Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене

Определение$p_x$оператор для задачи о частице в бесконечной яме. В книге Капри по квантовой механике область определения оператора определяется выражением

$$p = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \\ D_p = \big\{f(x),f'(x)\in \mathrm{L_2}(0,L) , f(0) = f(L) = 0 \big\}$$ Затем позже он идет, чтобы определить, $p^{\dagger}$который имеет большую область определения (почему?) или с более общими условиями на функции, заданные, $$f(0) = \text e^{i\theta}f(L)$$ для домена $D_{p^{\dagger}}$.

Мой вопрос касается того, выбрал ли я домен$D_p$(на данный момент учитывая, что$p$не является самосопряженным, т.е.$D_p \ne D_{p^{\dagger}}$скорее$D_p \subset D_{p^{\dagger}}$), то собственных функций для$p$оператор как таковой, поскольку, если бы он был, он должен быть тривиально равен нулю. Так как для собственной функции$A \text e^{ikx}$быть нулем в$x=0$,$A$должен быть нулевым.

Итак, как учесть тот факт, что нет собственной функции для$p$оператор в случае, когда он не самосопряженный?

Также существует ли теорема о существовании собственных векторов для оператора ?