Что означает, что состояние является суперпозицией собственных состояний положения?

Question

Что означает, что состояние является суперпозицией собственных состояний положения?

Джон Моррисон

В «Современном подходе к квантовой механике» Таунсенда он утверждает:

«Хотя невозможно получить единое значение для измерения положения [a] частицы, тем не менее такие кеты, как $|x\rangle$ в которых частица имеет одну позицию, очень полезны. Мы можем думать о физических состояниях, встречающихся в природе, как о суперпозиции этих собственных состояний положения . Затем нам предъявляют следующее неверное предположение:

| ψ ⟩ "=" \sum_{я} | {Икс}_{я} ⟩ ⟨ {Икс}_{я} | ψ ⟩

$|\psi\rangle=\sum_i|x_i\rangle\langle x_i|\psi\rangle$

а скорее что

\int_{- \infty}^{\infty} | Икс ⟩ ⟨ Икс | д Икс "=" 1

$\int_{-\infty}^\infty|x \rangle\langle x|\space dx = 1$

Я новичок в квантовой механике и по какой-то причине не могу точно понять, что означает подынтегральная функция, и я объясняю это для себя следующим образом: любой вектор положения может быть выражен как линейная комбинация собственных векторов положения. Но каковы эти собственные векторы положения? Являются ли они всеми возможными позициями, которые может занять объект, поскольку любая возможная позиция должна быть «собственной позицией»?

Кроме того, почему мы вообще используем оператор проектирования? Это потому, что положение того, что мы измеряем, в точности равно одному и только одному собственному положению, а все остальные собственные положения ортогональны? Следовательно, взятие скалярного произведения между всеми возможными положениями и положением частицы должно в какой-то момент быть единицей, поскольку частица должна где-то существовать? Однако в свете принципа неопределенности Гейзенберга объект не имеет определенного положения, так как же мы вообще можем обсуждать собственные положения?

Даниэль Санк

Для всех, кто ответит: этот вопрос не имеет ничего общего с квантовой механикой. Это просто линейная алгебра и обозначения.

Джон Моррисон

Справедливость рассматриваемого основного уравнения явно зависит от принципа неопределенности, и в конце я задаю вопрос, связанный с ним. Помимо этого, да, это вопрос линейной алгебры

ZeroTheHero

Это проблема с разрешением личности, согласно en.wikipedia.org/wiki/… . Принцип неопределенности здесь не участвует.

Ответы (3)

Что означает, что состояние является суперпозицией собственных состояний положения?

Для всех, кто ответит: этот вопрос не имеет ничего общего с квантовой механикой. Это просто линейная алгебра и обозначения.
Справедливость рассматриваемого основного уравнения явно зависит от принципа неопределенности, и в конце я задаю вопрос, связанный с ним. Помимо этого, да, это вопрос линейной алгебры
Это проблема с разрешением личности, согласно en.wikipedia.org/wiki/… . Принцип неопределенности здесь не участвует.

пользователь12029 · Answer 1

Я думаю, что при первом изучении квантовой механики лучше всего понимать выражения чисто формальным образом. Для строгого выражения требуется сложная математика, и это не дает вам многого в физике.

Оператор "1" делает то, что положено. Здесь нет никакой проекции: это «ничего не делающий» оператор, который берет волновую функцию и возвращает вам ту же самую волновую функцию. Одно очень удобное разрешение оператора "1" это $\int_{\mathbb{R}}|x \rangle\langle x|\ dx$ , что следует понимать в чисто формальном смысле и полностью аналогично тому, как единичная матрица может быть выражена как $[1,0]^T[1,0]+[0,1]^T[0,1]$ , просто доведенный до логической крайности: вместо того, чтобы диагональ единичной матрицы помечалась $(1,2)$ , теперь он помечен $\mathbb{R}$ .

Я не думаю, что правильно интерпретировать это разрешение тождества как какое-либо физическое утверждение о мире. Как только вы признали, что у вас есть волновая функция $|\psi\rangle$ вообще, вы можете создавать любые линейные операторы или математические формализмы, какие захотите.

Если бы вы сделали наблюдение (чтобы задать вопрос о физике, а не о линейной алгебре), вы могли бы найти математическое ожидание оператора $|y\rangle\langle y|$ . Это дало бы вам кое-что физическое: плотность вероятности нахождения частицы в положении $y$ . Однако, если вы найдете ожидаемое значение рассматриваемого оператора, $\int_{\mathbb{R}}|x \rangle\langle x|\ dx$ , Вы получаете $\langle\psi|\psi\rangle=1$ . Это не дает вам вообще никакой информации: наблюдение за $1$ оператор ничего не делает.

