Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод

Question

Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод

Астронавт Марбини

Ниже приводится раздел из книги Сакураи «Современная квантовая механика», где он объясняет оператор перевода. $J$ коммутация с позиционным оператором $\hat{x}$ на подпространстве $|x' \rangle$ :

Как работает приближение? Я уже пробовал это с рядами Тейлора, но потерпел неудачу.

пользователь 245141

он должен работать с серией Тейлора.

| x^{'} + d x^{'} ⟩ = | x^{'} ⟩ + d x^{'} \partial_{x^{'}} | x^{'} ⟩ + O (d x^{' 2})

$|x'+dx'\rangle = |x'\rangle + dx' \partial_{x'}|x'\rangle + O(dx'^2)$ а потом умножаешь на

d x^{'}

$dx'$

Астронавт Марбини

Означает ли это, что он оценивается в точке

x^{'} - d x^{'}

$x' - dx'$ ? Рассматривается ли кет как функция?

пользователь 245141

почему в какой-то момент

| x^{'} - d x^{'} ⟩

$|x'-dx'\rangle$ ? он оценивается в

| x^{'} ⟩

$|x'\rangle$ . Кет рассматривается как функция

x^{'}

$x'$ , в том смысле, что мы можем определить производную стандартным образом:

d | x ⟩ / d x = lim_{h \to 0} (| x + h ⟩ - | x ⟩) / h

$d|x\rangle/dx = \lim_{h\to 0} (|x+h\rangle-|x\rangle)/h$ . Обратите внимание, что как

| x^{'} ⟩

$|x'\rangle$ находятся в нашем гильбертовом пространстве, у нас есть четко определенные операции сложения и вычитания над ними, а также умножение на скаляры.

Ответы (1)

Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод

он должен работать с серией Тейлора. $|x'+dx'\rangle = |x'\rangle + dx' \partial_{x'}|x'\rangle + O(dx'^2)$ а потом умножаешь на $dx'$
Означает ли это, что он оценивается в точке $x' - dx'$ ? Рассматривается ли кет как функция?
почему в какой-то момент $|x'-dx'\rangle$ ? он оценивается в $|x'\rangle$ . Кет рассматривается как функция $x'$ , в том смысле, что мы можем определить производную стандартным образом: $d|x\rangle/dx = \lim_{h\to 0} (|x+h\rangle-|x\rangle)/h$ . Обратите внимание, что как $|x'\rangle$ находятся в нашем гильбертовом пространстве, у нас есть четко определенные операции сложения и вычитания над ними, а также умножение на скаляры.

Сверхбыстрая медуза · Answer 1

Мы можем определить производную вектора в гильбертовом пространстве обычным определением производной:

\frac{г | Икс ⟩}{г Икс} "=" \underset{г Икс \to 0}{лим} \frac{| Икс + г Икс ⟩ - | Икс ⟩}{г Икс}

$\frac{d|x\rangle}{dx}=\lim_{dx\to0}\frac{|x+dx\rangle-|x\rangle}{dx}$ Точно так же мы можем определить высшие производные. Имея их в руках, мы теперь можем формально определить разложение Тейлора, которое с точностью до первого порядка выглядит так:

| {Икс}_{0} + г Икс ⟩ \approx | {Икс}_{0} ⟩ + г Икс {(\frac{г | Икс ⟩}{г Икс})}_{{Икс}_{0}}

$|x_0+dx\rangle\approx|x_0\rangle+dx\left(\frac{d|x\rangle}{dx}\right)_{x_0}$ Теперь в вашем случае, поскольку сам оператор находится в первом порядке, производный член станет вторым порядком и, следовательно, пренебрежимо мал. В итоге дал:

г {Икс}^{'} | {Икс}^{'} + г {Икс}^{'} ⟩ \approx г {Икс}^{'} | {Икс}^{'} ⟩

$dx’|x’+dx’\rangle\approx dx’|x’\rangle$

глупый вопрос, но как мне получить " $dx$ " в первом порядке? В ряду Тейлора первый порядок состоит из вывода функции, умноженной на $(x-a)$ где вообще $x$ представляет переменную и $a$ точка оценки. Так что я думаю $dx$ исходит от $(x-a)$ , верно? Но как именно?
Так что это было бы $(x-dx)$ а как же переменная $x$ ?
Если ты хочешь $dx$ выйти из разницы, установить $x\to x+dx$ и $a\to x$ . Тогда вы получите нужный результат. Мы работаем с разницей, приближающейся к нулевому пределу.

Квантовая механика; Сакурай; Бесконечно малый перевод

Астронавт Марбини

пользователь 245141

Астронавт Марбини

пользователь 245141

Ответы (1)

Сверхбыстрая медуза

Астронавт Марбини

Астронавт Марбини

Сверхбыстрая медуза

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Об определении величины ожидания в квантовой механике

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене

Альтернативное определение операторов создания и уничтожения?

Квантовая теория поля для одаренного любителя: задача 2.4

Можно ли рассматривать собственные состояния гильбертова пространства как дельта-функции?