Что определяет, можно ли повернуть |jm⟩|jm⟩|jm\rangle в |jm′⟩|jm′⟩|jm'\rangle?

Это не полный ответ, но простой способ увидеть, что вы не можете достичь каждого состояния с помощью вращения, состоит в том, что набор вращений имеет три реальных измерения, в то время как набор нормализованных вращений$s$состояния имеют реальные размеры$2(2s+1) - 2 = 4s$реальные размеры, где вычитание связано с отбрасыванием глобальной фазы и требованием нормализации. Это означает, что для вращения$s=1$и выше, почти все состояния не могут быть достигнуты вращением, просто по размерным соображениям. Классическая интуиция не работает, потому что «классический» спин всегда имеет двумерное пространство состояний.

Есть ли какие-либо физические аргументы, которые мы могли бы привести, чтобы прийти к вышеупомянутому заключению, не вдаваясь в математику?

Да. В этом ответе используются некоторые математические обозначения , но не используются никакие матрицы. Он использует только геометрическую интуицию и самые основные общие принципы квантовой физики.

Обозначение

Рассмотрим неприводимое представление спиновой группы (двойное покрытие группы вращений) и используем это обозначение:

• $\hat u$является единичным вектором в трехмерном пространстве.

• $J(\hat u)$является генератором вращения вокруг$\hat u$-ось. Для каждой оси$\hat u$, генератор$J(\hat u)$— наблюдаемая, представленная самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве.

• $j$является наибольшим собственным значением$J(\hat u)$в заданном неприводимом представлении.

• $\big|\hat u\big\rangle$является собственным состоянием$J(\hat u)$с наибольшим собственным значением$j$:

  $$J(\hat u)\,\big|\hat u\big\rangle = j\,\big|\hat u\big\rangle.$$

Мы можем думать о$|\hat u\rangle$как имеющий угловой момент с определенной ориентацией в трехмерном пространстве, а именно вдоль$\hat u$-ось, но эта интерпретация не требуется, чтобы этот ответ работал.

Интуиция

Вращения влияют на наблюдаемые очевидным образом: применение вращения$\hat u\to R\hat u$трансформирует$J(\hat u)\to J(R\hat u)$. Это сразу подразумевает две вещи:

• Все штаты$|\hat u\rangle$, для всех направлений$\hat u$, могут быть получены друг из друга вращением вплоть до физически нерелевантного общего фазового множителя. (Состояние может быть представлено вектором в гильбертовом пространстве, но представление не является взаимно однозначным: векторы, связанные друг с другом общей ненулевой комплексной константой, представляют одно и то же состояние.)

• Для любого заданного направления$\hat u$, единственные состояния, которые можно получить, вращая$|\hat u\rangle$являются собственными состояниями генераторов с наибольшим собственным значением$J(R\hat u)$.

Вращение по часовой стрелке около$\hat u$равносильно вращению против часовой стрелки вокруг$-\hat u$, поэтому собственное состояние$J(\hat u)$с собственным значением$j$соответствует собственному состоянию$J(-\hat u)$собственное значение$-j$. Из этого следует:

• Собственное состояние$J(\hat u)$с собственным значением$-j$является вращением собственного состояния$J(\hat u)$с собственным значением$j$.

Дело$j=1/2$особенный, потому что тогда$J(\hat u)$не имеет других собственных состояний: у него есть только два собственных состояния с собственными значениями$\pm j$.

Теперь рассмотрим представление с$j>1/2$и рассмотрим собственное состояние$|m\rangle$из$J(\hat u)$с собственным значением$m\neq \pm j$. Оператор$J(\hat u)$является генератором вращения вокруг$\hat u$ось, поэтому$|m\rangle$должны быть инвариантны относительно поворотов вокруг$\hat u$-оси, вплоть до физически бессмысленной общей фазы. С другой стороны, если$|m\rangle$можно было получить от$|\hat u\rangle$вращением, то$|m\rangle$было бы собственным состоянием$J(R\hat u)$для какого-то другого направления$R\hat u$с наибольшим собственным значением$j$. Но$J(R\hat u)$не инвариантен относительно вращения вокруг$\hat u$-ось, если$R\hat u=\pm\hat u$, так что это противоречило бы тому, что$|m\rangle$должны быть инвариантны относительно поворотов вокруг$\hat u$-ось. В целом это подразумевает

• Собственное состояние$J(\hat u)$с собственным значением$-j$является вращением собственного состояния$J(\hat u)$с собственным значением$j$, и другие собственные состояния$J(\hat u)$нельзя получить, вращая тот, у которого есть собственное значение$j$.

Кстати

Ответ выше был сосредоточен на собственных состояниях$J(\hat u)$, но, как указал ответ knzhou, мы также можем сделать более общее утверждение: в представлении с$j>1/2$, большинство состояний не равны (или пропорциональны)$|\hat u\rangle$для любого направления$\hat u$. Каждое состояние может быть выражено как их суперпозиция, но в большинстве случаев суперпозиция должна включать более одного направления в трехмерном пространстве. Кроме того, суперпозиция не уникальна: одно и то же состояние может быть выражено как разные суперпозиции, включающие разные наборы направлений в трехмерном пространстве. Это следует просто из того, что в основе$\big\{|\hat u\rangle\big\}$является переполным, что, в свою очередь, следует из того, что параметр$\hat u$непрерывно: неприводимое представление имеет базис с конечным числом векторов, поэтому базис, непрерывно параметризованный$\hat u$должен быть переполнен.