Это хороший способ думать об этом: как о чисто формальном объекте.
Когда мы выражали спиновые состояния как линейные комбинации собственных состояний спинового оператора, это имело смысл. Почему мы не можем сделать это для чего-то, что имеет непрерывную основу, например, для положения?
@johnmorrison Да, но, насколько я понимаю, это совершенно не связанный с вашим постом вопрос! Оператор $\hat{x}=\int_{\mathbb{R}}x|x \rangle\langle x|\ dx$ посылает волновую функцию $\psi(x)$ к функции $x\psi(x)$ . Собственные состояния этого оператора $|x\rangle$ с собственными значениями $x$ . Альтернативно и эквивалентно, собственные функции равны $\psi(x)=\delta(x-\lambda)$ с собственным значением $\lambda$ . Волновая функция может быть выражена как линейная комбинация этих собственных функций: $|\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}}\psi(x)|x \rangle\ dx$ . Хотя математическая строгость, по общему признанию, выходит за рамки.

Номер по каталогу · Answer 2

В КМ мы рассматриваем функции как векторы (в смысле абстрактных векторных пространств функции — это векторы, принадлежащие гильбертовому пространству). В «стандартной» линейной алгебре любой вектор $\mathbf{v}$ можно разложить по произвольному ортонормированному базису $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ написав $\mathbf{v} = c_1 \mathbf{e}_1 + c_2 \mathbf{e}_2 + c_3 \mathbf{e}_3$

В стандартной линейной алгебре мы находим коэффициенты, взяв скалярное произведение обеих сторон: $\mathbf{e}_1 \bullet \mathbf{v} = \mathbf{e}_1 \bullet (c_1 \mathbf{e}_1 + c_2 \mathbf{e}_2 + c_3 \mathbf{e}_3) = c_1$ . С точками $\mathbf{e}_1$ «вытягивает» коэффициент благодаря ортонормированности базисных векторов.

С функциями мы (обычно) определяем внутренний продукт (обобщенную «точку») с помощью некоторой формы интеграла. Например, мы можем определить $\langle f, g \rangle = \frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x) g^*(x) dx$

Например, в теории рядов Фурье и преобразований Фурье мы используем комплексные экспоненты в качестве «базисных векторов» для разложения произвольной функции $\psi(x)$ как

ψ (Икс) "=" \sum_{к "=" - \infty}^{\infty} с_{к} е^{2 π я к Икс}

$\psi(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{2\pi ikx}$ Чтобы фактически определить

c_{k}

$c_k$ , мы берем внутренний продукт с

e^{2 π i k x}

$e^{2\pi i k x}$

⟨ ψ, е^{2 π я к Икс} ⟩ "=" \frac{1}{2 л} \int_{- л}^{л} ψ (Икс) е^{- 2 π я к Икс} д Икс "=" \sum_{к "=" - \infty}^{\infty} ⟨ с_{к} е^{2 π я к Икс}, е^{2 π я к Икс} ⟩ "=" с_{к}

$\langle \psi, e^{2\pi ikx}\rangle = \frac{1}{2L}\int_{-L}^L \psi(x)e^{-2πikx}dx = \sum_{k=-\infty}^\infty \langle c_k e^{2\pi ikx}, e^{2\pi ikx}\rangle = c_k$

КМ применяет ту же идею к волновым функциям положения — мы выражаем ее как взвешенную сумму ортогональных функций, где $c_k$ коэффициенты теперь отражают интеграл перекрытия волновой функции с собственными функциями положения или, неформально, «насколько волновая функция похожа на эту собственную функцию» - собственные функции положения не более физически значимы, чем их линейные комбинации, они просто оказались математически удобными.

Апурв · Answer 3

Это обобщение случая дискретного спектра:

\sum_{я} | α_{я} ⟩ ⟨ α_{я} | "=" 1 ⟷ \int_{- \infty}^{\infty} | Икс ⟩ ⟨ Икс | д Икс "=" 1

$\sum_i |\alpha_i\rangle \langle\alpha_i| = 1 \longleftrightarrow \int_{-\infty}^\infty |x\rangle\langle x| dx = 1$

Оба эти отношения говорят вам о том, что $|x\rangle$ с или $|\alpha_i\rangle$ сами по себе образуют полный базис, и любая (волновая) функция может быть выражена в любом из этих базисов. Если базис неполный, то он несколько бесполезен для выражения волновой функции, потому что вы не можете учесть все возможности. Линейная алгебра позволяет описывать векторы не только как стрелки. Все, что следует законам векторных пространств, является вектором. И функции подчиняются всем этим законам, и мы получаем большую часть (но не всю) возможностей линейной алгебры бесплатно.

