Линейные операторы и их представления

В настоящее время я изучаю квантовую механику на слегка продвинутом уровне. Мне любопытно узнать, существуют ли линейные операторы (линейные карты) в гильбертовом пространстве (конечномерные), которые не изоморфны матрицам? В этом случае есть ли другие представления, которые мы можем выбрать?

Я не уверен, о чем вы спрашиваете, но если вы спрашиваете, может ли любое линейное преобразование в векторном пространстве быть задано матрицей в какой-либо системе координат, ответ — да.
Но я думаю, я говорил о конечномерных векторных пространствах. Импульс — это оператор в непрерывно бесконечномерном гильбертовом пространстве.
Вот что я получаю за то, что не читаю.
@ user35952 Нет, импульс не является оператором в непрерывно бесконечномерном гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство л 2 ( р ) , которое является счетно бесконечномерным гильбертовым пространством. Поскольку он сепарабельный , он допускает счетную гильбертову базу, и все базы имеют одинаковую мощность.
@V.Moretti: извините, я не понимаю вас, могу прояснить дальше эту разделимость
Сепарабельность означает для метрического пространства, что существует счетное плотное множество. В гильбертовом пространстве сепарабельность эквивалентна тому, что существует счетный гильбертов базис (и, таким образом, каждый Н. базис счетен). Формальные объекты, такие как { | п ⟩ } п е р не определяют базис Гильберта в собственном смысле.

Ответы (1)

Пространство линейных операторов на н -мерное векторное пространство В над полем Ф всегда изоморфно пространству н × н матрицы над Ф .

Достаточно легко видеть, что любая матрица является линейным отображением из В к В -- просто умножьте влево представление вектора-столбца ввода на матрицу. Для другого направления выберите базис { е ^ я } для В . Пусть к -й столбец матрицы М быть вектор-столбцом представления Ом ( е ^ к ) , где Ом ваш оператор. То есть, М я к "=" ⟨ е ^ я | Ом е ^ к ⟩ .

Спасибо. А как насчет существования базисных векторов для пространства (может показаться глупым, но просто любопытно), бывают ли случаи, когда их не будет?
Кроме того, мне интересно узнать, существует ли какая-то группа, которой линейные операторы в непрерывно бесконечномерном векторном пространстве изоморфны.
@user35952 user35952 Для существования основы векторного пространства требуется аксиома выбора! proofwiki.org/wiki/Vector_Space_has_Basis
Обратите внимание, что ваше первое предложение верно при условии, что поле векторного пространства изоморфно полю, в котором находятся элементы матриц.
Линейные операторы и их представления
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v