект, который раньше казался вам движущимся с такой скоростью, теперь кажется покоящимся. Скажем, у вас настроен такой "кардиостимулятор", чтобы он проходил точку$(t_0,x_0,y_0,z_0)=(0,0,0,0)$в ваших исходных координатах и ​​более поздних проходах$(t,x,y,z)=(1\,\mathrm{s},v_x\cdot1\,\mathrm{s},v_y\cdot1\,\mathrm{s},0).$После двух бустов вы хотите$(x'',y'',z'')=(0,0,0)$(вам все равно$t''$). Хорошо, так что выполните свой первый буст в$x$направление со скоростью$v_x.$Что ты видишь сейчас? Я понимаю, что событие кардиостимулятора теперь происходит в$(t',x',y',z')=(\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}\,\mathrm{s},0,v_y\cdot1\,\mathrm{s},0).$Обратите внимание, что точка отсчета$(t_0,x_0,y_0,z_0)=(0,0,0,0)$остается инвариантным. Если вычислить оставшуюся скорость объекта в$y$направление, которое$\frac{y'}{t'},$вы видите, что он увеличился. Таким образом, проблема с вашим первоначальным планом заключается в том, что после того, как вы выполните первое ускорение, замедление времени промежуточного кадра приведет к увеличению скорости, которую вы должны согласовать со своим вторым ускорением. Выполните второе ускорение с отрегулированной скоростью, и вы увидите, что объект остановится, как и хотелось.

Итак, что мы узнали? Если вы хотите увеличить скорость$(v_x,v_y,0),$вы можете сначала применить повышение в$x$Направление$v_x$, а затем примените один из них в$y$направление с настроенной скоростью$\frac{v_y}{\sqrt{1-\frac{v_x^2}{c^2}}}$. Это все равно будет не совсем правильно, потому что теперь ваша рамка будет подвергаться вращению Вигнера :$x''$и$y''$оси неожиданно больше не параллельны оригиналу$x$и$y$оси, которых можно избежать, используя более сложную производную для повышения (как указано в комментариях), но если вас это не волнует, то это может быть хорошо.

Попробуйте расширить эту схему на все три измерения.

---

Здесь следует несколько избыточный вывод бустов в общих направлениях. Если то, что вы говорите о своем мастерстве, правда, вы не поймете этого прямо сейчас, а просто сочтете это чем-то вроде цели.

Матрица

$$\boldsymbol\eta=\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$ имеет фундаментальное значение для специальной теории относительности. Рассмотрим векторную величину$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}ct&x&y&z\end{bmatrix}^T$измеряется в некоторой системе отсчета. Количество$\mathbf{x}^T\boldsymbol\eta\mathbf{x}=-c^2t^2+x^2+y^2+z^2$остается одним и тем же в каждой системе отсчета, даже если компоненты вектора изменяются. В частности, компоненты векторной величины изменяются при преобразовании Лоренца как$\mathbf{x}'=\mathbf{\Lambda x},$где$\mathbf{\Lambda}$является матрицей, связанной с преобразованием. Тогда у нас должно быть$\mathbf{x}^T\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda x}=\mathbf{x}'^T\boldsymbol\eta\mathbf{x}'=\mathbf{x}^T\boldsymbol\eta\mathbf{x},$и поэтому мы находим, что преобразования Лоренца представлены матрицами, где$\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda}=\boldsymbol\eta.$

Теперь мы вводим большие пушки: теорию матричных групп Ли. Мы спрашиваем, как выглядят действительно малые преобразования Лоренца? Ну, они должны выглядеть$\mathbf{\Lambda}=\mathbf{I}+\epsilon\mathbf{H},$где$\mathbf{I}$это единичная матрица, которая ничего не делает при умножении на что-либо еще,$\epsilon$- небольшое действительное число, управляющее размером преобразования, и$\mathbf{H}$представляет «вид» или «сущность» преобразования. Включите это в определение$\mathbf{\Lambda}^T\boldsymbol\eta\mathbf{\Lambda}=\boldsymbol\eta$и получить$\epsilon\boldsymbol\eta\mathbf{H}+\epsilon\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta+\epsilon^2\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta\mathbf{H}=0.$Бросьте$\epsilon^2$термин (нас интересуют только линейные вариации/вариации первого порядка) и переставить в$\mathbf{H}=-\boldsymbol\eta\mathbf{H}^T\boldsymbol\eta.$Теперь исключите как можно больше уравнений, чтобы прийти к

$$\mathbf{H}=\begin{bmatrix}0&\xi_x&\xi_y&\xi_z\\\xi_x&0&-\theta_z&\theta_y\\\xi_y&\theta_z&0&-\theta_x\\\xi_z&-\theta_y&\theta_x&0\end{bmatrix}.$$

Это генератор преобразований Лоренца. Остальные переменные - это те, для которых вы не в конечном итоге решаете. Если вы подставите для них значения, вы можете получить преобразование Лоренца с экспоненциальной матрицей$\mathbf{\Lambda}=\exp(\mathbf{H}).$Подставляя ноль для всех, кроме одного, вы можете понять, что означает каждый из них. Таким образом, я назвал их в соответствии с функцией:$\xi_x,\xi_y,\xi_z$- это «быстроты» для ускорений, связанные со скоростями на$\xi=\operatorname{artanh}(\frac{v}{c})$), и$\theta_x,\theta_y,\theta_z$являются углами поворота.

Теперь у нас есть способ составить формулу для всех бустов. Если вы хотите увеличить скорость$v_x,v_y,v_z$, сначала вычислить полную скорость$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$и быстрота$\xi=\operatorname{artanh}(\frac{v}{c}).$Затем найти вектор быстроты$\xi_i=-v_i\frac{\xi}{v}.$Подключи эти скорости к$\mathbf{H}$и обнулить пространственные вращения. Эта матрица обладает следующими свойствами:

$$\begin{align}&\mathbf{H}^0=\mathbf{I},\\&\mathbf{H}^{2n+1}=\xi^{2n}\mathbf{H},\\&\mathbf{H}^{2n+2}=\xi^{2n}\mathbf{H}^2.\end{align}$$ Они полезны, потому что $$\begin{aligned}\mathbf{\Lambda}&=\exp(\mathbf{H})=\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^k}{k!}\\&=\mathbf{I}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^{2k+2}}{(2k+2)!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathbf{H}^{2k+1}}{(2k+1)!}\\&=\mathbf{I}+\frac{\mathbf{H}^2}{\xi^2}\sum_{k=0}^\infty\frac{\xi^{2k+2}}{(2k+2)!}+\frac{\mathbf{H}}{\xi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\xi^{2k+1}}{(2k+1)!}\\&=\mathbf{I}+\frac{\mathbf{H}}{\xi}\sinh\xi+\frac{\mathbf{H}^2}{\xi^2}(\cosh\xi-1).\end{aligned}$$ Это, наконец, дает явное выражение для матрицы преобразования Лоренца$\mathbf{\Lambda}$связаны с заданной скоростью.

Расширяя по координатам и упрощая все гиперболические триггеры,

$$\begin{alignat}{10} t'&=&\gamma t&{}+{}&-\gamma \frac{v_x}{c^2}x&{}+{}&-\gamma \frac{v_y}{c^2}y&&-\gamma \frac{v_z}{c^2}z&,\\ x'&=&-\gamma v_xt&{}+{}&\left(1+(\gamma-1)\frac{v_x^2}{v^2}\right)x&{}+{}&\frac{v_xv_y}{v^2}(\gamma-1)y&{}+{}&\frac{v_xv_z}{v^2}(\gamma-1)z&,\\ y'&=&-\gamma v_yt&{}+{}&\frac{v_xv_y}{v^2}(\gamma-1)x&{}+{}&\left(1+\frac{v_y^2}{v^2}(\gamma-1)\right)y&{}+{}&\frac{v_yv_z}{v^2}(\gamma-1)z&,\\ z'&=&-\gamma v_zt&{}+{}&\frac{v_xv_z}{v^2}(\gamma-1)x&{}+{}&\frac{v_yv_z}{v^2}(\gamma-1)y&{}+{}&\left(1+\frac{v_z^2}{v^2}(\gamma-1)\right)z&\end{alignat}\\ \left(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).$$

Этот буст не вызывает нежелательных вращений. Но удачи в запоминании!