Дискретный случай — это то, с чем вы уже сталкивались в спине. $\frac{1}{2}$ состояния электрона. Когда волновая функция расширяется по базису спина $\frac{1}{2}$ состояний, то говорят, что оно выражается в спинорном пространстве (пространство — это причудливое слово для всех возможных значений вектора).

Теперь, поскольку у вас никогда не может быть точного значения позиции, вы спрашиваете, что вообще означает эта основа? Лучший классический аналог, который я могу вам сейчас предложить, — это распределение Максвелла-Больцмана по скоростям для идеального газа.

ф (в) "=" \sqrt{(\frac{м}{2 π к Т})^{3}} 4 π в^{2} е^{\frac{- м в^{2}}{2 к Т}}

$f(v) = \sqrt{\Big(\frac{m}{2 \pi kT}\Big)^3} 4\pi v^2 e^{\frac{-mv^2}{2kT}}$

Здесь, если я спрошу вас, какова вероятность того, что вы обнаружите молекулу газа, движущуюся точно со скоростью 2,5 м/с, вы ответите 0. Это потому, что вы допускаете бесконечное количество значений и выбираете из них только одно точное значение.

Таким же образом, если мы выразим нашу волновую функцию в базисе положения, мы получим какое-то распределение. Это распределение будет распределением вероятности положения нашей частицы. Формально мы будем называть ее волновой функцией, выраженной в позиционном пространстве. И даже когда вы не можете получить точные значения самой позиции, вы сможете рассчитать вероятность обнаружения частицы в диапазоне.

Давайте снова кратко остановимся на дискретном случае. Чтобы определить вероятность получения определенного собственного значения, вы суммируете все проекции, которые могут дать вам интересующие вас собственные значения. Формально у вас будет состояние $|\psi\rangle = \sum_i c_i |a_i\rangle$ и скажем состояния $j \in J$ все имеют желаемые собственные значения, которые вас интересуют, то общая вероятность получения желаемого собственного значения в наборе $J$ будут найдены путем применения проекций для всех тех собственных состояний, которые дают эти собственные значения, и суммирования коэффициентов. Формально состояние «схлопывается» после измерения (проекции) до:

\sum_{Дж} | а_{Дж} ⟩ ⟨ а_{Дж} | ψ ⟩ "=" \sum_{Дж} | а_{Дж} ⟩ ⟨ а_{Дж} | \sum_{я} с_{я} | а_{я} ⟩ "=" \sum_{Дж} | а_{Дж} ⟩ \sum_{я} с_{я} {дельта}_{я Дж} "=" \sum_{Дж} с_{Дж} | а_{Дж} ⟩

$\sum_j |a_j\rangle \langle a_j| \psi \rangle = \sum_j |a_j\rangle \langle a_j| \sum_i c_i |a_i\rangle = \sum_j |a_j\rangle \sum_i c_i \delta_{ij} = \sum_j c_j |a_j\rangle$

Следовательно, вероятность пребывания в этом состоянии (рассчитанная до измерения) равна $\sum_j |c_j|^2$ .

Точно так же в пространстве положений вероятность найти частицу между $x- \frac{dx}{2}$ и $x+ \frac{dx}{2}$ является $|x\rangle \langle x | \psi \rangle dx$ . Теперь предположим, что вы хотите узнать вероятность того, что эта частица находится в диапазоне $x_0 + \Delta$ и $x_0 - \Delta$ то вы должны просуммировать эту формулу проекции по этому диапазону (сумма является интегралом, когда мы имеем дело с бесконечно малым ведром. Формально это выглядит так:

\int_{{Икс}_{0} - Δ}^{{Икс}_{0} + Δ} | Икс ⟩ ⟨ Икс | ψ ⟩ д Икс

$\int_{x_0-\Delta}^{x_0+\Delta} |x \rangle \langle x| \psi \rangle dx$

Редактировать: Если у вас есть время, вы можете найти чтение первых трех глав Хоффмана и Кунце очень полезным.

Что означает, что состояние является суперпозицией собственных состояний положения?

Джон Моррисон

Даниэль Санк

Джон Моррисон

ZeroTheHero

Ответы (3)

пользователь12029

ZeroTheHero

Джон Моррисон

пользователь12029

Номер по каталогу

Апурв

Линейные операторы и их представления

Что означает когерентная суперпозиция?

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Об определении величины ожидания в квантовой механике

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене