Что означает неотрицательность оператора плотности?

Это означает, что все собственные значения неотрицательны или, что то же самое,$\langle \psi | \rho | \psi \rangle \geq 0$для любого вектора$| \psi \rangle$в гильбертовом пространстве. См. https://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix .

Будут ли матричные элементы конечномерного оператора неотрицательными, зависит от выбора базиса, поэтому неотрицательность матричных элементов не является очень интересным с физической точки зрения свойством.

Чтобы добавить к правильному ответу Тпаркера , физический смысл этих условий, конечно, состоит в том, что собственные значения матрицы плотности являются вероятностями, определяющими смесь чистых квантовых состояний. Матрица плотности может быть записана:

$$\rho = \sum\limits_k p_k \left.\left|\hat{\psi}_k\right.\right>\left<\left.\hat{\psi}_k\right|\right.\tag{1}$$

где$\left\{\hat{\psi}_k\right\}_k$являются ортонормированным базисом, охватывающим квантовое пространство состояний. Классическая смесь смешивает эти чистые состояния с вероятностями$p_k$. Что$\hat{\psi}_k$может быть выбран ортонормированным обеспечивается эрмитовостью оператора; (1) затем, конечно, расширяет оператор как сумму проекторов на элементы базиса, взвешенные по собственным значениям.

Итак, условия просто утверждают, что мы можем интерпретировать собственные значения как положительные вероятности, суммирующиеся с единицей (напомним, что след — это сумма всех собственных значений). Это условие, конечно, необходимо для того, чтобы оператор был матрицей плотности.

Можно показать, что даже если смешанные чистые состояния не являются ортонормированными, если матрица плотности собрана в виде суммы проекторов с положительными весами, суммирующихся с единицей, как в (1) (но с$\hat{\psi}_k$не обязательно ортонормированный), то если чистые состояния разложить на ортонормированный базис, результирующее выражение, аналогичное (1), по-прежнему имеет положительный вес, суммирующийся с единицей (мне все еще нужно найти ссылку на это последнее утверждение).