Рассмотрим простой случай одиночного инерциального наблюдателя, находящегося в одиночестве в пространстве без ускорения.

Координаты вроде$x, y, z,$и$t$являются просто ярлыками для различных точек/событий в пространстве-времени (мы называем их «точками», если нас интересуют только$x, y, z$, и "события", если мы заботимся о$x,y,z,t$). Выбирайте метки определенным образом, и у них есть удобные свойства, такие как (пространственное) расстояние между двумя точками.$\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$. Обычно выбирают «ортонормированные» координаты, что в основном означает, что каждая ось координат перпендикулярна (ортогональна) другим, а единичное расстояние по одной оси равно расстоянию по другой оси. Это заставляет правило расстояния, которое я дал выше, работать.

Поскольку реальность не работает с координатами, наш единственный наблюдатель может иметь и использовать несколько разных систем координат, в зависимости от того, что ему наиболее удобно. У них могут быть две ортонормированные пространственно-временные системы координат с разным началом, или разные пространственные оси (при условии, что в каждом наборе они ортогональны и нормализованы), или разная «четность», и эти две системы будут связаны друг с другом пространственные вращения , пространственно-временные переводы и отражения. Учитывая координаты$(x,y,z,t)_1$события в системе координат 1, вы можете легко вычислить$(x,y,z,y)_2$события в системе координат 2.

Это означает, что если наш единственный наблюдатель видит объект, движущийся с$v_x \neq 0, v_y \neq 0$, то нашему единственному наблюдателю также доступна другая система координат, полученная вращением от первой, где$v_x \neq 0, v_y = v_z = 0$. Уравнения движения этого объекта полностью совместимы друг с другом в любой системе координат.

Вы также можете думать об этом как о двух наблюдателях, неподвижных относительно друг друга, каждый из которых имеет свою собственную ортонормированную систему координат. Если Алиса увидит и событие в$(x,y,z,t)_{Alice}$, она может сказать Адаму, чтобы он посмотрел на$(x,y,z,t)_{Adam}$чтобы увидеть одно и то же событие.

Теперь рассмотрим вашу ситуацию: Алиса и Боб движутся относительно друг друга. Преобразование Лоренца, как обычно записывается с помощью$(x,y,z,t)_{Alice'} = (\gamma (x-vt),y,z,\gamma(tc^2 - vx)/c^2)_{Bob'}$, уже предполагает, что и Алиса, и Боб применили повороты и перемещения (и, возможно, отражение) к своей предпочтительной системе координат, чтобы получить пару систем координат, имеющих общее начало (как в пространстве, так и во времени), и в момент времени 0 все три множества пространственной оси соответствуют.

Совершенно разумно начать с координат в системе Алиса, преобразовать в Алису, используя повороты и переносы, преобразовать в Боба, используя усиление Лоренца, а затем преобразовать, наконец, в систему координат Боба, чтобы увидеть, где Боб должен искать событие.

Каждое из этих преобразований координат представляет собой беспорядочный расчет. Чтобы преподавать специальную теорию относительности, можно избежать большой путаницы, работая только с Алисой и Бобом — и, возможно, с Чарли, который учится на параллельном курсе с Алисой и Бобом. Обычно считалось, что повороты и переносы не были чем-то новым для физиков, впервые изучающих СТО, и поэтому их неважно упоминать, кроме как вскользь.